Název práce: Řešení diofantických rovnic rozkladem v číselných tělesech Autor: Bc. Maroš Hrnčiar Katedra: Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D., Mathematisches Institut, Georg-August Universität Göttingen Abstrakt: Problém řešitelnosti diofantických rovnic je jedním z nejstarších ma- tematických problémů v historii. Postupně se vyvinuly různé přístupy k řešení určitých typů rovnic, z nichž se v práci zabýváme převážně metodou využívající faktorizaci v algebraickém číselném tělese. Myšlenkou této metody je vyjádřit rovnici ve tvaru L = yn , kde levá strana L je součin typicky lineárních fak- torů s koeficienty v daném číselném tělese. Při splnění několika předpokladů po- tom můžeme každý z faktorů napsat jako n-tou mocninu. Klíčovou roli při apli- kaci metody hraje struktura číselných těles, proto neoddělitelnou součást práce tvoří přehled algebraické teorie čísel. Kromě výkladu obecné teorie jsou zde uve- dené i výpočty v jednotlivých kvadratických a kubických tělesech popisující jejich vlastnosti. Hlavním předmětem práce je však řešení konkrétních úloh. Například v rovnici x2 + y2 = z3 se potýkáme s netriviálními společnými děliteli faktorů v...Title: Solving diophantine equations by factorization in number fields Author: Bc. Maroš Hrnčiar Department: Department of Algebra Supervisor: Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D., Mathematical Institute, University of Göttingen Abstract: The question of solvability of diophantine equations is one of the oldest mathematical problems in the history of mankind. While different approaches have been developed for solving certain types of equations, this thesis predo- minantly deals with the method of factorization over algebraic number fields. The idea behind this method is to express the equation in the form L = yn where L equals a product of typically linear factors with coefficients in a particular number field. Provided that several assumptions are met, it follows that each of the factors must be the n-th power of an element of the field. The structure of number fields plays a key role in the application of this method, hence a crucial part of the thesis presents an overview of algebraic number theory. In addition to the general theoretical part, the thesis contains all the necessary computations in specific quadratic and cubic number fields describing their basic characteristics. However, the main objective of this thesis is solving specific examples of equati- ons. For instance, in the case of equation x2 + y2 = z3 we...Department of AlgebraKatedra algebryMatematicko-fyzikální fakultaFaculty of Mathematics and Physic
