Frohn D, Lotz J. Schnittstellenaufgaben in Analysis I – Wie können sie aussehen und wie hilfreich sind sie? In: Gesellschaft für Didaktik der Mathematik, ed. Beiträge zum Mathematikunterricht 2020. 2020

Frohn, Daniel

Gesellschaft für Didaktik der Mathematik

Lotz, Joachim

German

Publications at Bielefeld University

Daniel FROHN, Bielefeld & Joachim LOTZ, Bielefeld Schnittstellenaufgaben in Analysis I - Wie können sie aussehen und wie hilfreich sind sie? Der Übergang von der Schule zur Universität stellt für Studierende eine große Herausforderung dar: Nachdem Sie in der Schule eher einen indukti-ven und an Anschauungen gekoppelten Zugang zur Mathematik kennenge-lernt haben, wird ihnen die Hochschulmathematik nun in einem axiomatisch-deduktiven Aufbau präsentiert, in dem formal-logisch und nicht anschaulich argumentiert werden soll. Ein Ansatz, dieser Schwierigkeit und der damit verbundenen doppelten Diskontinuität konzeptionell zu begegnen, ist der Einsatz von Schnittstellenaufgaben in der gymnasialen Lehramtsausbildung, die explizit Bezüge zwischen Schul- und Hochschulmathematik thematisie-ren (Bauer 2012/2013; Ableitinger, Hefendehl-Hebeker, Herrmann 2013).  Anknüpfend an diesen Ansatz wurden in einem Projekt an der Universität Bielefeld im Sommersemester 2019 Schnittstellenaufgaben zum Übungsbe-trieb einer regulären Analysis-I-Vorlesung entwickelt. Die Studierenden (Fachwissenschaft und Lehramt) hatten wie üblich wöchentlich ein Aufga-benblatt zu bearbeiten, wobei nun eine der Aufgaben eine Schnittstellenauf-gabe war. Diese sollte thematisch zu den aktuellen Vorlesungsinhalten pas-sen, was die Aufgabenkonstruktion an enge Vorgaben band. 1. Merkmale von Schnittstellenaufgaben In manchen Fällen war es möglich, eine übliche Aufgabe durch hinführende oder illustrierende Aufgabenteile zu ergänzen, in anderen Fällen wurden ei-genständige Aufgaben konzipiert. Die konstruierten Schnittstellenaufgaben hatten jeweils mindestens eines der folgenden Merkmale E, B, G oder R:  Explizites Anknüpfen an schulisches Vorwissen  Beispielkontexte zur Verdeutlichung mathematischer Ideen   Geometrische Veranschaulichungen abstrakterer Sachverhalte  Reflexion der abstrakteren fachmathematischen Methoden im Vergleich zur konkreteren schulischen Vorgehensweise Die Schnittstellenaufgabe „Kartesisches Produkt“ ist ein Beispiel für die Merkmale E und G, da explizit auf die aus der Schule bekannte kartesische Koordinatenebene und den dreidimensionalen Anschauungsraum Bezug ge-nommen wird. Die vier Quadranten in (a) dienen als Hinführung zur allge-meineren Gleichung, die in (b) bewiesen werden soll. Die Anknüpfung auf die acht Oktanden in (c) zeigt auch auf, wie (b) verallgemeinert werden kann.   Abb.: Schnittstellenaufgabe „Kartesisches Produkt“ Merkmal B wird durch die Aufgabe „Potenzmenge“ illustriert. Der Indukti-onsbeweis in (c) wird dadurch vorbereitet, dass zunächst der Begriff und dann auch die Beweisidee in (a) und (b) in einen gut vorstellbaren Kontext eingekleidet wird.  Abb.: Schnittstellenaufgabe „Potenzmenge“ Die Aufgabe „Heron-Verfahren“ ist ein weiteres Beispiel für Merkmal G. Die in (b) und (c) formal nachzuweisende Konvergenz wie auch die Rekursi-onsvorschrift der Folge können in (a) geometrisch begründet werden.  Abb.: Schnittstellenaufgabe „Heron-Verfahren“ Merkmal R wird durch die Aufgabe „Induktion“ verdeutlicht: Es wird dazu angeregt, über die unterschiedlichen Beweismethoden (anschaulicher „Pünktchenbeweis“ vs. vollständige Induktion) zu reflektieren.  Abb.: Schnittstellenaufgabe „Induktion“ Insgesamt sind im Rahmen des Projekts 12 Schnittstellenaufgaben erstellt worden, von denen alle mindestens eines der aufgeführten Merkmale hatten. 2. Evaluation Die eingesetzten Schnittstellenaufgaben wurden durch Befragungen an vier Zeitpunkten im Laufe des Semesters evaluiert. Zu den Aufgaben „Kartesi-sches Produkt“ bzw. „Potenzmenge“ wurde gefragt: „Wie sehr haben Ihnen die Aufgabenteile (a) und (c) [(a) und (b)] geholfen, den abstrakteren Auf-gabenteil (b) [(c)] erfolgreich zu bearbeiten?“ Die Fragestellung zu der Auf-gabe „Heron-Verfahren“ war allgemeiner: „Wie sehr helfen Ihnen konkrete Veranschaulichungen, also z.B. Verbindungen zwischen geometrischen und analytischen Methoden wie in Aufgabe 38, im Rahmen einer Analysisvorle-sung?“ Die Frage zur Aufgabe „Induktion“ lautete: „Wie sehr hat Ihnen die Aufgabe geholfen, den Sinn und Nutzen der vollständigen Induktion zu er-fassen?“  Abb.: Evaluation der Schnittstellenaufgaben Die Ergebnisse können so zusammengefasst werden, dass die Aufgaben den meisten Studierenden mindestens etwas und einem Anteil von rund 40% so-gar viel geholfen haben. Neben diesen recht heterogenen Studierendenein-schätzungen müssen aber auch normative Überlegungen aus fachdidakti-scher Sicht einfließen, um eine umfassende Beurteilung dieses Aufgabenfor-mats vornehmen zu können. Literatur Ableitinger, C., Hefendehl-Hebeker, L., & Herrmann, A. (2013). Aufgaben zur Vernet-zung von Schul-und Hochschulmathematik. In H. Allmendinger, K. Lengnink, A. Vohns, & G. Wickel (Hrsg.), Mathematik verständlich unterrichten. Perspektiven für Unterricht und Lehrerbildung (S. 217–233). Wiesbaden: Springer Spektrum. Bauer, T. (2012). Analysis – Arbeitsbuch. Bezüge zwischen Schul- und Hochschulma-thematik, sichtbar gemacht in Aufgaben mit kommentierten Lösungen. Wiesbaden: Springer Spektrum  Bauer, T. (2013). Schnittstellen bearbeiten in Schnittstellenaufgaben. In C. Ableitinger, J. Kramer, & S. Prediger (Hrsg.), Zur doppelten Diskontinuität in der Gymnasiallehr-erbildung (S. 39–56). Wiesbaden: Springer Spektrum. 00,10,20,30,40,50,6Kartesisches Produkt Potenzmenge Heron-Verfahren InduktionWie sehr haben die Aufgaben geholfen?kaum etwas viel sehr viel

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