Duran Matute, Matias

Gerkema, Theo

Pure OAI Repository

Grilligheid én regelmaat in de getijperiode

Gerkema, T.

Duran-Matute, M.

NIOZ Repository

265Nederlands Tijdschrift voor Natuurkundejuli 2016Grilligheid én regelmaat in de getijperiodeVan de bewegingen in de zee lijken er weinig zo regelmatig en voorspelbaar als het getij. Het is immers een periodiek verschijnsel. Of toch niet?   Theo Gerkema en Matias Duran MatuteLaten we eens beginnen met die veronderstelde periodiciteit en de elementaire vraag stellen: hoe lang duurt een getijperiode? Aan mo-gelijke definities is geen gebrek! We zouden de tijdspanne kunnen nemen tussen opeenvolgende hoogwaters, tussen opeenvolgende laagwaters of tussen opeenvolgende kenteringen van eb naar vloed (of andersom). Voor de berekening van de eerste twee kunnen we data van waterstanden gebruiken, afkomstig van de getijstations langs de Nederlandse kust. Met behulp van een realistisch numeriek stromingsmodel kunnen we ook de laatste optie analy-seren. Het blijkt dan al snel dat deze de-finities, per dag bekeken, verschillende antwoorden opleveren. Er bestaat dus kennelijk niet zoiets als ‘de’ getijperi-ode. Dit impliceert ook een ambigu-iteit in getijgemiddelde grootheden, bijvoorbeeld van transporten van water of zich daarin bevindende stoffen; het is immers niet helemaal duidelijk over welke tijdsduur het gemiddelde moet worden genomen. Beperken we ons tot één van de defini-ties, dan blijkt dat deze op zichzelf al sterk varieert. Figuur 1 toont een his-togram van de getijperiode, gedefini-eerd als de tijd tussen opeenvolgende laagwaters, gebaseerd op een lang-jarige tijdreeks van getijstation Den Helder. De getijperiode waaiert uiteen van zo’n 11 tot 14 uur, met soms zelfs waarden buiten dit interval. Deels is dit een gevolg van de wind: wanneer deze bijvoorbeeld het water opstuwt, kan het zijn dat de laagste waterstand eerder of later bereikt wordt. Maar ook wanneer we naar de voorspelde tijden van laagwater kijken (waarin de wind geen rol speelt), vinden we nog steeds een vergelijkbaar breed histogram.De oorzaak van deze brede verdeling ligt in de aanwezigheid van een groot aantal getijcomponenten, elk met een eigen periode. De optelsom van deze componenten geeft het voorspelde getijsignaal. Bij de Nederlandse kust is de belangrijkste component die van het dubbeldaagse maansgetij (aan-geduid als M2), met een gemiddelde periode van 12 uur, 25 minuten en 14 seconden. De dubbele waarde hier-van is de maansdag, de gemid-delde tijd tussen opeenvolgende passages van de maan door een vaste meridiaan. Door de bewe-ging van de maan om de aarde is deze periode iets langer dan de (gemiddelde) zonnedag van precies 24 uur. De helft van de zonnedag is de periode van het dubbeldaagse zonsgetij (S2, 12 uur). Daarnaast zijn er nog vele andere getijcomponenten, sa-menhangend met de declinatie van de maan (dat wil zeggen de hoek die de maan maakt met het equatoriale vlak), de ellipticiteit van de maanbaan enzovoort. Deze perioden vinden dus hun oor-sprong in de hemelmechanica. Er is daarmee een direct verband met de kalender, of beter gezegd: met het ka-lenderprobleem. Al in de verre oudheid probeerde men de drie fundamentele astronomische tijdseenheden samen te brengen tot een goedlopende ka-lender. Deze perioden zijn:1. de zonnedag van 24 uur (hierna kort-weg aangeduid als dag) – de gemid-delde tijd tussen passages van de zon door een vaste meridiaan,2. de synodische maand van 29,53 dagen – de gemiddelde periode van de cy-clus van volle maan tot volle maan,3. het tropische jaar van 365,24 dagen, de periode tussen twee lente-equi-noxen – de duur van een volle cyclus van de astronomische seizoenen.Een echt bevredigende en duurzame oplossing werd echter nooit gevon-den. Dit bleek intrinsiek onmogelijk doordat de verschillende perioden niet passen: ze zijn incommensurabel, of-tewel ze verhouden zich niet als ratio-Matias Duran Ma-tute studeerde natuurkunde en fysische oceano-grafie in Mexico en is gepromoveerd aan de Technische Universiteit Eindho-ven (TU/e), waar hij thans werkzaam is. Eerder werkte hij als postdoctoraal on-derzoeker aan LEGI (Frankrijk) en NIOZ, Texel. Zijn onderzoeksactiviteiten liggen op het terrein van vloeistofdynamica, kustprocessen en sedimenttransport.Theo Gerkema stu-deerde theoretische natuurkunde en is sindsdien werkzaam op het terrein van de fysische oceanogra-fie. Voor een artikel over zijn promotie-onderzoek won hij in 1995 de eerste prijs bij de NTvN-Prijsvraag. Hij houdt zich thans bezig met kustdynamica en is werk-zaam aan het Koninklijk Nederlands In-stituut voor Onderzoek der Zee (NIOZ), op de afdeling Estuariene en Delta Syste-men, Yerseke.Theo.Gerkema@nioz.nl266Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde juli 2016nale getallen. In de moderne tijd is het probleem niet opgelost maar omzeild, doordat onze ‘maand’ is losgekoppeld van de cycli van de maanfasen.Aangezien dezelfde perioden ten grondslag liggen aan de getijden, geldt ook hier dat de verschillende getijcom-ponenten incommensurabel zijn: de getijcomponenten, bij elkaar opgeteld, leveren een niet-periodiek signaal op: het getij herhaalt zich nooit precies.Uit figuur 1 bleek dat er geen eendui-dig antwoord te geven is op de vraag hoe lang een getijperiode duurt. Niet-temin blijkt de gemiddelde getijperiode over een langere termijn, bijvoorbeeld een jaar, een verbluffende regelmaat te vertonen. In figuur 2 staat de jaarlijks gemiddelde getijperiode weergegeven, gebaseerd op de tijd tussen opeenvol-gende laagwaters. Deze gemiddelde duur blijkt telkens 12 uur en 25 mi-nuten te zijn, plus een variabel aantal seconden. We geven daarom alleen die laatste weer. In alle gevallen ligt de pe-riode dus zeer dicht bij die van het dub-beldaagse maansgetij (M2). Nemen we vervolgens het gemiddelde over de gehele tijdreeks (over alle jaargemid-delden) dan komen we uit op 14 secon-den. Gemiddeld genomen is de getij-periode dus 12 uur, 25 minuten en 14 seconden – precies gelijk aan de peri-ode van het dubbeldaagse maansgetij! Het is verwonderlijk dat te midden van de veelheid van getijcomponenten die een rol spelen in het getijsignaal, nu juist deze ene volledig de gemiddelde getijperiode bepaalt. Bij nader inzien blijkt hier een wiskundige eigenaar-digheid achter te zitten. Als voorbeeld kunnen we de som nemen van twee sinussen met verschillende perioden (zeg M2 en S2) en verschillende am-plituden. De gemiddelde tijdsduur tus-sen opeenvolgende toppen (‘hoogwa-ters’), of tussen opeenvolgende dalen (‘laagwaters’) blijkt dan precies gelijk te zijn aan de periode behorend bij de grootste van de twee sinussen. Alleen wanneer de amplituden vrijwel gelijk zijn, kan de gemiddelde periode liggen tussen die van de sinussen zelf. Voor de gemiddelde getijperiode geldt dus: the winner takes all. Het wiskundige bewijs volgt hieronder.Het bewijsWe bekijken het geval van een getijsig-naal dat bestaat uit de som van twee sinusoïdale functies met verschillende frequenties, die van het dubbeldaagse maans- en zonsgetij, ωM en ωS. We be-schrijven het signaal als:⇣ = cos(!M t) ✏ cos(!st),           (1)waarin t de tijd is; we veronderstellen dat  een kleine parameter is, formeel  << 1. Allereerst moeten we de mo-menten van hoog- en laagwater be-palen. Deze extremen vinden we door de afgeleide dζ/dt gelijk te stellen aan nul: sin(!M t) = ✏µ sin(!st),               (2)waarin μ = ωS/ωM, de verhouding van de frequenties. Vervolgens nemen we van beide zijden de arcsinus:!M t = sin1[✏µ sin(!st)].              (3)We kunnen nu gebruikmaken van het feit dat , en daarmee het argument van de arcsinus, klein is. De eerste term van de Taylorontwikkeling van de arcsinus is gelijk aan het argument zelf, dus μ sin(ωSt), met dien ver-stande dat we vervolgens de vrijheid hebben alle hoeken mee te nemen waarvan de sinus hetzelfde is. We vin-den dus!M t =⇢✏µ sin(!st) + 2⇡n+ ...⇡ ✏µ sin(!st) + 2⇡n+ ... (4)  met n =0,1,2,3,…. Formeel geldt de stap van (3) naar (4) voor  << 1, maar in de praktijk is de benadering nog heel acceptabel voor bijvoorbeeld  ~ 0,5. Dit geeft een ruimere geldig-heid aan het bewijs. We werken de eerste vergelijking van (4) verder uit. Deze heeft de structuur van het zogenaamde Keplerprobleem (zij bijvoorbeeld Goldstein, Classical Mechanics). Met behulp van En = ωst, ' = μ2 en λ = 2πμ kunnen we de ver-gelijking schrijven alsEn ✏0 sinEn = λn               (5)Vanuit het Keplerprobleem is de op-lossing bekend:En = λn+ 21Xk=1k−1Jk(k✏0) sin(kλn),  (6)  met Besselfuncties Jk. We kunnen eenvoudig numeriek verifiëren dat het hier om de momenten van hoogwater gaat. Het verschil Δn = En+1 - En be-paalt dus de tijdspanne tussen opeen-volgende hoogwaters:n = λ+1Xk=1k−1Jk(k✏0)⇥ [sin(kλ(n+ 1))− sin(kλn)].Figuur 1 Histogram van de getijperiode voor getijstation Den Helder, gebaseerd op meetgegevens van 1995 - 2013 (data ontleend aan Rijkswaterstaat). Figuur 2 Duur van de jaarlijks gemiddelde getijperiode in Den Helder (blauwe punten), weergegeven als het surplus ten opzichte van 12 uur en 25 minuten. De rood gestreepte lijn toont het gemiddelde over alle jaren.267Nederlands Tijdschrift voor Natuurkundejuli 2016n = λ+1Xk=1k−1Jk(k✏0)⇥ [sin(kλ(n+ 1))− sin(kλn)].             (7)We nemen nu de som van N van deze tijdsintervallen Δn, N−1Xn=0n = Nλ+ 21Xk=1k−1Jk(k✏0) sin(kλN) = Nλ+ ✏0 sinEn,N−1Xn=0n = Nλ+ 21Xk=1k−1Jk(k✏0) sin(kλN) = Nλ+ ✏0 sinEn,                (8)waarbij we in de laatste stap gebruik-maakten van (6) en (5), beide toege-past op n = N. Door ten slotte te delen door N, voor grote N >> 1, krijgen we het langetermijngemiddelde van Δ:< >= λ+✏0 sinEnN! λ.         (9)In termen van de oorspronkelijke va-riabelen zien we dat de getijperiode geschreven kan worden als Tn = Δn/ωS en dat zijn langetermijngemiddelde dus gelijk is aan< T >=λ!S=2⇡µ!S=2⇡!M.       (10)Met andere woorden, de gemiddelde getijperiode is gelijk aan die van de grootste component.Op analoge wijze kan het probleem worden uitgewerkt voor de getijperiode gebaseerd op de momenten van laag-water, uitgaande van de tweede verge-lijking in (4), met hetzelfde resultaat.

NARCIS 

http://www.openarchives.org/OAI/2.0/oai_dc/

Grilligheid én regelmaat in de getijperiode

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Pure OAI Repository

Pure OAI Repository

NIOZ Repository

NARCIS

NARCIS