Agathe Guilloux

Ségolen Geffray

Geffray, Ségolen

Guilloux, Agathe

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1/v.a.r unessas,.ueC. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005) 49–52http://france.elsevier.com/direct/CRASSProbabilitésEstimation dans un modèle de Koziol–Green généraliséSégolen Geffray, Agathe GuillouxLSTA, université Paris 6, 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, FranceReçu le 28 juin 2004 ; accepté après révision le 3 mai 2005Disponible sur Internet le 23 juin 2005Présenté par Paul DeheuvelsRésuméNous considérons une population dans laquelle la durée de vieX est censurée à droite de façon informative par unepositiveY , on obtient alors une v.a.Z = X ∧ Y . Cette v.a.Z est à son tour censurée à droite de façon non informative pav.a. positiveC. Dans le modèle de Koziol–Green généralisé, c’est-à-dire en supposant queX etY ont des fonctions de risqueproportionnelles, nous introduisons un estimateurΛ̂X de la fonction de risque cumuléΛX de X et étudions ses propriétéasymptotiques.Pour citer cet article : S. Geffray, A. Guilloux, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005). 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.AbstractEstimation in a generalized Koziol–Green model. We consider a population where the lifetimeX is informatively right-censored by a nonnegative r.v.Y , thus we obtain a r.v.Z = X ∧ Y . This r.v.Z is then noninformatively right-censored bynon-negative r.v.C. In a generalized Koziol–Green model, i.e. we assume thatX ndY have proportional hazard functionwe introduce an estimator̂ΛX of the cumulative hazard functionΛX of X and we study its asymptotic properties.To cite thisarticle: S. Geffray, A. Guilloux, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005). 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.1. IntroductionSoit X une variable aléatoire (v.a.) positive, de fonction de répartitionFX(x) = P(X  x) supposée continueSupposons que la v.a.X est censurée aléatoirement à droite par une v.a. positiveY , indépendante deX, de fonctionde répartition continueFY (y) = P(Y  y). On noteΛX = − log(1− FX) et ΛY = − log(1− FY ) les fonctions derisque cumulé deX et Y respectivement. Nous supposons queX t Y satisfont le modèle des fonctions de risqproportionnelles ou modèle de Koziol–Green, i.e. il existe unβ > 0 tel queΛY = βΛX. (1)Adresses e-mail :geffray@ccr.jussieu.fr (S. Geffray), aguilloux@ccr.jussieu.fr (A. Guilloux).1631-073X/$ – see front matter 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.doi:10.1016/j.crma.2005.05.00850 S. Geffray, A. Guilloux / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005) 49–52[1]u1p-ntthéorèmeNous supposons de plus que la v.a.Z = X ∧ Y est censurée à droite par une v.a.C indépendante deZ, de fonctionde répartitionFC supposée continue. On observe alors, pouri = 1, . . . , n, les vecteurs :(Ti = Zi ∧ Ci, I (Zi  Ci), I (Zi  Ci)I (Xi  Yi)).Les v.a.Zi sont i.i.d. de fonction de survie 1− FZ = (1 − FX)(1 − FY ) et de fonction de risque cumuléΛZ =− log(1− FZ). Les v.a.Ti sont i.i.d. de fonction de survie 1− H = (1− FX)(1− FY )(1− FC). Sous l’hypothèsede proportionnalité des fonctions de risque deX t Y , la v.a.Y est appelé communément (cf. Andersen et al.,et Gather et Pawlitschko, [2])censure informative t la v.a.C censure non-informative. Cette généralisation dmodèle de Koziol–Green a été introduite par Gather et Pawlitschko [2], qui ont proposé un estimateur de− FXet étudié ses propriétés asymptotiques.Nous proposons un estimateurΛ̂X de la fonction de risque cumuléΛX et nous étudions ses propriétés asymtotiques : consistence uniforme et loi du logarithme itéré de l’estimateurΛ̂X, convergence faible et approximatioforte du processus√n (Λ̂X − ΛX).2. Estimation, consistence uniforme et loi du logarithme itéré (LLI)Par indépendance deX et Y , la relation suivante est satisfaite :ΛZ = ΛX + ΛY . Avec l’Éq. (1) et en notanα = 1/(β + 1), on obtient :ΛX = αΛZ. (2)Notons que l’on peut montrer queα = P(X  Y). Nous supposons queα = 0 et queP(Z  C) = 0. La relation (2)suggère de proposer un estimateur semi-paramétrique deΛX à savoirΛ̂X = α̂Λ̂Z,avecα̂ un estimateur deα et Λ̂Z un estimateur deΛZ .On montre que l’égalité suivante est vérifiée :α = P(X  Y,Z  C)/P(Z  C).Nous proposons alors d’estimerα par le rapport des proportions empiriques correspondantes :α̂ =∑ni=1 I (Zi  Ci)I (Xi  Yi)∑ni=1 I (Zi  Ci).Par ailleurs, commeZ est non-informativement censurée à droite parC, un estimateur naturel deΛZ est celui deNelson–Aalen défini, pourt  0, parΛ̂Z(t) =n∑i=1I (Ti  t)I (Zi  Ci)Yn(Ti),où Yn(t) = ∑ni=1 I (Ti  t), pour t  0, est le processus « nombre d’individus à risque ent− ». Grâce au résultade consistence uniforme de l’estimateur de Nelson–Aalen (cf. Andersen et al., [1]), nous établissons le tsuivant.S. Geffray, A. Guilloux / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005) 49–52 51] nousNelson–ilitéThéorème 2.1. Consistence uniforme faiblePour toutσ ∈ T = {t ∈ [0,∞[ , FX(t) < 1}, quandn tend vers∞,supt∈[0,σ ]∣∣Λ̂X(t) − ΛX(t)∣∣ P→ 0.Considérons maintenantT1,n  T2,n  · · ·  Tn,n les statistiques d’ordre de l’échantillon. Soit(kn) une suited’entiers satisfaisant la condition(H) : 1 kn < n etkn  (logn)2,pourn assez grand,la suite(kn/n) est décroissante au sens large etkn/n  Ak2n/n pour unA > 0.La LLI classique de Hartman et Wintner et la LLI pour l’estimateur de Nelson–Aalen de Giné et Guillou [3permettent d’établir la LLI suivante.Théorème 2.2. Loi du logarithme itéréSoit(kn) une suite d’entiers vérifiant la condition(H) ; on a alors:suptTn−kn,n∣∣Λ̂X(t) − ΛX(t)∣∣ = O(√log lognkn)p.s.3. Convergence faible et approximation forteNous obtenons deux résultats asymptotiques pour le processus√n(Λ̂X − ΛX).Théorème 3.1. Convergence faibleSoitσ < τH = inf{x: H(x) < 1}. Quandn tend vers l’infini, on a, dans l’espaceD[0, σ [ des fonctions càdlàgsur [0, σ [ , la convergence faible suivante:√n(Λ̂X(·) − ΛX(·)) D L(·),oùL est un processus gaussien de moyenne nulle et de fonction de covariance définie, pour touss et t dans[0, σ [ ,par :Cov(L(s),L(t)) = α2s∧t∫0dΛZ1− H +α(1− α)P(Z  C) ΛZ(s)ΛZ(t).Ce théorème est établi, principalement, à l’aide du résultat de convergence faible de l’estimateur deAalen (cf. Andersen et al., [1]).Théorème 3.2. Approximation forteSoit(kn) une suite d’entiers satisfaisant la condition(H). Pourn assez grand, il existe un espace de probabconvenablement élargi sur lequelsuptTn−kn,n∣∣√n (Λ̂X(t) − ΛX(t)) − Ln(t)∣∣ = O(max{n√log logn(lognkn)3/2,n5/6(logn)5/2kn}),où, pourn  0, le processusLn est gaussien de moyenne nulle et de même fonction de covariance queL (cf.Théorème3.1).52 S. Geffray, A. Guilloux / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005) 49–52on fortearié, deI pourbrow-nsoring,11–132.266–291.La preuve de ce théorème nécessite les résultats de Komlos, Major et Tusnady [4] sur l’approximatidu processus empirique univarié, de Massart [5] sur l’approximation forte du processus empirique multivShorack et Wellner [6] sur les grandes déviations du pont brownien et de Giné et Guillou [3] sur la LLl’estimateur de Nelson–Aalen.Le termen√log logn(logn/kn)3/2 provient essentiellement du contrôle des grandes déviations du pontnien et le termen5/6(logn)5/2/kn de l’approximation du processus empirique multivarié.Références[1] P.K. Andersen, O. Borgan, R.D. Gill, N. Keiding, Statistical Models Based on Counting Processes, Springer-Verlag, 1993.[2] U. Gather, J. Pawlitschko, Estimating the survival function under a generalized Koziol–Green model with partially informative ceMetrika 48 (1998) 189–207.[3] E. Giné, A. Guillou, Laws of the iterated logarithm for censored data, Ann. Probab. 27 (1999) 2042–2067.[4] J. Komlós, P. Major, G. Tusnady, An approximation of partial sums of independent r.v.’s. and the sample d.f. I, Z.W.V.G. 32 (1975) 1[5] P. Massart, Strong approximation for multivariate empirical and related processes via KMT constructions, Ann. Probab. 17 (1989)[6] G.R. Shorack, J.A. Wellner, Empirical Processes with Statistical Application, Wiley, 1986.

Estimation dans un modèle de Koziol–Green généralisé

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