Agathe Guilloux

Guilloux, Agathe

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1/nnuee.teurhemmonidust,C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006) 275–278http://france.elsevier.com/direct/CRASSStatistiqueEstimation sous biais de sélection et avec fonction de poids incoAgathe GuillouxLSTA, université Pierre et Marie Curie, 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, FranceReçu le 3 février 2005 ; accepté après révision le 15 novembre 2005Présenté par Paul DeheuvelsRésuméNous considérons le problème de l’estimation de la fonction de répartitionG d’une variable aléatoire (v.a.) positiveX à partirde l’observation d’une v.a. biaiséeY de fonction de répartitionFw =∫w(x)dG(x)/µw, oùw est une fonction de poids inconnuEn supposant de plus que l’échantillon issu de la fonction de répartitionFw est censuré à droite, nous construisons un estimaĜ de la fonction de répartitionG pour lequel on énonce un théorème de consistance forte et de convergence faible.Pour citer cetarticle : A. Guilloux, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006). 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.AbstractDistribution estimation from biased data with unknown weighting function. We consider the problem of estimating tcumulative distribution function (cdf)G of a non-negative random variable (r.v.)X from the observation of a biased r.v.Y with cdfFw =∫w(x)dG(x)/µw, wherew is an unknown weighting function. We assume moreover that the random sample with cocdf Fw is right-censored. We construct an estimatorĜ for the cdfG and state its strong consistency and weak convergence.To citethis article: A. Guilloux, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006). 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.1. IntroductionConsidérons une population d’individusi ∈ I , dans laquelle on noteσi l’instant de naissance etXi la durée de viede l’individu i. SoitG la fonction de répartition de la v.a.X. Supposons que l’on ne peut observer que les indivvivants à un instantt0 fixé d’échantillonnage. L’individui peut donc entrer dans l’échantillon siσi < t0 etσi +Xi > t0(ce qui assure qu’il est né avantt0 et qu’il meurt aprèst0). On peut alors montrer que les v.a.ς etY , qui représentenrespectivement, l’instant de naissance et la durée de vie pour les individus vivants à l’instantt0, souffrent d’un biaisde sélection. On a, en effet, pour touts et t :P(ς  s, Y  t) = P(σ  s,X  t |σ < t0, σ + X > t0) = P(σ  s,X  t).Adresse e-mail :aguillou@ccr.jussieu.fr (A. Guilloux).1631-073X/$ – see front matter 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.doi:10.1016/j.crma.2005.11.016276 A. Guilloux / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006) 275–278l. [6] etrerre et dans lees-processuse peut êtreindividuseùvivementon de lalée,Plus précisément, supposons que le processus ponctuelη = ∑i∈I δσi (où δa est la masse de Dirac ena), forméà partir des instants de naissance dans la populationI , est poissonnien non-homogène d’intensitéϕ. On peut alorsmontrer, voir en particulier Lund [8], queY a pour fonction de répartitionFw donnée, pour toutt > 0, par :Fw(t) =∫ t0 w(x)dG(x)∫ ∞0 w(x)dG(x), oùw(t) =t∫0ϕ(t0 − σ)dσ, pour toutt > 0, (1)et µw =∫ ∞0 w(x)dG(x) < ∞. La fonctionFw est souvent appelée versionbiaiséede la fonctionG et l’on dit alorsque la v.a.X souffre d’un biais de sélection.Depuis Fisher [5], de nombreux auteurs ont étudié ce problème, en particulier Patil et Rao [9], Gill et aEfromovitch [4]. Ces derniers ont fait l’hypothèse que la fonction de poidsw e t connue. Notre but est ici de montque, dans le modèle d’échantillonnage décrit ci-dessus, on peut se passer de cette hypothèse. Dans ce cadcas où la fonction de biaisw est inconnue, nous construisons un estimateurĜ de la fonction de répartitionG à partird’un n-échantillon de couples(ς1, Y1), . . . , (ςn,Yn), où les durées de vieY1, . . . , Yn sont censurées à droite par dv.a. positivesC1, . . . ,Cn. Nous énonçons également un théorème de consistance uniforme pour l’estimateurĜ et deconvergence faible pour le processus√n(Ĝ − G).2. Description des observations et de la censureConsidérons maintenant la populationJ des individus vivants à l’instantt0. Soit un individuj de cette population J , né enςj et de durée de vieYj . La v.a. positivet0 − ςj représente alors son âge à l’instantt0 d’échantillonnageet peut donc être appelée « temps de récurrence arrière ». On peut montrer, toujours en supposant que leη = ∑i∈I δσi est poissonnien non-homogène d’intensitéϕ, que, pour toutut  0 :P(t0 − ς  t) = P(t0 − σ  t |σ < t0, σ + X > t0) = 1µwt∧t0∫0ϕ(t0 − s)G(s)ds. (2)Ainsi la loi des v.a.ς et Y , voir les Éqs. (1) et (2), détermine de manière unique les fonctionsG et w. Ceci assurel’identifiabilité du problème proposé.La durée de vie après l’échantillonnage de l’individuj est donnée par la v.a. positiveςj +yj − t0 qui peut alors êtrenommée « temps de récurrence avant ». Comme les individus entrent dans l’échantillon au tempst0, il est naturel desupposer que seul le temps de récurrence avant peut être censuré ou, de façon équivalente, qu’un individu ncensuré qu’à partir du moment où il est dans l’échantillon. On peut alors supposer que les durées de vie desde la populationJ sont censurées à droite par une v.a.C de fonction de répartitionH de telle sorte que l’on n’observpas des réalisations de la v.a.Y mais de la v.a.Z donnée par :Z = t0 − ς + (ς + Y − t0) ∧ Coùx ∧ y est le minimum entrex ety. On suppose également que l’indicatriceI ({ς + Y − t0  C}) est observable, oI (A) est l’indicatrice de l’événementA.Ce modèle de censure a été étudié par Winter et Földes [11] et Asgharian et al. [3], notamment, et défendupar Asgharian [2]. Il faut noter ici que ces derniers auteurs ont étudié le cas particulier où, dans l’expressifonction de répartitionFw, la fonction de poids est donnée parw(t) = t pour toutt > 0, ce cas particulier est appebiais de longueur. Ceci correspond, dans notre formulation, à supposer que le processusϕ e t poissonnien homogènc’est-à-dire d’intensitéϕ constante.3. Estimation de la fonction de répartitionComme décrit dans la partie précédente, nous travaillons maintenant avecn individus vivants à l’instant0 pourlesquels on observe les triplets indépendants :(ςj ,Zj , I({ςj + Yj − t0  Cj })) pourj = 1, . . . , n.A. Guilloux / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006) 275–278 277els.enaronsidéré,blentrer lavergencerOn peut alors construire les processusM etO définis, pourt > 0, par :M(t) =n∑j=1I({Yj  t, ςj + Yj − t0  Cj }) et O(t) = n∑j=1I({t0 − ςj  t  Yj ,Cj + t0 − ςj  t}).Pour toutt > 0, la v.a.M(t) donne, à chaque âget , le nombre d’individus de la populationJ morts avant cet âget . LeprocessusM est donc un processus de comptage classique. La v.a.O(t) donne le nombre d’individus deJ ni morts,ni censurés à l’âget .On remarquera que la différence entre le processusO défini plus haut et le processusnombre-à-risque, habituel-lement utilisé en statistique des durées de vie, réside dans la première indicatriceI ({t0 − ςj  t}) qui assure quel’individu j est dans l’échantillon à l’âget . Une conséquence de la définition du processusO est qu’il n’est pasdécroissant, comme l’est le processusnombre à risque.A l’aide des processusM et O, on peut construire un estimateur̂G, de type produit-limite, de la fonction drépartitionG, défini, pour tout > 0, par :Ĝ(t) = 1−πst(1− I({O(s) > 0})dM(s)/O(s)),oùπ est le produit-intégral et est défini, pourX fonction càdlàg à variations localement bornées, par :πst(1+ dX(s)) = limmax|ui−ui−1|→0∏1in(1+ X(ui) − X(ui−1))où 0= u0 < · · · < ui < · · · < un = t est une partition de l’intervalle[0, t], cf. Andersen et al. [1] pour plus de détaiComme le processusO n’est pas décroissant, on peut avoir pour unt1 > 0 dM(t1) = 1 (une mort observée ent1)et O(t1) = 1. Dans ce cas, l’estimateur̂G vaut 0 pour tous lest  t1. Pour palier ce problème, nous introduisons,suivant Winter et Földes [11], l’estimateur̂Gn défini pour toutt  0 par :Ĝn(t) = 1−πst(1− I ({O(s) > 0})dM(s)O(s) + nθn)(3)où (θn)n1 est une suite d’entiers positifs qui vérifie limn→∞ nθn = 0. Cet estimateur explicite a été introduit pWinter et Földes [11] dans le cas du biais de longueur et d’une censure déterministe. Asgharian et al. [3] ont ctoujours dans le cas du biais de longueur, un estimateur non explicite de la fonction de répartition.On montre que, parmi les individus vivants àt0, on a, pour tout > 0 :E(M(t)) = nµw( t∫0w(x)dG(x) −t∫0x∫0w(x − c)dH(c)dG(x))etE(O(t)) = nµw((1− G(t))w(t) − (1− G(t)) t∫0w(t − c)dH(c)).Ce résultat et le fait que le processusM − ∫ O(x)dG(x)/(1 − G(x)) est une martingale locale de carré intégrapermet de montrer le théorème suivant. On utilise alors, principalement, l’inégalité de Lenglart [7] pour moconsistance uniforme et le théorème de la limite centrale pour les martingales de Rebolledo pour la confaible [10].Théorème 3.1. Notonsτ = sup{t > 0, (1−G(t))(1−H(t)) > 0}, on montre la convergence, pour toutτ ′  τ , quandn tend vers l’infini:suptτ ′∣∣Ĝn(t) − G(t)∣∣ P−→ 0.De plus, pour toutτ ′  τ , on montre la convergence faible suivante dans l’espaceD[0, τ ′] des fonctions càdlàg su[0, τ ′] :√n(Ĝn − G) D−→ L,278 A. Guilloux / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006) 275–278lan–tist. As-9–1172., North-oùL est un processus gaussien centré de fonction de variance donnée, pour tout(s, ) ∈ [0, τ ′]2, par :〈L(s),L(t)〉 = (1− G(s))(1− G(t)) s∧t∫0µw dG(x)(1− G(x))2(w(x) − ∫ x0 w(x − c)dH(c)) .On remarque que la variance limite du processus√n(Ĝ−G) est proche de celle du processus classique de KapMeier, si ce n’est qu’ici on obtientµ−1w (w(x) −∫ x0 w(x − c)dH(c)) au lieu de 1− H(x).Références[1] P.K. Andersen, O. Borgan, R.D. Gill, N. Keiding, Statistical Models Based on Counting Processes, Springer-Verlag, 1993.[2] M. Asgharian, Biased sampling with right censoring: a note on Sun, Cui & Tiwari, Canad. J. Statist. 31 (2002) 349–350.[3] M. Asgharian, C.E. M’Lan, D.B. Wolfson, Length-biased sampling with right-censoring: an unconditional approach, J. Amer. Stasoc. 97 (2002) 201–209.[4] S. Efromovitch, Density estimation for biased data, Ann. Statist. 32 (2004) 1137–1161.[5] R.A. Fisher, The effect of methods of ascertainment upon the estimation of frequencies, Ann. Eugen. 6 (1934) 13–25.[6] R.D. Gill, Y. Vardi, J.A. Wellner, Large sample theory of empirical distributions in biased sampling model, Ann. Statist. 16 (1988) 106[7] E. Lenglart, Relation de domination entre deux processus, Ann. Inst. H. Poincaré 13 (1977) 171–179.[8] J. Lund, Sampling bias in population studies – how to use the Lexis diagram, Scand. J. Statist. 27 (2000) 589–604.[9] G.P. Patil, C.R. Rao, The weighted distributions: a survey of their applications, in: P.R. Krishnaiah (Ed.), Applications of StatisticsHolland Publishing Co., Amsterdam, 1977, pp. 383–405.[10] R. Rebolledo, Central limit theorems for local martingales, Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 51 (1980) 269–286.[11] B.B. Winter, A. Földes, A product-limit estimator for use with length-biased data, Canad. J. Statist. 16 (1988) 337–355.

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