Vincent Le Prince

Le Prince, Vincent

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1/emn en déduiteh a linkall andbleC. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005) 739–742http://france.elsevier.com/direct/CRASSGéométrie/Théorie des groupesSingularité de la mesure harmonique sur le bord d’un grouphyperboliqueVincent Le PrinceIRMAR, campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex, FranceReçu le 14 janvier 2005 ; accepté après révision le 31 mars 2005Présenté par Mikhaël GromovRésuméOn établit un lien entre la dimension de la mesure harmoniqueν, l’ ntropie asymptotiqueh et la vitesse de fuitel associées àune marche aléatoire sur le groupe des isométries d’un espace hyperbolique au sens de Gromov, lien de la forme diν  h/l.Ensuite, on utilise cette propriété afin de construire une mesure harmonique de dimension aussi petite que voulue et oun résultat sur le type de cette mesure.Pour citer cet article : V. Le Prince, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005). 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.AbstractSingularity of the harmonic measure on the boundary of a hyperbolic group. This Note deals with the dimension of thharmonic measureν associated with a random walk on the isometry group of a Gromov hyperbolic space. We establisof the form dimν  h/l between the dimension of the harmonic measure, the asymptotic entropyh f the random walk andits rate of escapel. Then we use this inequality to show that the dimension of this measure can be made arbitrarily smdeduce a result on the type of the harmonic measure.To cite this article: V. Le Prince, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005). 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.1. IntroductionOn considère un espace hyperbolique au sens de Gromov(X,d) [4], dans lequel, un point de baseo étant fixé,on note(·|·) le produit de Gromov. Son bord géométrique est noté∂X. On se donne un sous-groupe dénombraG du groupe des isométries de(X,d) agissant proprement discontinûment. L’ensemble limiteΛG deG est définicomme l’ensemble des points d’accumulation dans∂X de l’orbiteGo. On supposera cet ensemble infini ;G estalors dit non-élémentaire.Adresse e-mail :vincent.leprince@math.univ-rennes1.fr (V. Le Prince).1631-073X/$ – see front matter 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.doi:10.1016/j.crma.2005.04.010740 V. Le Prince / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005) 739–742s,ent à sonport desursure deonique,tnne entree),tier,ourreitessebleEtant donnée une mesure de probabilitéµ surG, on définit la marche aléatoire associée(xn)n0 parx0 = e etpourn  1 xn = h1 · · ·hn, (hi)i1 étant une suite de variables aléatoires indépendantes de loiµ. On noteP la loide la trajectoirex = (xn) dansGN ; la loi dexn est la convoléenèmedeµ, notéeµn. Sous certaines hypothèseon sait décrire le comportement asymptotique de cette marche :Proposition 1.1 [7]. On suppose que le support deµ engendre le groupeG. Alors la suite(xno) convergeP-presquesûrement vers un élémentx∞ de∂X.On appelle mesure harmonique la distribution dex∞, notéeν. Cette mesureν estµ-stationnaire :ν = µ ∗ ν. Side plus la mesureµ admet un moment d’ordre 1, c’est à dire∑g∈G µ(g)d(o, go) < +∞, alors(∂X,ν) coincideavec le bord de Poisson de(G,µ) [7].Nous allons nous intéresser ici à la dimension de Hausdorff de la mesure harmonique et par conséqutype. Concernant ces caractéristiques, on sait déjà que la mesure harmonique n’a pas d’atome. Si le supµengendreG en tant que semi-groupe, le support deν st l’ensemble limite. Notre but sera ici de construireG une mesureµ symétrique telle que la mesure harmonique associée soit singulière par rapport à la meHausdorff surΛG. Pour cela, on établit dans la partie 2 une relation entre la dimension de la mesure harmla vitesse de fuitel de la marche aléatoire et son entropie asymptotiqueh qui étend la relation dimH ν = hl , établie,dans le cas des arbres, dans [6] ([8] pour le groupe libre).Rappelons les définitions des termes intervenant dans cette relation. On supose ici queµ adm t un momend’ordre 1. On appelle vitesse de fuite de la marche le taux de croissance asymptotique de la distance moyexno eto [5] ; c’est à dire, en notantL(µn) = ∑g∈G µn(g)d(o, go) (fini carµ admet un moment d’ordre 1), la limitl(µ) de la suite(L(µn)/n)n, limite qui existe car la suite(L(µn)) est sous-additive. De même en notantH(µn) =−∑µn(g) log(µn(g)) l’entropie usuelle de la loiµn (également finie lorsqueµ admet un moment d’ordre 1on définit l’entropie asymptotique [1] comme la limiteh(µ) de la suite(H(µn)/n)n. Quant à la dimension deν,il s’agit de la dimension de Hausdorff minimale d’un ensemble deν-mesure égale à 1 ; on la note alors dimH ν.Rappelons également l’inégalitéh  lv [5], v désignant la croissance d’une orbite deG dansX.Les preuves détaillées des résultats annoncés dans cette note peuvent être trouvées dans [9].2. Majoration de la dimensionOn se place dans le cadre de l’introduction. On se donne également une mesureµ admettant un momend’ordre 1 et dont le support engendreG.Dans le cas oùX est un arbre, on définit une distance sur∂X en posantd ′(ξ1, ξ2) = e−(ξ1|ξ2). Dans le casgénéral, il existe surX ∪ ∂X une famille de distances(da)1<a<a0 ayant des propriétés similaires, en particulpour z1 et z2 dansX ∪ ∂X, da(z1, z2)  Ca−(z1|z2), où C est une constante (voir [3], Chapitre 11). On fixe pla suite une telle distanceda . Etant donnée une mesure de probabilitém sur un espace métrique(E,d), dont onnoteB(t, r) les boules, on appelle dimension ponctuelle (supérieure) dem en un pointt la limite : dimP m(t) =lim supr→0 logm(B(t, r))/logr . Sous certaines conditions sur l’espace(E,d), cette dimension ponctuelle majodimH ν (définie dans l’introduction) ; elle permet de plus une vision plus intuitive de la dimension : c’est la vde décroissance de la mesure des boules.On établit dans ce cadre le résultat suivant (la distance considérée étantda) :Proposition 2.1. Pour ν-presque toutξ dans∂X, on adimP ν(ξ)  1logahl.Décrivons en brièvement la preuve. On noteCnx l’ensemble des trajectoires coincidant avecx au tempsn etD(ξ, r) = {x: x∞ ∈ B(ξ, r)}. Rappelons que l’on a une convergenceP-presque sûre de(− logµn(xn)/n)n et(d(o, x o)/n) respectivement versh et l. Deux réelsη etε strictement positifs étant fixés, on introduit l’ensemn nV. Le Prince / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005) 739–742 741é-dela mesurensume icir-On a alorsesoin desΩN,ε des trajectoires telles que sin  N , (xn|xn+1) > (l − ε)n. Si N est assez grand, alorsP(ΩN,ε)  1 − η/2 ;on noteΩ un telΩN,ε . En utilisant la propriété deda citée ci-dessus, on obtient, pourx ∈ Ω etn  N , l’inclusionCnx ∩ Ω ⊂ D(x∞,Ka−n(l−ε)), K étant une constante. Ceci entraînedimP ν(x∞) = lim supn→+∞logP(D(x∞,Ka−n(l−ε)))log(Ka−n(l−ε)) lim supn→+∞logP(Cnx ∩ Ω)−n(l − ε) loga .On s’appuie ensuite sur un résultat de [6] qui affirme que sur un ensembleΩ ′ ⊂ Ω de mesure supérieure à 1− η,on a lim supn→+∞ logP(Cnx ∩ Ω)/n = lim supn→+∞ logµn(xn)/n ; ce qui permet de déduire de l’inégalité prcédente que surΩ ′, dimP ν(x∞)  lim supn→+∞ − logµn(xn)/n(l − ε) loga ; et donc que sur un ensemblemesure plus grande que 1− η, dimP ν(x∞)  h/(l − ε) loga.3. Construction d’une mesure harmonique de petite dimensionOn se place toujours dans le même cadre. On souhaite construire une mesure telle que la dimension deharmonique associée soit aussi petite que voulue. Pour cela on se donne une mesureµ symétrique admettant umoment d’ordre 1 et dont le support engendreG, ainsi qu’un élément hyperboliqueγ0 (G en contient un carGest non-élémentaire, voir [3]). On note alorsγk = γ k0 o et γ± = limk→±∞ γk . Puis pour chaquek  0 on poseµk = 12µ + 14(δγk + δγ−k ). On noteνk la mesure harmonique associée àµk .La quantitéh(µk) est bornée car elle est majorée parH(µk), et on voit facilement queH(µk) est bornée. Vuela Proposition 2.1, le problème est donc ensuite de montrer que la vitesse de fuite devient grande. On réles principales étapes de cette démonstration.Etant donné un rayon géodésiqueh, on définit le cocycle de Busemannβh associée surX2 par : βh(x, y) =limt→+∞[d(y,h(t)) − d(x,h(t))]. Si de plusX est un espace CAT(−1) (par exemple un arbre ou le plan hypebolique), cette quantité ne dépend que de la classe d’équivalenceξ deh dans∂X ; on la note alorsβξ (x, y). Pourplus de simplicité, on se place maintenant dans ce cadre (sinon on a un cocycle « à une constante près »).la formule suivante :l(µ) =∑g∈Gµ(g)∫∂Xβξ (o, g−1o)dν(ξ) ;et pour les mesuresµk on obtient ainsi (dans le cas général, à une constante additive près) :l(µk) = 12∑gµ(g)∫∂Xβξ (o, g−1o)dνk(ξ) + 14∫∂X[βξ (o, γk) + βξ (o, γ−k)]dνk(ξ). (1)Le premier membre de cette somme est borné. Quant au second, pour montrer qu’il devient grand on a blemmes suivants. Tout d’abord une propriété due à la convexité de la distance :Lemme 3.1. Il existe une constanteC, qui dépend uniquement deδ et deγ0, telle que pour toutk et pour toutξ ,βξ (o, γk) + βξ (o, γ−k)  C.Ensuite la minimalité de l’action deG sur son ensemble limite nous permet d’obtenir :Lemme 3.2. SoitU un ouvert rencontrantΛ . Il existe une constanteα > 0 telle que pour toutk on aitν (U)  α.G k742 V. Le Prince / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005) 739–742réei.ateursensionsdorff) 241–270.1990., 1987,.Groups:004.On choisit ensuite convenablementU (par la condition :∀ξ ∈ U , (ξ |γ±)  constante) de sorte que pourξ ∈ U(et uniformément),βξ (o, γk) etβξ (o, γ−k) tendent vers l’infini aveck ; ce qui permet de montrer quelimk→+∞∫U[βξ (o, γk) + βξ (o, γ−k)]dνk(ξ) = +∞.Quant à l’intégrale surUC , on la minore grâce au Lemme 3.1. On déduit alors de la formule (1) :Proposition 3.3. La suite(µk) a la propriété suivante: limk→∞ h(µk)l(µk) = 0.La Proposition 2.1 nous permet alors d’obtenir le résultat suivant :Théorème 3.4. Soient(X,d) un espace hyperbolique etG un sous-groupe du groupe des isométries deX agissantproprement discontinûment, non-élémentaire. On fixe une distanceda sur ∂X. Alors pour chaqueη > 0, il existeune mesureµ symétrique dont le support engendreG, admettant un moment d’ordre1, et ayant la propriétésuivante: la dimension ponctuelle supérieure de la mesure harmoniqueν associée à la marche aléatoire engendpar µ estν-presque sûrement inférieure àη. Si de plusG est finiment engendré,µ peut être choisie à support finDans le cas d’un groupe hyperbolique agissant sur son graphe de Cayley (on fixe un système de générS),la dimension de∂G (on a fixé une distanceda) est égale à la croissance (par rapport àS) va(G) deG (voir [2]) :va(G) = lim supR→∞loga card{g ∈ G: d(e, g)  R}R;et la mesure de Hausdorff est finie et non nulle. On peut alors majorer la dimension usuelle par la dimponctuelle ; et comme la première est un invariant du type, on en déduit la propriété suivante.Corollaire 3.5. Etant donné un groupe hyperboliqueG non-élémentaire, il existe une mesureµ symétrique àsupport fini dont le support engendreG, et telle que la mesure harmonique associée et la mesure de Hausur ∂G (sur lequel on a fixé une distanceda) soit singulières.RemerciementsJe tiens à remercier Vadim Kaimanovich pour ses conseils lors de l’élaboration de ce travail.Références[1] A. Avez, Entropie des groupes de type fini, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. A 275 (1972) 241–270.[2] M. Coornaert, Mesures de Patterson–Sullivan sur le bord d’un espace hyperbolique au sens de Gromov, Pacific J. Math. 159 (1993[3] M. Coornaert, T. Delzant, A. Papadopoulos, Les groupes hyperboliques de Gromov, Lecture Notes in Math., vol. 1441, Springer,[4] M. Gromov, Hyperbolic groups, in: S.M. Gersten (Ed.), Essays in Group Theory, in: MSRI Publ., vol. 8, Springer, New Yorkpp. 75–263.[5] Y. Guivarc’h, Sur la loi des grands nombres et le rayon spectral d’une marche aléatoire, Astérisque 74 (1980) 47–78.[6] V.A. Kaimanovich, Hausdorff dimension of the harmonic measure on trees, Ergodic Theory Dynamical Systems (1998) 631–660[7] V.A. Kaimanovich, The Poisson formula for groups with hyperbolic properties, Ann. of Math. 152 (2000) 659–692.[8] F. Ledrappier, Some asymptotic properties of random walks on free groups, in: J. Taylor (Ed.), Topics in Probability and LieBoundary Theory, in: CRM Proc. and Lecture Notes, vol. 28, Amer. Math. Soc., 2001, pp. 117–152.[9] V. Le Prince, Dimensional properties of the harmonic measure for a random walk on a hyperbolic group, prépublication IRMAR, 2

Singularité de la mesure harmonique sur le bord d'un groupe hyperbolique

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