Lahcen Douge

Douge, Lahcen

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C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007) 515–518http://france.elsevier.com/direct/CRASS1/StatistiqueVitesses de convergence dans la loi forte des grands nombres et dansl’estimation de la densité pour des variables aléatoires associéesLahcen DougeL.S.T.A., Université Paris 6, 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, FranceReçu le 20 juin 2006 ; accepté après révision le 26 février 2007Disponible sur Internet le 6 avril 2007Présenté par Paul DeheuvelsRésuméNous considérons un processus stationnaire associé (Xi)i∈N. Nous établissons une nouvelle inégalité exponentielle et nousdéduisons une vitesse de convergence dans la loi forte des grands nombres. Pour ce type de processus une vitesse de convergencepresque sûre uniforme sur les ensembles compacts de l’estimateur à noyau de la fonction de densité est également établie. Pourciter cet article : L. Douge, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).© 2007 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.AbstractConvergence rates in the law of large numbers and for density estimation for associated random variables. Let (Xi)i∈N bea stationary associated random process. We give a new exponential inequality and derive a rate of convergence for the law of largenumbers. For this type of process, a uniform almost sure rate of convergence over compact sets for the kernel density estimator isalso given. To cite this article: L. Douge, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).© 2007 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.1. IntroductionSoit (Xi)i∈N une suite de variables aléatoires stationnaires associées. Dans cette Note, sous une condition de dé-croissance géométrique de la covariance, nous démontrons une inégalité exponentielle qui conduit à une nouvellevitesse de convergence dans la loi forte des grands nombres. En particulier, dans un cadre similaire, cette vitesse amé-liore celle obtenue avec l’inégalité de Roussas et Ioannides [6] de l’ordre [(logn)2/n)]1/6. Ensuite, nous démontronssous d’autres conditions de ρ régularité et de décroissance de la covariance que sur un compact I de Rsupx∈I∣∣fn(x) − f (x)∣∣ = O(log2 nn)ρ/(2ρ+1)p.s.Une légère amélioration est alors observée par rapport aux résultats de Masry [5] d’ordre n−δ , 0 < δ, et de Doukhanet Louhichi [3] d’ordre (logn)−2ρ/(2ρ+1).Adresse e-mail : douge@ccr.jussieu.fr.1631-073X/$ – see front matter © 2007 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.doi:10.1016/j.crma.2007.02.017516 L. Douge / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007) 515–518Définition 1. Une suite (Xn)n∈N est dite positivement associée, ou tout simplement associée, si pour tout sous-ensemble fini I de N et pour toutes fonctions réelles croissantes H1 et H2 définies sur RI ,Cov(H1(Xi, i ∈ I ),H2(Xi, i ∈ I )) 0,lorsque cette covariance existe.La notion de l’association a été introduite par Esary, Proschan et Walkup [4], dont l’objectif était de trouver desapplications en fiabilité et en statistique.2. Inégalité exponentielleThéorème 2.1. Soit (Xi)i∈N une suite stationnaire de variables aléatoires (v.a.) associées vérifiant les conditionssuivantes(i) |Xi |  M , ∀ i  0, où M est une constante ;(ii) C(k) := Cov(X0,Xk)  θ0 exp(−θk), pour tout k  0, θ > 0 et θ0 > 0.Alors, pour tout n  2 et tout ε > 6M√n, on obtientP(1n∣∣∣∣∣n∑i=1(Xi − EXi)∣∣∣∣∣  ε) 8C0 exp(−θ ∧ 112M√nε), (1)où C0 = exp(θ0/(4M2(1 − e−θ ))).Démonstration. (Indications) Pour n  2, on pose p = p(n) et r = r(n) tels que 2pr  n. Soit Yi = Xi − EXi ,i = 1, . . . , n, et Sn = 1n∑ni=1 Yi . Définissons les v.a. Ui,Vi , i = 1, . . . , r , et Wn parUi = Y2(i−1)p+1 + · · · + Y(2i−1)p, Vi = Y(2i−1)p+1 + · · · + Y2ip, Wn = Y2pr+1 + · · · + Yn,et Un = 1n∑ri=1 Ui , V n = 1n∑ri=1 Vi , Wn = Wnn . Pour tout ε > 0, nous constatons bien queP(Un  ε)  e−λεE(eλUn) e−λε[∣∣∣∣∣E(e λn∑ri=1 Ui) − r∏i=1E(eλnUi)∣∣∣∣∣ +r∏i=1E(eλnUi)]. (2)En appliquant l’inégalité ex  1 + x + x2 (|x|  12 ), pour x = λnUn, où λ = θ∧14M np , nous obtenonsr∏i=1E(eλnUi)r∏i=1E(1 + λnUi + λ2n2U2i) exp(θ01 − e−θλ2n). (3)D’autre part comme U1, . . . ,Ur sont des v.a. associées (propriété 4 de [4]), d’après le Lemme 3.1 de Dewan et PrakasaRao [1], il ressort que∣∣∣∣∣E(e λn∑ri=1 Ui) − r∏i=1E(eλnUi)∣∣∣∣∣  λ2θ02n(1 − e−θ ) exp(λM − θp). (4)Les inégalités (3) et (4) sont vérifiées si on remplace Ui par −Ui . Pour un choix de p = [√n], et d’après (2), il découlequeP(|Un|  ε) = P(Un  ε) + P(−Un  ε)  4C0 exp(−θ ∧ 14M√nε), (5)où C0 = exp(θ0/(4M2(1 − e−θ ))). Il est clair que V n vérifie l’inégalité (5) et que P(|Wn|  ε) = 0 pour toutε > 2M/√n. Du fait que Sn = Un + V n + Wn, achève la démonstration. Remarque. D’après l’inégalité (1), on déduit que 1 |∑n (Xi − EXi)| = O( logn√ ) p.s.n i=1 nL. Douge / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007) 515–518 517Exemple (Processus linéaire généré par des variables aléatoires associées). Soit (Xi, i ∈ N) un processus linéairedéfini par : Xj = ∑∞i=0 aiεj−i où ai est une suite de nombres réels telle que |ai |  r0ri , où r0 > 0, 0 < r < 1, et,(εi, i ∈ Z) est une suite stationnaire de v.a. associées bornées telle que E(εi) = 0 et Cov(ε0, εn)  ρ0ρ|n| où ρ0 > 0 et0 < ρ < 1. Si r < ρ, alors (Xi, i ∈ N) vérifie l’inégalité exponentielle (1).3. Convergence uniforme de l’estimateur à noyau de la densité et vitesse de convergenceSoit (Xi)i∈N une suite strictement stationnaire de v.a. associées telle que X0 et (X0,Xj ) aient des densités, notéesrespectivement f et f0,j . On considère l’estimateur à noyau de f , fn(x) = 1nhn∑ni=1 K(x−Xihn), où K est un noyaud’intégrale 1 et hn une suite de nombres réels positifs telle que hn → 0 et nhn → ∞. Les hypothèses faites sur la suitede v.a. (Xi)i∈N sont les suivantes :Hypothèses.(H1) supj1 ‖ f0,j − f ⊗ f ‖∞ C et ‖f ‖∞  C où C est une constante ;(H2) Le noyau K est borné, dérivable et sa dérivée K ′ est bornée ;(H3) (i)∑n−1k=0(k + 1)l θ1/4k = O(nγ l/2), ∀l  0, 0 < γ < 1,(ii)∑∞k=0 θ1/4k < ∞ où θk = sup{|i−j |k} Cov(Xi,Xj ), ∀k  1 et θ0 = 1.Théorème 3.1. Sous (H1)–(H3), si h−1n = O(n1−γ ), alors il existe D > 0 tel que pour tout λ > 0 et pour tout x ∈ RP(∣∣fn(x) − Efn(x)∣∣ > λ)  √2 e2 exp(−Dλ√nhn ). (6)Démonstration. (Indications) La preuve du théorème est similaire dans ses grandes lignes à celle de Doukhan etLouhichi [3] pour une classe de v.a. faiblement dépendantes qui inclut les variables associées. Notons qu’ici onremplace l’hypothèse de décroissance géométrique de la covariance dans [3] par (H3) ce qui nous permet d’avoir unfacteur λ dans l’inégalité exponentielle au lieu de√λ.Soient Sn = ∑ni=1 K(x−Xihn ) − EK(x−Xihn ) et g(y) = K(x−yhn ) − EK(x−yhn ), on voit que∣∣ESqn ∣∣  q! ∑1t1···tqn∣∣Eg(Xt1) · · ·Eg(Xtq )∣∣ =: q!Aq(g).Pour majorer ESqn il suffit donc de majorer Aq(g). D’après les Lemmes 14 et 15 de [2], on aAq(g) q−1∑m=1Am(g)Aq−m(g) + nn−1∑r=0(r + 1)q−2 Cr,q(g), (7)oùCr,q(g) = sup1t1···tqn∣∣Cov(g(Xt1) · · ·g(Xtm), g(Xtm+1) · · ·g(Xtq ))∣∣et r = tm+1 − tm = max1iq−1(ti+1 − t i).Pour tout r  1, on distingue ensuite les étapes suivantes :– Sous les hypothèses (H1) et (H2) : |Cov(g(Xt1) · · ·g(Xtm), g(Xtm+1) · · ·g(Xtq ))|  2q−2‖K‖q−2∞ Ch2n ;– Par association : |Cov(g(Xt1) · · ·g(Xtm), g(Xtm+1) · · ·g(Xtq ))|  2q−2‖K‖q−2∞ ‖K ′‖2∞θr/h2n ;– C0,q (g) = |Egq(X1)|  2q‖K‖q−1∞ ‖f ‖∞hn.Les trois bornes précédentes entraînentCr,q(g)  Cq1 θ1/4r hn ∀r  0, (8)où C1 = 2 max{‖K‖∞,‖K ′‖∞,C,1}.518 L. Douge / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007) 515–518D’après (7) et (8) et sous (H3) avec la condition h−1n = O(n1−γ ), il existe une constante A > 0 telle queAq(g) q−1∑m=1Am(g)Aq−m(g) + Aq(nhn)q/2 ∀q  2.Un raisonnement par récurrence sur q , permet de conclure que∣∣ESqn ∣∣  2q!q! Aq(nhn)q/2 ∀q  0.En optimisant cette inégalité par rapport à q et en utilisant l’inégalité de Markov nous obtenons (6). Théorème 3.2. Supposons que la fonction de densité f soit lipschitzienne d’ordre ρ et que les hypothèses (H1)–(H3)soient vérifiées pour γ < 1 − 12ρ+1 . Si de plus, limn→∞ nhnlog2 n = ∞ et hn = (log2 nn)1/(2ρ+1) et si∫ |u|ρK(u)du < ∞,alors pour tout compact I de R on asupx∈I∣∣fn(x) − f (x)∣∣ = O(log2 nn)ρ/(2ρ+1)p.s.Références[1] I. Dewan, B.L.S. Prakasa Rao, A general method of density estimation for associated random variables, J. Nonparametric Statist. 10 (1999)405–420.[2] P. Doukhan, S. Louhichi, A new weak dependence condition and applications to moment inequalities, Stochastic Process. Appl. 84 (1999)313–342.[3] P. Doukhan, S. Louhichi, Functional estimation of a density under a new weak dependence condition, Scand. J. Statist. 28 (2001) 325–341.[4] J.D. Esary, F. Proschan, D. Walkup, Association of random variables, with applications, Ann. Math. Statist. 38 (1967) 1466–1474.[5] E. Masry, Multivariate probability density estimation for associated processes: Strong consistency and rates, Statist. Probab. Lett. 58 (2001)205–219.[6] G.G. Roussas, D.A. Ioannides, Exponential inequality for associated random variables, Statist. Probab. Lett. 42 (1999) 423–431.

Vitesses de convergence dans la loi forte des grands nombres et dans l'estimation de la densité pour des variables aléatoires associées

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