Efficient finite element methods for solving high-frequency time-harmonic acoustic wave problems in heterogeneous media

Abstract

This thesis focuses on the efficient numerical solution of frequency-domain wave propagation problems using finite element methods. In the first part of the manuscript, the development of domain decomposition methods is addressed, with the aim of overcoming the limitations of state-of-the art direct and iterative solvers. To this end, a non-overlapping substructured domain decomposition method with high-order absorbing conditions used as transmission conditions (HABC DDM) is first extended to deal with cross-points, where more than two subdomains meet. The handling of cross-points is a well-known issue for non-overlapping HABC DDMs. Our methodology proposes an efficient solution for lattice-type domain partitions, where the domains meet at right angles. The method is based on the introduction of suitable relations and additional transmission variables at the cross-points, and its effectiveness is demonstrated on several test cases. A similar non-overlapping substructured DDM is then proposed with Perfectly Matched Layers instead of HABCs used as transmission conditions (PML DDM). The proposed approach naturally considers cross-points for two-dimensional checkerboard domain partitions through Lagrange multipliers used for the weak coupling between subproblems defined on rectangular subdomains and the surrounding PMLs. Two discretizations for the Lagrange multipliers and several stabilization strategies are proposed and compared. The performance of the HABC and PML DDM is then compared on test cases of increasing complexity, from two-dimensional wave scattering in homogeneous media to three-dimensional wave propagation in highly heterogeneous media. While the theoretical developments are carried out for the scalar Helmholtz equation for acoustic wave propagation, the extension to elastic wave problems is also considered, highlighting the potential for further generalizations to other physical contexts. The second part of the manuscript is devoted to the presentation of the computational tools developed during the thesis and which were used to produce all the numerical results: GmshFEM, a new C++ finite element library based on the application programming interface of the open-source finite element mesh generator Gmsh; and GmshDDM, a distributed domain decomposition library based on GmshFEM.Cette thèse porte sur la résolution numérique efficace de problèmes de propagation d'ondes dans le domaine fréquentiel avec la méthode des éléments finis. Dans la première partie du manuscrit, le développement de méthodes de décomposition de domaine est abordé, dans le but de surmonter les limitations des solveurs directs et itératifs de l'état de l'art. À cette fin, une méthode de décomposition de domaine sous-structurée sans recouvrement avec des conditions absorbante d'ordre élevé utilisées comme conditions de transmission (HABC DDM) est d'abord étendue pour traiter les points de jonction, où plus de deux sous-domaines se rencontrent. Le traitement des points de jonction est un problème bien connu pour les HABC DDM sans recouvrement. La méthodologie proposée mène à une solution efficace pour les partitions en damier, où les domaines se rencontrent à angle droit. La méthode est basée sur l'introduction de variables de transmission supplémentaires aux points de jonction, et son efficacité est démontrée sur plusieurs cas-tests. Une DDM sans recouvrement similaire est ensuite proposée avec des couches parfaitement adaptées au lieu des HABC (DDM PML). L'approche proposée prend naturellement en compte les points de jonction des partitions de domaine en damier par le biais de multiplicateurs de Lagrange couplant les sous-domaines et les couches PML adjacentes. Deux discrétisations pour les multiplicateurs de Lagrange et plusieurs stratégies de stabilisation sont proposées et comparées. Les performances des DDM HABC et PML sont ensuite comparées sur des cas-tests de complexité croissante, allant de la diffraction d'ondes dans des milieux homogènes bidimensionnelles à la propagation d'ondes tridimensionnelles dans des milieux hautement hétérogènes. Alors que les développements théoriques sont effectués pour l'équation scalaire de Helmholtz pour la simulation d'ondes acoustiques, l'extension aux problèmes d'ondes élastiques est également considérée, mettant en évidence le potentiel de généralisation des méthodes développées à d'autres contextes physiques. La deuxième partie du manuscrit est consacrée à la présentation des outils de calcul développés au cours de la thèse et qui ont été utilisés pour produire tous les résultats numériques : GmshFEM, une nouvelle bibliothèque d'éléments finis C++ basée sur le générateur de maillage open-source Gmsh ; et GmshDDM, une bibliothèque de décomposition de domaine distribuée basée sur GmshFEM