Nicolas Prudhon

Prudhon, Nicolas

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C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007) 369–372http://france.elsevier.com/direct/CRASS1/Théorie des groupesMétriques positives sur les espaces homogènes réductifsNicolas Prudhon 1UFR de mathématiques et informatique, 7, rue René-Descartes, 67084 Strasbourg cedex, FranceReçu le 17 décembre 2006 ; accepté après révision le 13 juillet 2007Disponible sur Internet le 11 septembre 2007Présenté par Étienne GhysRésuméÉtant donnés un groupe de Lie semi-simple réel G et un sous-groupe réductif L de G stable par l’involution de Cartan, nousdéfinissons une famille de métriques riemanniennes sur G/L, indexées par les points de G/K , où K est un sous-groupe compactmaximal de G. Nous utilisons ces métriques pour généraliser un lemme de Rawnsley, Schmid et Wolf de la théorie des représenta-tions associées aux variétés de drapeaux. Nous montrons alors que la représentation de G par translation à gauche sur l’espace desformes de carré intégrable sur G/L, n’est pas uniformément bornée. Pour citer cet article : N. Prudhon, C. R. Acad. Sci. Paris,Ser. I 345 (2007).© 2007 Publié par Elsevier Masson SAS pour l’Académie des sciences.AbstractPositive metrics on reductive spaces. Let G be a real semi-simple Lie group and L be a reductive subgroup of G stable bythe Cartan involution. We define a family of positive metrics on G/L parametrized by the points of G/K , where K is a maximalcompact subgroup of G. We then use these metrics to generalize a lemma of Rawnsley, Schmid and Wolf from representationtheory. We then show that the representation of G by left translation on the space of L2-forms on G/L is not uniformly bounded.To cite this article: N. Prudhon, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).© 2007 Publié par Elsevier Masson SAS pour l’Académie des sciences.La réalisation géométrique des modules de Zuckermann sur la cohomologie de Dolbeault de variétés de drapeaux(au sens de Wolf [6]) a été effectuée par H.W. Wong [7]. La construction d’une structure unitaire dans ces espacesde cohomologie conduit à considérer simultanément deux métriques sur ces variétés de drapeaux [5,1] : une premièremétrique, positive, non équivariante par rapport à l’action du groupe de Lie semi-simple G, et dont la définitiondépend du choix d’une involution de Cartan ; et une seconde, équivariante mais seulement non-dégénérée, qui estdéfinie intrinsèquement. Nous nous intéressons ici à la métrique positive. Nous donnons une nouvelle définition plusgéométrique de cette métrique, ce qui permet d’une part de comprendre comment celle-ci dépend du choix d’uneinvolution de Cartan, et d’autre part de montrer en toute généralité que l’action du groupe sur les formes différentiellesde carré intégrable définit une représentation continue du groupe G. Le cadre naturel de cette étude, plus général quecelui des variétés de drapeaux, est celui des espaces homogènes réductifs G/L, où L est stable par l’involution deAdresse e-mail : prudhon@math.u-strasbg.fr.1 L’auteur était à post-doctorant à Neuchâtel, support FNRS Suisse No 20-101469, lorsqu’il a commencé à rédiger cet article.1631-073X/$ – see front matter © 2007 Publié par Elsevier Masson SAS pour l’Académie des sciences.doi:10.1016/j.crma.2007.07.012370 N. Prudhon / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007) 369–372Cartan. La forme de Killing est alors non-dégénérée sur l’algèbre de Lie de L. De tels espaces homogènes apparaissentégalement en théorie des représentations [3]. L’utilisation de propriétés uniquement métriques suggère par ailleurs quela transitivité de l’action n’est pas nécessaire.Fixons maintenant quelques notations. Soient GC un groupe de Lie semi-simple complexe, G une forme réellede GC. Notons g0 l’algèbre de Lie de G, g celle du groupe complexifiée GC. Nous adoptons la même conventionpour les autres groupes et algèbres de Lie. Soit τ la conjugaison de g associée à g0. Soient K un sous-groupe compactmaximal de G, g0 = k0 ⊕ s0 la décomposition de Cartan correspondante, et θ l’involution de Cartan. L’extensionde θ à g est encore notée θ . Alors, par définition de θ , les involutions θ et τ commutent. La forme de Killing Best non-dégénérée sur g. Si E est un sous-espace vectoriel de g, nous notons E⊥ l’orthogonal de E pour la formehermitiennne (x, y) = B(x, τ(y)).Soit L un sous-groupe réductif de G, tel que θ(l) = l. Lorsque L est l’nsemble des points fixes d’une involution,ou encore lorsque G/L est une variété de drapeaux pour G, cette hypothèse n’est pas restrictive. L’involution θ estalors une involution de Cartan de l0, et L ∩ K est un sous-groupe compact maximal de L. La restriction de la formede Killing B à l est alors non-dégénérée. En particulier, la décomposition g = l ⊕ l⊥ est stable par l’action adjointede l. Soit Y = G/L. L’espace tangent (TeLY )C s’identifie avec l⊥ de façon L-équivariante. La métrique hermitiennesur (T Y )C est alors définie dans la littérature [5,1] de la façon suivante. On commence par définir cette métrique enl’origine en posant pour tous ξ, η ∈ l⊥,(ξ, η)pos = −B(ξ, θτ (η)). (1)Comme cette forme hermitienne n’est pas L-invariante (lorsque L n’est pas compact), il n’est pas possible de définirune forme hermitienne sur les autres espaces tangents par translation. On procède alors comme suit. D’après un lemmede Mostow [4], l’applicationK × l⊥ ∩ s0 × l ∩ s0  (k,X,Y ) → k exp(X) exp(Y ) ∈ Gest un difféomorphisme. Tout g ∈ G s’écrit donc de manière unique sous la formeg = k(g) exp(X(g)) exp(Y(g)).Si ξy ∈ (TyY )C un vecteur tangent au point y = gL ∈ Y , alors il existe un unique vecteur ξ ∈ (TeLY )C tangent àl’origine, vérifiant ξy = k(g) exp(X(g)) · ξ . En outre, si l ∈ L et g ∈ G, alorsk(gl) exp(X(gl)) = k(g) exp(X(g))l′ avec l′ ∈ L ∩ K. (2)La forme hermitienne est alors définie alors sans ambiguité, pour ξy, ηy tangents en y ∈ Y , en posant(ξy, ηy)y,pos = (ξ, η)pos.Dans cette Note, nous donnons une interprétation géométrique de la métrique ‖ · ‖pos. Nous utilisons cette inter-prétation pour montrer le lemme suivant :Lemme 1. Il existe une fonction C continue sur G, telle que si g ∈ G, et ξy ∈ (TyY )C est un vecteur tangent en y ∈ Y ,alors‖g · ξy‖gy,pos  C(g)‖ξy‖y,pos.De plus, une telle fonction C n’est pas bornée sur G. En outre, il existe une fonction longueur  sur G telle que lafonction C définie par C(g) = e(g) convienne.Ce lemme améliore dans deux directions un résultat de Rawnsley, Schmid et Wolf [5, lemme 7.3]. Tout d’abordnous supprimons l’hypothèse que l0 est l’ensemble des points fixes d’une involution. Ensuite, nous donnons uneformule explicite pour la fonction C.Rappelons que la variété Y = G/L possède une mesure G-invariante car le sous-groupe L est réductif.Corollaire 2. Soit H l’espace des formes différentielles de carré intégrable (au sens de Hodge–Kodaira) pour laforme hermitienne positive sur Y . Alors l’action du groupe G sur H définit une représentation continue de G pardes opérateurs bornés. En outre, cette représentation n’est pas uniformément bornée mais vérifie, pour toute formedifférentielle ω ∈ H, l’inégalité ‖g · ω‖pos  e(g)‖ω‖pos.N. Prudhon / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007) 369–372 371Ce résultat est l’analogue de la proposition 5.3 dans [1], mais est plus précis et supprime l’hypothèse que L estl’ensemble des points fixes d’une involution. La démonstration est analogue, après substitution du Lemme 1 au lemme[5, lemme 7.3] de J. Rawnsley, W. Schmid et J. Wolf.Pour donner une interprétation géométrique de la métrique positive, nous considérons la double fibrationG/LπL←−G/L ∩ K πK−→G/K.Le point de départ consiste à reformuler l’Éq. (2) de la manière suivante :Proposition 3. La formule σ :gL → k(g) exp(X(g))L ∩ K , définit bien une section de πL.Pour poursuivre, il faut maintenant donner une interprétation géométrique de la section σ . De manière générale,une section de πL est donnée par le choix d’un point base dans chaque fibre. Munissons la variété X = G/K dela métrique fournie par la forme de Killing comme dans l’Éq. (1). Alors, pour tout y ∈ Y fixé, la restriction de πKà Ey = π−1L {y} est un plongement sur un sous-espace totalement géodésique. Son image πK(Ey) ⊂ G/K est donc unsous-espace fermé (géodésiquement) convexe. Soit x ∈ X un point base. Comme l’espace X est un espace CAT (0),il existe un unique point σx(y) ∈ Ey qui réalise la borne inférieure des distances distG/K(πK(z), x) pour z ∈ Ey [2].Définition 4. L’application y → σx(y) détermine une section σx de πL.Proposition 5. Soit x0 = eK . Alors les sections σ et σx0 de πL sont égales.Démonstration. Soient y ∈ Y et g0 ∈ G tel que y = g0L. Il faut montrer que le point x1 = k(g0) exp(X(g0))K ∈πK(Ey) = {g0 exp(Y )K, Y ∈ l ∩ s0} réalise la distance de πK(Ey) à x0. Pour cela, considérons la géodésique γ : t →xt = k(g0) exp(tX(g0))K , joignant x0 à x1. Il suffit de montrer que dγdt |t=1 est orthogonal à Tx1πK(Ey). Soit g1 =k(g0) exp(X(g0)). Alors, nous avons d’une part g−11dγdt |t=1 = X(g0) ∈ l⊥ ∩s0 ; et d’autre part g−11 Tx1πK(Ey) = l∩s0.Comme l’action de G sur X est isométrique, la conclusion en résulte. Remarque 1. Les sections σx , x ∈ X, vérifientσgx(gy) = gσx(y) (3)par construction. Munissons la variété G/L ∩ K par la métrique ‖‖G/L∩K , définie par la forme de Killing, commedans l’Éq. (1). La famille de métriques (‖ · ‖x)x∈X sur G/L, définies par « pullback » de cette métrique via les sectionsσx , ‖ξy‖xy = ‖dyσx(ξy)‖G/L∩Kσ(y) , est équivariante au sens où ‖g · ξy‖gxgy = ‖ξy‖xy .Démonstration du Lemme 1. Commençons par montrer l’existence de la fonction C. Soit g0 ∈ G tel que y = g0L.Posons l = l(g, g0) = exp(Y (gg0)) exp(−Y(g0)). Il vient,‖g · ξy‖2gy,pos = −B(Ad(l)ξ,Ad(l)(θτ(ξ)))∥∥Ad(l)∥∥2op‖ξ‖2pos. (4)Il suffit donc de montrer que l = l(g, g0) ∈ L appartient à une partie compacte de L qui ne dépend que de g ∈ G maispas de y ∈ Y . Soit g1 = k(g0) exp(X(g0)) de sorte que eL ∩ K = g−11 σx0(y). Alors, d’après l’Éq. (3),σg−1x0(y) = g−1σx0(gy) = g−1k(gg0) exp(X(gg0))L ∩ K= g−1gg0 exp(−Y(gg0))L ∩ K = k(g0) exp(X(g0))l−1L ∩ K= g1l−1g−11 σx0(y).Par conséquent,distX(l−1x0, x0) = distX(l−1g−11 πK(σx0(y)), g−11 πK(σx0(y)))= distX(πK(g1l−1g−11 σx0(y)),πK(σx0(y)))= distX(πK(σg−1x (y)),πK(σx (y))).0 0372 N. Prudhon / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007) 369–372En outre, cette dernière distance est majorée par la distance distX(g−1 · x0, x0), par construction de σ et car la pro-jection sur un convexe fermé non vide est contractante [2] dans l’espace CAT (0) G/K . Cette dernière distance nedépend pas de y ∈ Y . Ceci montre l’existence de la fonction C, et le fait qu’elle soit non bornée. Une expressionexplicite de la fonction C est donnée dans le lemme suivant :Lemme 6. Il existe une constante cG telle la fonction longueur (g) = cGdistX(gx0, x0) vérifie‖gξy‖gy,pos  e(g)‖ξy‖y,pos.Démonstration. Soit h une sous-algèbre de Cartan déployée de g, telle que h′ = h ∩ l soit une sous-algèbre deCartan déployée de l. Choisissons un système de racines positives + pour le système de racines (h,g). Nouspouvons alors choisir une décomposition KAK de G telle que pour tout g ∈ G, la décomposition g = k1eH(g)k2vérifie α(H(g))  0 pour tout α ∈ +. Avec les notations de la démonstration précédente, écrivons l = l(g, g0) =k1eH k2, avec H = H(l) ∈ h′ ∩ Lie(A). Remarquons que [h′, l⊥] ⊂ l⊥ car h′ ⊂ l. Comme la forme hermitienne sur l⊥est L ∩ K-invariante, il vient, ‖gξy‖y,pos = ‖ exp(ad(H))ξ‖pos.Nous choisissons maintenant une base de l⊥. Comme les involutions θ et τ commutent, l’involution θτ (= τθ )laisse stable l’ensemble des poids de ad(h)|l⊥ . En effet, si Eα est un vecteur propre pour la forme α, [H,θτEα] =(θτ (α))(H)θτEα et θτEα est vecteur propre pour la forme θτ(α) Or, si Eα et Eβ sont des vecteurs correspondantà des poids α et β respectivement, alors B(Eα,Eβ) = 0 si α + β = 0. Par conséquent, les vecteurs non-nuls θτEαet E−α sont colinéaires, car (·, ·)pos est définie positive. Il existe donc une base orthonormée (pour la forme (·, ·)pos)de l⊥ formée de vecteurs associés aux poids de ad(h)|l⊥ . Soit (Eα) une telle base et écrivons ξ =∑α xαEα . Il vient,∥∥exp(ad(H))ξ∥∥2pos =∥∥∥∥∑αxαeα(H)Eα∥∥∥∥2pos e4ρ(H(l))‖ξ‖2pos,où ρ est la demi-somme des restrictions (non-nulles) à Lie(A ∩ L) des poids positifs de ad(h)|l⊥ . Soit ρG la demi-somme des restrictions (non-nulles) à Lie(A) des éléments du système de racines positives +. Il existe alorsune constante cG telle que 2ρ(H(l))  2ρG(H(l))  cG Trace(adH(l)2)1/2 = cG distX(lx0, x0)  cG distX(gx0, x0).Ainsi, la fonction longueur (g) = cG distX(gx0, x0) convient. Références[1] L. Barchini, R. Zierau, Square integrable harmonic forms and representation theory, Duke Math. J. 92 (3) (1998) 645–664.[2] M. Bridson, A. Heafliger, Metric Spaces of Non Positive Curvature, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 319, Springer,1999.[3] S. Mehdi, R. Zierau, Principal series representations and harmonic spinors, Adv. Math. 199 (2006) 1–28.[4] G.D. Mostow, Some new decomposition theorems for semi-simple groups, Mem. Amer. Math. Soc. 1955 (14) (1955) 31–54.[5] J. Rawnsley, W. Schmid, J.A. Wolf, Singular unitary representations and indefinite harmonic theory, J. Funct. Anal. 51 (1) (1983) 1–114.[6] J.A. Wolf, The action of a real semisimple group on a complex flag manifold. I. Orbit structure and holomorphic arc components, Bull. Amer.Math. Soc. 75 (1969) 1121–1237.[7] H.W. Wong, Dolbeault cohomologies and Zuckerman modules associated with finite rank representations, J. Funct. Anal. 127 (1995) 428–454.

Métriques positives sur les espaces homogènes réductifs

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