Fabien Flori

Mathieu Peybernes

Pierre Orenga

Comptes Rendus Mathématique

1/sitions auxs coupleraires.foring theodel,onstantree-stanceea, twoough theC. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005) 719–724http://france.elsevier.com/direct/CRASSÉquations aux dérivées partiellesSur un problème de shallow water bicouche avec conditionaux limites de DirichletFabien Flori, Pierre Orenga, Mathieu PeybernesUMR 6134, université de Corse, quartier Grossetti, BP 52, 20250 Corte, FranceReçu le 13 décembre 2004 ; accepté le 22 mars 2005Disponible sur Internet le 4 mai 2005Présenté par Pierre-Louis LionsRésuméNous présentons dans cette Note un résultat d’existence pour un problème de shallow water bicouche, avec condlimites de Dirichlet. La principale difficulté provient des termes couplant les deux couches. Pour les traiter, nous devonl’estimation naturelle d’énergie avec une estimation des épaisseurs dansL2(Q). Pour obtenir cette estimationL2, nous intro-duisons l’opérateur de Stokes et utilisons quelques résultats sur les espaces de Hardy pour traiter les termes non linéPourciter cet article : F. Flori et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005). 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.AbstractOn a bi-layer shallow water problem with Dirichlet boundary conditions. We present in this Note an existence resulta bi-layer shallow water problem, with Dirichlet boundary conditions. The main difficulty arises from the terms coupltwo layers. To handle these, we must couple the natural energy estimate with an estimation of the thickness inL2(Q). To obtainthisL2-estimate, we introduce the Stokes operator and we use results for Hardy spaces to treat the nonlinear terms.To cite thisarticle: F. Flori et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005). 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.Abridged English versionIn this Note, we study a bi-layer shallow water model in depth-mean velocity formulation [5]. In this mwe consider a system composed by two superposed shallow layers of immiscible fluids with different and cdensitiesρ1 andρ2 (ρ2  ρ1). The equations of this model result from integration on the vertical of the thdimensional equations of the geophysical fluids. A lot of applications can be found to this model as for inthe modelling of the dynamics of water masses in the Alboran Sea and the Straits of Gibraltar. In this slayers of water can be distinguished: the surface Atlantic water penetrating into the Mediterranean sea thrAdresses e-mail :flori@univ-corse.fr (F. Flori), orenga@univ-corse.fr (P. Orenga), peybernes@univ-corse.fr (M. Peybernes).1631-073X/$ – see front matter 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.doi:10.1016/j.crma.2005.04.019720 F. Flori et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005) 719–724he waterhenot take. Thus,ce,mtermsn and ato obtainh thetdeue dans leStraits of Gibraltar, and the deeper, denser Mediterranean water flowing into the Atlantic. We assume that tsurface occupies a bounded domainΩ of R2, simply connected, with boundaryΓ smooth enough. LetQ be equalto Ω × (0, T ) andΣ = Γ × (0, T ). If v = (v1, v2) is a vector function fromΩ into R2 andq a scalar functionfrom Ω into R, we define the operatorsα(v) = (−v2, v1), Rotq = ( ∂q∂x2 ,−∂q∂x1) and rotv = ∂v2∂x1− ∂v1∂x2. We denoteby u1 = (u1,1, u1,2) (resp.u2 = (u2,1, u2,2)) andh1 (resp.h2) the velocity vector field and the thickness of tlower layer (resp. upper layer). In what follows, to avoid unnecessary mathematical technicalities, we dointo account the Coriolis force, the wind on the surface water, the bottom shear and the interface frictiondenoting byλi > 0, µi > 0 the diffusion coefficients, we study the following problem:(P)∂ui∂t− λi∇ divui − µiui + (ui · ∇)ui + g∇hi + gi∇hj = 0 in Q,ui = 0 onΣ,∂hi∂t+ div(uihi) = 0 in Q,ui(t = 0) = ui,0 and hi(t = 0) = hi,0 in Ω,for i = 1,2 andj = 1,2, with j = i. Here,g is the acceleration of gravity andg1 = ρ2ρ1 g, g2 = g. The coupling ofthe two layers is taken into account by the pressure termsgi∇hj . We are going to show the following existenresult:Theorem 0.1. Let ui,0 ∈ L2(Ω)2 andhi,0 > 0 such thathi,0 loghi,0 ∈ L1(Ω), i = 1,2. If the data are controlledthen there exists a solution{(u1, h1), (u2, h2)} of the above problem(P) satisfying: ui ∈ L2(0, T ;H 10 (Ω)2) ∩L∞(0, T ;L2(Ω)2), hi loghi ∈ L∞(0, T ;L1(Ω)) andhi ∈ L2(Q) for i = 1,2, in such a way that the momentuand the continuity equations are respectively solved inL4/3(0, T ;H−1(Ω)2) andL4/3(0, T ;W−1,4/3(Ω)).The main difficulty, which does not appear in the one-layer shallow water problem [6], comes from thegi∇hj coupling the two layers. To treat these terms, we need to have a bound onhi in L2(Q) according tosome bounds onui in L2(0, T ;H 10 (Ω)2) ∩ L∞(0, T ;L2(Ω)2) andhi loghi in L∞(0, T ;L1(Ω)). This result isobtained by Munoz-Ruiz et al. [5] when the following boundary conditions are considered:ui · n = rotui = 0on Σ . With these conditions, we can easily uncouple the momentum equation into a potential equatiorotational equation, which allows the authors to obtain an estimate ofhi in L2(Q). In the situation of Dirichletboundary conditions, we can not uncouple the momentum equation, and we have to use another methodthis L2-estimate. Notice that the result we obtain complete the works of Munoz-Ruiz et al. in [4], in whicauthors obtain an existence result in the one-dimensional case with Dirichlet boundary conditions.1. Un résultat d’existenceNous présentons dans cette section un résultat d’existence pour le problème (P) :Théorème 1.1. Soientui,0 ∈ L2(Ω)2, hi,0 > 0 vérifiant hi,0 loghi,0 ∈ L1(Ω), i = 1,2. Si les données sonbien choisies, alors le problème(P) admet une solution{(u1, h1), (u2, h2)} vérifiant : ui ∈ L2(0, T ;H 10 (Ω)2) ∩L∞(0, T ;L2(Ω)2), hi loghi ∈ L∞(0, T ;L1(Ω)) et hi ∈ L2(Q), i = 1,2, où les équations des moments etcontinuité sont respectivement résolues dans les espacesL4/3(0, T ;H−1(Ω)2) etL4/3(0, T ;W−1,4/3(Ω)).Pour obtenir les estimations d’énergie, nous procédons dans un premier temps de la même manière qcas monocouche [6]. On multiplie respectivement les équations des moments paru1 et u2, on intègre surΩ et onajoute les deux équations :F. Flori et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005) 719–724 721i diffé-z-tqui per-let,bornenoz-Ruizspaces de-ssntrôlées,s2∑i=1[ddt[12‖ui‖2L2(Ω)2 + g∫Ωhi loghi dx]+ λi‖divui‖2L2(Ω) +(µi − CGN2‖ui‖L2(Ω)2)‖ui‖2H10 (Ω)2]=2∑i=1gi(hj ,divui), (1)où CGN est une constante issue des inégalités de Gagliardo–Niremberg. La principale difficulté qurencie ce problème du modèle de shallow water monocouche [6] provient des termes(hj ,divui). Pour esti-mer ces termes, nous avons besoin d’avoir une borne surhi dansL2(Q) en fonction de bornes surui dansL2(0, T ;H 10 (Ω)2) ∩ L∞(0, T ;L2(Ω)2) et hi loghi dansL∞(0, T ;L1(Ω)). Ce résultat a été obtenu par MunoRuiz et al. [5] avec les conditions aux limites suivantes :ui · n = rotui = 0 surΣ . Avec ces conditions, on peufacilement découpler l’équation des moments en une équation rotationnelle et une équation potentielle, cemet aux auteurs d’obtenir une estimation surhi dansL2(Q). Dans le cas de conditions aux limites de Dirichon ne peut pas découpler aussi facilement l’équation des moments, ce qui rend délicate l’obtention d’uneL2pourhi . Notons également que le résultat que nous établissons dans cette note complète les travaux de Muet al. in [4], où les auteurs obtiennent un résultat d’existence dans le cas monodimensionnel.Pour démontrer le théorème, nous procédons en trois étapes : en utilisant certaines propriétés des eHardy, on commence par donner dans le Lemme 2.1 une estimation sur(ui · ∇)ui dansL2(0, T ;H−1(Ω)2) +L1(0, T ;W1,1(Ω)2) en fonction de bornes suri dansL2(H 10 (Ω)2) ∩ L∞(L2(Ω)2). Puis, en introduisant l’opérateur de Stokes et en utilisant cette estimation, nous obtenons une borne surhi dansL2(Q) en fonction de bornesurui dansL2(0, T ;H 10 (Ω)2) ∩ L∞(0, T ;L2(Ω)2) ethi loghi dansL∞(0, T ;L1(Ω)) (Lemma 3.1). Enfin, danla Section 4, on utilise le Lemme 3.1 pour obtenir les estimations globales d’énergie pour des données coce qui permet de passer à la limite dans les équations.2. Une estimation sur le terme d’advection (ui ·∇)uiSoitBxη la boule de centrex ∈ Ω et de rayonη. Dans la suite, on noteW(R2) l’espace des fonctionsf ∈H1(R2)dont la dérivée au sens des distributions est encore dansH1(R2) l’espace de Hardy défini parH1(R2) ={f ∈ L1(R2) | supη0|hη ∗ f | ∈ L1(R2)}où hη(x) = η−2h(xη )  0, appartient àC∞0 (R2) et vérifie : supphη(x) ⊂ Bxη ,∫R2hη(x)dx = 1 (voir Feffermanet Stein [1]). Notons queW(R2) est un sous espace de l’espace de SobolevW1,1(R2). Dans [2], les auteurintroduisent des espaces de Hardy définis sur des domaines bornés. Un de ces espaces est :H1z(Ω) ={f ∈ L1(Ω) | fz ∈H1(R2)}oùfz est le prolongement par 0 def dansR2. Toute fonctionf deH1z(Ω) vérifie∫Ωf dx = 0. On réécrit le termed’advection sous la forme :ui∇ui,l =2∑k=1ui,k∂ui,k∂xl+ (−1)lui,j rotui = T0,l + T1,lavecl = j . On montre alors le résultat suivant :Lemme 2.1. T0,l vérifie l’estimation‖T ‖2  k ‖u ‖2 ‖u ‖2 , (2)0,l L2(0,T ;H−1(Ω)) 0 i L∞(0,T ;L2(Ω)2) i L2(0,T ;H10 (Ω)2)722 F. Flori et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005) 719–724eé:meret on peut décomposerT1,l sous la formeT1,l = T11,l + T12,l avec‖T11,l‖2L2(0,T ;H−1(Ω))  k1‖ui‖2L∞(0,T ;L2(Ω)2)‖rotui‖2L2(Q), (3)‖T12,l‖L1(0,T ;W1,1(Ω))  k2‖ui‖2L2(0,T ;H10 (Ω)2), (4)où k0, k1 et k2 sont des constantes strictement positives ne dépendant que des données.Démonstration. On a‖ui,k ∂ui,k∂xl ‖H−1(Ω) = 12‖∂u2i,k∂xl‖H−1(Ω)  12‖(ui,k)2‖L2(Ω). Ainsi, en utilisant l’inégalité deGagliardo Niremberg, on en déduit la majoration (2). Nous allons à présent estimerT1,l à l’aide des espaces dHardy. Notons queui peut se décomposer sur toute bouleBxη de la façon suivante :ui = ∇pxη + Rotqxη , oùpxη ∈ H 1(Bxη ) etqxη ∈ H 10 (Bxη ). (5)Remarque 1. SoientBxη et Bx′η′ deux boules telles queB∩ = Bxη ∩ Bx′η′ = ∅. Sur chacune de ces boulesui peutêtre décomposé de façon unique en utilisant (5). Il est clair que Rotqxη = Rotqx′η′ surB∩, toutefois on a : rotui =rot Rotqxη = rotRotqx′η′ surB∩.En utilisant la décomposition (5) et la remarque précédente, sur toute bouleBxη , i vient : T1,l = − rot(ui,j Rotqxη )+ Rotui,j Rotqxη = Axη + Cxη ,où Axη vérifie∫ΩAxη dx = 0 etAxη = 0 dansR2\Ω. Pour établir le résultat annoncsurT1,l , on poseI1(x) = hη ∗ Axη et I2(x) = hη ∗ (∂Cxη /∂y). On commence par estimerI1(x). On aI1(x) = −∫Bxη1η2Roth(x − yη)ui,j (y)Rotqxη (y)ηdy  D1(−∫Bxη|ui,j |β)1/β(−∫Bxη(|Rotqxη |η−1)β ′)1/β ′,avec 1β+ 1β ′ = 1. De plus, puisque la moyenne de Rotqxη est nulle surBxη et sachant que Rotqxη · n = 0 sur∂Bxη ,on obtient, en utilisant l’inégalité de Poincaré–Sobolev et la remarque précédente :(−∫Bxη(|Rotqxη |η−1)β ′)1/β ′ D2(−∫Bxη|rot Rotqxη |α)1/α= D2(−∫Bxη|rotui |α)1/α,avec 1α− 12 = 1β ′ . Ainsi, en posant supη>0 −∫Bxη|f | = M(f ) et en utilisant l’inégalité de Hölder, il vient∫supη>0 |I1(x)|dx  D3‖M(|ui,j |β)‖1/βL2/β ‖M(|rotui |α)‖1/αL2/β. Finalement, si on choisitβ < 2 et α < 2, on peutappliquer le théorème du maximum de Hardy–Littlewood, et on obtient∫supη>0 |I1(x)|dx  D4‖ui,j‖L2(Ω) ×‖rotui‖L2(Ω). Ainsi, puisqueH1z(Ω) ⊂ H−1(Ω), on obtient (3). En utilisant la même méthode, on peut esti∫supη>0 |I2(x)|dx en fonction de‖ui‖2H10 (Ω)2, et en rappelant queW(R2) ⊂ W1,1(R2), on obtient (4).3. Une estimation sur hi dans L2(Q)Lemme 3.1. Si les conditions du théorème sont vérifiées,h1 eth2 vérifient l’estimation:λi∫Ωhi loghi + ‖hi‖2L2(Q)  C0,i +14‖ui‖2L∞(0,T ;L2(Ω)2)+ (C1µ2i + 3C2)‖ui‖2L2(0,T ;H10 (Ω)2) + C3‖ui‖2L∞(0,T ;L2(Ω)2)‖ui‖2L2(0,T ;H10 (Ω)2)+ C2‖hi,0‖L1(Ω)‖ui‖2L2(0,T ;H10 (Ω)2) supt∫hi log+ hi + C4‖hi,0‖L1(Ω) supt∫hi log+ hi, (6)Ω ΩF. Flori et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005) 719–724 723e desOnante :. (8).ite50) pourtion de, onenu dansoù lesCk , k = 1, . . . ,4, et lesC0,i , i = 1,2, sont des constantes strictement positives ne dépendant qudonnées.Démonstration. Pour obtenir une borne surhi dansL2(Q), on s’inspire des travaux de P.L. Lions dans [3].introduit l’opérateur de StokesS(Π) = p où (s,p) est l’unique solution de−s + ∇p = Π dansΩ , divs = 0dansΩ , s = 0 sur ∂Ω et ∫Ωp dx = 0. On sait queS est borné deW−1,r (Ω) dansLr(Ω) et deLr(Ω) dansW1,r (Ω) avec 1< r < ∞. On posepi = S(−ui) avec(si ,pi) solution de−si + ∇pi = −ui dansΩ , si = 0sur∂Ω , divsi = 0 dansΩ ,∫Ωpi = 0. On peut alors réécrire les équations des moments sous la forme suiv−µisi + ∇(µipi − λi divui + ghi + gihj ) = − ∂ui∂t − (ui · ∇)ui, ainsi, en notant quehi = h̄i,0, il vient :µipi − λi divui + g(hi − h̄i,0) + gi(hj − h̄j,0) = S(−∂ui∂t)+ S(−(ui · ∇)ui). (7)En multipliant (7) parhi et en intégrant surQ, on obtient :g‖hi‖2L2(Q) = mes(Q)h̄i,0(gh̄i,0 + gih̄j,0) − gi∫Qhihj + λi∫Qhi divui − µi∫Qpihi+∫QS(−∂ui∂t)hi +∫QS(−(ui · ∇)ui)hi. (8)Pour obtenir une borne surhi dansL2(Q), nous devons ainsi estimer chaque terme intervenant dans l’ÉqRemarquons tout d’abord que∫Qhihj  0, grâce à la positivité deh1 eth2. Le troisième terme du membre de drose traite de la même manière que dans [6] en utilisant l’équation de continuité :λi∫Qhi divui = −λi∫Ωhi loghi +λi∫Ωhi,0 loghi,o.L’opérateur de Stokes étant borné deH−1(Ω)2 dansL2(Ω), on peut majorer‖pi‖L2(Ω) en fonction de‖ui‖H10 (Ω)2. Ainsi, en utilisant les inégalités de Hölder et de Young, on obtient :−µi∫Qpihi  C1µ2i ×‖ui‖2L2(0,T ;H10 (Ω)2)+ ε2‖hi‖2L2(Q).Le domaineΩ étant indépendant du temps,S(∂ui∂t) = ∂∂tS(ui), ainsi il vient :−∫QS(∂ui∂t)hi = −∫Qhi∂S(ui)∂t= −T∫0ddt∫ΩS(ui)hi +∫QS(ui)∂hi∂t. (9)En utilisant les propriétés de l’opérateur de Stokes, on peut raisonner comme dans [5] (page 149, 1estimer le premier terme du membre de droite de (9). Le second terme s’estime en utilisant l’équacontinuité :∫QS(ui)∂hi∂t= ∫Q∇S(ui)uihi  ‖∇S(ui)‖L4(Q)2‖ui‖L4(Q)2‖hi‖L2(Q). Notons que‖∇S(ui)‖L4(Q)2 ‖S(ui)‖W1,4(Q)  C′′‖ui‖L4(Q)2. Ainsi, en utilisant l’inégalité de Gagliardo–Niremberg et l’inégalité de Youngobtient :∫QS(ui)∂hi∂t K‖ui‖2L∞(0,T ;L2(Ω)2)‖ui‖2L2(0,T ;H10 (Ω)2) +ε2‖hi‖2L2(Q).Il nous reste à estimer le dernier terme du membre de droite de (8). Pour cela, on utilise le résultat obtla Section 2 comme suit :−∫QS((ui · ∇)ui)hi = −∫QS(T0)hi −∫QS(T11)hi −∫QS(T12)hi . (10)Pour estimer le premier terme de (10), on note que :− ∫QS(T0)hi ∫ T0 ‖S(T0)‖L2(Ω)‖hi‖L2(Ω) C∫ T ‖T ‖ ‖h ‖ , puis en utilisant l’inégalité de Young et la majoration (2), il vient :− ∫ S(T )h 0 0 H−1(Ω)2 i L2(Ω) Q 0 i724 F. Flori et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005) 719–724vec-e(1) par:les.. Onen passantk0C22ε ‖ui‖2L∞(0,T ;L2(Ω)2)‖ui‖2L2(0,T ;H10 (Ω)2) +ε2‖hi‖2L2(Q). Le deuxième terme s’estime de la même façon al’inégalité (3). Pour terminer, on traite le dernier terme de (10). On introduit les espaces de OrliczLA(Ω),LA′(Ω) et LÃ′(Ω) où A est la N-fonction définie parA(t) = exp(t2) − 1 et A′ est la N-fonction omplémentaire àA, équivalente à la N-fonctionÃ′ définie parÃ′(t) = t√log+(t). On obtient, en utilisant le fait qu‖S(T12‖LA(Ω)  k‖S(T12‖H1(Ω)  kC′‖T12‖L2(Ω)2 :−T∫0∫ΩS(T12)hi  2T∫0∥∥S(T12∥∥LA(Ω)‖hi‖LA′ (Ω) dt  K1T∫0‖T12‖L2(Ω)2(1+∫Ωhi√log+ hi)dt,puis en remarquant queW1,1(Ω)2 ⊂ L2(Ω)2 et en utilisant la majoration (4) on aboutit à :− ∫ T0 ∫Ω S(T12)hi K2‖ui‖2L2(0,T ;H10 (Ω)2)+ K2∫ T0 ‖ui‖2H10 (Ω)2(∫Ωhi√log+ hi )dt. Ainsi, en notant que∫Ωhi√log+ hi 12(∫Ω√hi√log+ hi)2+ 12  12‖hi,0‖L1(Ω)∫Ωhi log+ hi + 12, on obtient :−∫QS(T12)hi  3C2‖ui‖2L2(0,T ;H10 (Ω)2)+C2‖hi,0‖L1(Ω)‖ui‖2L2(0,T ;H10 (Ω)2) supt∫Ωhi log+ hi.4. Estimation a priori et démonstration du théorèmeLes résultats précédents nous permettent d’établir les estimations globales d’énergie. On multiplieune constanteδ suffisamment grande et on intègre sur(0, t). Puis en ajoutant (6),i = 1,2, et en écrivantδgi(hj ,divui)  ε′‖hj‖2L2(Ω) + Kε′δ2g2i ‖divui‖2L2(Ω), on obtient l’estimation suivante :−D1,1 + D1,2emes(Ω) 2∑i=1[(δ2− 14)‖ui‖2L∞(0,T ;L2(Ω)2) +(D1,i − C4‖hi,0‖L1(Ω))supt∫Ωhi log+ hi− D1,i supt∫Ωhi log− hi + D2,i‖divui‖2L2(Q) +(D3,i − δCGN2‖ui‖L∞(0,T ;L2(Ω)2)− C3‖ui‖2L∞(0,T ;L2(Ω)2) − C2‖hi,0‖L1(Ω) supt∫Ωhi log+ hi)‖ui‖2L2(0,T ;H10 (Ω)2)+ (1− ε′)‖hi‖2L2(Q)] D0, (11)oùD1,i = δg +λi , D2,i = δλi −Kε′δ2g2i , D3,i = δµi −C1µ2i −3C2, etD0 ne dépendent que des données initiaEn prenantδ suffisamment grand, on peut alors vérifier que les quantités précédant les termes‖ui‖2L2(0,T ;H10 (Ω)2),sup∫Ωhi log+ hi et ‖divui‖2L2(Q) sont positives pour desλi assez grands et pour des données initiales petitestermine ainsi la preuve du théoreme en construisant des solutions approchées vérifiant ces estimations età la limite de la même manière que dans [5].Références[1] C. Fefferman, E. Stein,Hp spaces of several variables, Acta Math. 228 (1972) 137–193.[2] J. Hogan, C. Li, A. McIntosh, K. Zhang, Ann. Inst. H. Poincaré Analyse Non Linéaire 17 (2000) 193–217.[3] P.-L. Lions, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 328 (1999) 659–662.[4] M.L. Munoz-Ruiz, M.J. Castro-Diaz, C. Pares, Nonlinear Anal. 53 (2003) 567–600.[5] M.L. Munoz-Ruiz, F.J. Chatelon, P. Orenga, On a bi-layer shallow water problem, Nonlinear Anal. 4 (2003) 139–171.[6] P. Orenga, Arch. Rational Mech. Anal. 130 (1995) 183–204.

Sur un problème de shallow water bicouche avec conditions aux limites de Dirichlet

Flori, Fabien

Orenga, Pierre

Peybernes, Mathieu

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