Dominique Volpert

François Rogier

Jean-François Roussel

Rogier, François

Roussel, Jean-François

Volpert, Dominique

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C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006) 633–636http://france.elsevier.com/direct/CRASS1/Équations aux dérivées partiellesApproximations filaires pour les équations de Poissonet de Maxwell harmoniquesFrançois Rogier, Jean-François Roussel, Dominique VolpertONERA-CERT, 2, avenue Édouard-Belin, BP 4025, 31055 Toulouse cedex 4, FranceReçu le 21 juin 2005 ; accepté après révision le 12 octobre 2006Disponible sur Internet le 7 novembre 2006Présenté par Évariste Sanchez-PalenciaRésuméOn s’intéresse à l’approximation de l’équation de Poisson et des équations de Maxwell en régime harmonique autour d’ uncylindre de rayon très petit. Si on souhaite résoudre numériquement l’équation par une méthode d’éléments finis on doit maillerle domaine extérieur au cylindre avec une finesse qui doit être de l’ordre du rayon du fil. Or, cette contrainte est trop forte dansun grand nombre d’applications (calcul d’environnement plasma de satellite, calculs d’antennes en électromagnétisme). Une étudemathématique de la convergence de la suite des solutions de l’équation de Poisson vers un problème limite est proposée lorsquele rayon ε du cylindre tend vers 0 qui permet d’obtenir une vitesse de convergence en 1/ ln(ε). On propose une méthode diteapproximation filaire permettant de tenir compte du fil sans avoir à discrétiser localement au voisinage du fil et convergente en aumoins√ε. Cette méthode est justifiée dans le cas de l’équation de Poisson et est étendue formellement au cas d’un fil à sectionquelconque puis aux équations de Maxwell en régime harmonique. Pour citer cet article : F. Rogier et al., C. R. Acad. Sci. Paris,Ser. I 343 (2006).© 2006 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.AbstractWire approximation for Poisson and time-harmonic Maxwell equations. We are interested in the approximation of thePoisson and time harmonic Maxwell equations around a circular cylinder with a small radius. Numerical approximation requires atypical meshsize comparable to the radius of the cylinder, thus increasing the computational cost. In many applications (spacecraftcharging computation, wire antennas modelling) the mesh size becomes too large to perform realistic computations. A mathematicalstudy proves the convergence of the sequence uε of Poisson equation solutions when the radius ε goes to 0 toward a limit problemwith a convergence rate of 1/ ln(ε). A wire approximation is proposed exhibiting a rate of convergence larger that√ε withoutconstraint of mesh refinement related to the radius size. This method is extended to the case of arbitrary wire cross section and alsoto the time harmonic Maxwell equations. To cite this article: F. Rogier et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).© 2006 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.Adresses e-mail : Francois.Rogier@onera.fr (F. Rogier), Jean-Francois.Roussel@onera.fr (J.-F. Roussel), Dominique.Volpert@onera.fr(D. Volpert).1631-073X/$ – see front matter © 2006 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.doi:10.1016/j.crma.2006.10.007634 F. Rogier et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006) 633–6361. Position du problèmeSoit ω un ouvert borné de R2 de fontière ∂ω régulière de classe C1 tel que D(0,1) ⊂ ω où D(0,1) est le disque decentre 0 et de rayon 1. On note par x les éléments de ω et r θ leurs coordonnées polaires. Soient Ω0 l’ouvert de R3construit par translation le long de l’axe Oz :Ω0 ={(x, z), x ∈ ω,z ∈ ]0,1[}et D(0, α) le disque fermé de rayon α dans ω. On considère la suite d’ouverts paramétrés par α, 0 < α  1 :Ωα ={(x, z), x ∈ ω \ D(0, α), z ∈ ]0,1[}et on poseΓα ={x ∈ ω \ D(0, α), z = 0, z = 1} ∪ ∂ω × [0,1], γα = {r = α, θ ∈ [0,2π[} × [0,1],Dα = D(0, α) × ]0,1[, Dα,β = D(0, β) \ D(0, α) × ]0,1[, α < β.On s’intéresse à la suite (uε)ε>0 des solutions du problème suivant :⎧⎨⎩−uε = f dans Ωε,uε = h sur γε,uε = 0 sur Γε(1)où la fonction h est supposée ne dépendre que de z. On note u la solution de :{−u = f dans Ω0,u = 0 sur ∂Ω0. (2)On a alors le résultat suivant :Théorème 1.1. Soit f ∈ L2(Ω0) et h ∈ H 10 (]0,1[) , la suite uε converge vers u sur tout compact de Ω0 et on al’estimation :‖uε − u‖1,Ωε  C(‖f ‖0,Ω0 + ‖h‖1,]0,1[)/√− ln(ε). (3)Ce théorème montre que la suite uε tend en un certain sens vers la solution d’un problème limite dans lequelle fil a disparu. Un résultat similaire a été obtenu par Sanchez-Palencia [1] mais sans estimation d’erreur. Un calculanalytique autour d’un cylindre co-axial montre que l’estimation d’erreur obtenue est optimale. Le théorème ci-dessusprécise l’ordre de convergence avec lequel uε tend vers u : il est inversement proportionnel à la racine de l’inversedu logarithme du rayon du fil. C’est une convergence très lente : u est donc une mauvaise approximation de uε . Or,lorsque l’on souhaite approcher numériquement uε , on est conduit à utiliser des élements de maillage près du fil d’unetaille égale au rayon du fil, ce qui rend le calcul extrêmement coûteux. On propose ici une méthode d’approximation(dite approximation filaire) de uε qui permet de remplacer la présence du fil par une condition aux limites écrite à lafrontière d’un domaine petit mais suffisamment grand pour contenir le fil.2. Approximation filaireConsidérons un réel positif a tel que ε < a < 1 relativement petit mais suffisament grand par rapport à ε. Désignonspar Kε,a l’opérateur de Dirichlet–Neumann qui à (uε|γa ) associe∂uε∂r|γa par le biais de la résolution de l’équation (1)dans le domaine Da,ε . On effectue un changement d’échelle dans le domaine Da,ε en posant x = x/a, puis on construitformellement un développement asymptotique par rapport a et ε/a de Kε,a , ce qui permet de poser la :Définition 2.1. On appelle approximation filaire de l’opérateur de Dirichlet–Neumann l’opérateur K0ε,a définit par :K0ε,a(g) =g − h(z)a ln(ε/a).F. Rogier et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006) 633–636 635Le problème approché s’écrit alors :⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−ua,ε = f dans Ωa,∂ua,ε∂r= K0ε,a(ua,ε) sur γa,ua,ε = 0 sur Γε.(4)Puisque ε < a, cette condition aux limites (de Robin) garantit l’existence et l’unicité de la solution. On prolonge ua,εdans ∈ Da,ε par :ua,ε(r, θ, z) = ua,ε(a, θ, z)α(r) + h(z)(1 − α(r)), α(r) = ln(r/ε)ln(a/ε). (5)La résolution numérique du problème (4) n’est plus contrainte par le rayon du fil, puisque le fil est pris en compte viala condition aux limites sur γa . Le théorème suivant fournit une estimation a priori de la vitesse de convergence parrapport à a de la solution de (4) vers la solution de (1).Théorème 2.2. Supposons f ∈ L∞(Ω0) et h ∈ H 10 (]0,1[), il existe une constante C > 0 telle que :‖ua,ε − uε‖1,Ωε  C a√− ln(εa)(‖f ‖∞,Ω0 + ‖h‖1,]0,1[).La démonstration de ce théorème repose sur l’idée que, localement au voisinage du fil, les variations de uε lesplus importantes sont dans le plan perpendiculaire au fil. Ainsi uε se comporte comme la solution d’une équation deLaplace entre deux conducteurs cylindriques infinis et dont la capacité par unité de longueur est égale à 1/ ln(a/ε)(à un coefficient numérique près). Ceci permet de construire une approximation du premier ordre de l’opérateur deDirichlet–Neumann.Si l’on choisit comme paramètre a une puissance de ε (par exemple a ≈ √ε ), on obtient une approximation deuε bien meilleure à celle qui consisterait à négliger la présence du fil. Une bonne valeur de a est la taille typique dela cellule du maillage qui serait utilisée dans la résolution sans tenir compte de la présence du fil. L’ensemble de cesrésultats se généralisent à une dimension quelconque, à des fils présentant une courbure ainsi qu’à d’autres équationséquations elliptiques sans difficulté majeure. Le problème de Neumann ne présente pas le même intérêt que celui deDirichlet ; en effet on montre aisément que, dans ce cas, l’erreur donnée par le Théorème 2.2 est en O(ε).3. Cas d’un fil à section quelconqueSupposons maintenant que la section transverse du fil ne soit plus circulaire mais circonscrite par une courbefermée Lε = εL. Le théorème suivant montre que l’on peut étendre formellement la notion d’approximation filaire enintroduisant un rayon « équivalent » :Théorème 3.1. Supposons que la solution uε de (1) est suffisamment régulière, on a l’estimationKε,a(uε|γa ) =uε|γa − h(z)a ln(CLε)+ O(a− ln(CLε/a))+ O(ε/a− ln(CLε/a))(6)où CL est un réel > 0 déterminé comme l’unique solution du système intégral :⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩12π∫Lφ(s′) ln |s − s′|dγ (s′) = ln(CL)2π, ∀s ∈ L,∫Lφ(s′)dγ (s′) = 1,12π∫Lφ(s′) ln |s′|dγ (s′) = ln(CL)2π.636 F. Rogier et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006) 633–636Ce résultat permet de prendre en compte des sections de fils quelconques en introduisant un rayon équivalent εCLdans l’Éq. (4). Le calcul de CL nécessite la résolution d’une équation intégrale sur la frontère L.4. Extension au cas des équations de Maxwell harmoniquesDes approximations filaires existent déjà pour les équations de Maxwell [2], elles nécessitent la résolution d’uneéquation d’ordre 2 sur le courant total sur le fil et l’introduction d’une inductance linéique à l’aide d’une régularisation,mais aucune justification mathématique de ces modèles n’a été proposée. Etant donné l’importance des antennesfilaires en électromagnétisme, l’approximation filaire a été étendue aux équations de Maxwell harmoniques. On noteE le champ éléctrique harmonique réduits, c’est à dire le champ physique multiplié par√ε0. λ est la longueur d’ondeet k = 2π/λ est le nombre d’onde. On suppose de plus que h est un champ électrique incident qui s’annule sur lafrontière Γε et hz = h.ẑ, r = 0. E est solution du systèmes des équations de Maxwell harmoniques :⎧⎨⎩rot rot E − k2 E = 0 dans Ωε,E ∧ n = h sur γε,E ∧ n = 0 sur Γε.En suivant la même démarche que dans l’équation de Poisson, on peut construire l’approximation filaire :Définition 4.1. On appelle approximation filaire conservative de l’opérateur de Dirichlet–Neumann Kε,a pour leséquations de Maxwell harmonique, l’opérateur :K0ε,a(Ea,ε) = −φ′(a)(hz)ẑ − ξ ′(a)(Ea,ε · ẑ)ẑ +ξ ′(a)k2∂2(hz)∂z2ẑ − φ′(a)k2∂2(Ea,ε · ẑ)∂z2ẑ,φ(r) = (Y0(ka)J0(kr) − J0(ka)Y0(kr))/(J0(kε)Y0(ka) − J0(ka)Y0(kε)),ξ(r) = (−Y0(kε) J0(kr) + J0(kε)Y0(kr))/(J0(kε)Y0(ka) − J0(ka)Y0(kε))J0, Y0 étant les fonctions de Bessel de première et de seconde espèce.Un terme de dérivée seconde apparaît dans le second membre : il permet de satisfaire exactement la nullité de ladivergence dans le domaine Da,ε . On vérifie que ξ ′(a) est positif pour εa suffisamment petit. Ainsi la contribution duterme de bord joue le rôle d’une impédance résistive.RemerciementsCe travail a été partiellement soutenu par l’ ESTEC Contrat No. 16806/02/NL/JA.Références[1] Hung Pham Huy, E. Sanchez-Palencia, Phénomènes de transmission à travers des couches minces de conductivité 2 levée, J. Math. Anal.Appl. 47 (1974) 284–309.[2] H. Holland, L. Simpson, Finite-difference analysis of EMP coupling to thin struts and wires, IEEE Trans. Antennas and Propagations EMC-23 (2) (May 1981) 88–97.

Approximations filaires pour les équations de Poisson et de Maxwell harmoniques

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