El Hadj Cheikh Mbacke Diop

Moussa Balde

Salomon Sambou

Balde, Moussa

Sambou, Salomon

Diop, El Hadj Cheikh Mbacke

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques

C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006) 751–754http://france.elsevier.com/direct/CRASS1/Géométrie différentielleSystèmes de contact intégrables à singularitées non dégénéréesMoussa Balde, Salomon Sambou, El Hadj Cheikh Mbacke DiopDépartement de mathématiques et informatique, faculté des sciences et techniques, UCAD, Dakar-Fann, SenegalReçu le 19 octobre 2006 ; accepté après révision le 27 octobre 2006Disponible sur Internet le 1er décembre 2006Présenté par Étienne GhysRésuméOn définit une notion de « système de contact intégrable à singularités non dégénérées » pour les 3-variétés de contact. Dansle cas d’une variété compacte, on construit les invariants caractéristiques d’un tel système. C’est l’analogue en géomètrie decontact de l’étude faite par A. Toulet (1996) pour les systèmes hamiltoniens à un degré de liberté ; dont on utilise les résultats. Lesinvariants obtenus indiquent qu’en général les systèmes obtenus ne sont pas les contactisés de modèles de Toulet. Pour citer cetarticle : M. Balde et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).© 2006 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.AbstractNondegenerate integrable contact systems on 3-manifolds. We introduce a notion of ‘nondegenerate integrable contact sys-tem’ for 3-contact manifolds. In the case of compact manifolds, we construct characteristic invariants for such a system. This isthe contact analogue of the work done by A. Toulet (1996) for Hamiltonian systems with one degree of freedom, and we use theseresults. The invariants pointed out indicate that, generally, we arrive at systems which are not contactisations of Toulet models. Tocite this article: M. Balde et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).© 2006 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.1. Introduction1.1. Position du problèmeOn s’intéresse au triple (M,H,g), où (M,H) est une 3-variété de contact compacte, g est une fonction de Bott–Morse dont les niveaux définissent un feuilletage singulier F . On dira que (M,F ,H), est un système de contactintégrable à singularités non dégénérées (SCI-nd) si les conditions suivantes sont satisfaites :(H1) L’algèbre de Lie A des automorphismes infinitésimaux du triple (M,F ,H), est transitive sur les feuilles.Rappelons qu’un champ de vecteurs X est un automorphisme infinitésimal du feuilletage singulier si, et seule-ment si, LX dg ∧ dg = 0.Adresses e-mail : mbalde@ucad.sn (M. Balde), ssambou@refer.sn (S. Sambou), cmdiop@ucad.sn (E.H.C.M. Diop).1631-073X/$ – see front matter © 2006 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.doi:10.1016/j.crma.2006.10.022752 M. Balde et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006) 751–754(H2) Si m est un point d’une feuille singulière (i.e. une feuille de dimension < 2) S de F et si ATm désigne l’algèbrede Lie de champs de vecteurs linéaires sur l’espace transverse ETm = TmM/TmS engendrée par l’isotropie de Aen m.Alors les orbites de ATm sont les feuilles du feuilletage singulier FTm défini par les niveaux de la partie principalede g en m.Notons que la partie principale de g en un point singulier m peut être considérée comme une fonction quadra-tique gTm sur ETm.Le cas où les singularités sont de type elliptique est connu [1].Le but de cette Note est de définir les invariants caractéristiques d’un triple (M,F ,H), vérifiant les hypothèses(H1) et (H2).1.2. Exemple fondamentalSoit (W,ωW ,gW ) une surface compacte, munie d’une forme d’aire et d’une fonction de Morse définissant unflot FW . A. Toulet a construit dans sa thèse [3] un système complet d’invariants qui classifient le triple (W,ωW ,FW).Supposons que la forme ωW peut être réalisée comme la courbure d’une connexion α sur un S1-fibré principaleπ :M → W (condition d’intégralité de la classe de cohomologie de ωW ). Si H est le champ horizontal de la connexion,F le feuilletage singulier préimage par π de FW , le triple (M,H,F ) est un SCI-nd. Dans ce cas les invariants obtenuspar Toulet déterminent à isomorphisme près la structure.Plus généralement, s’il existe dans A un champ de vecteurs à orbites périodiques, on a une structure de contactinvariante par une action localement libre de S1. On dira dans ce cas que le SCI-nd (M,H,F ) admet un « pivot ». Lesstructures de contact S1-invariantes ont été étudiées par Lutz dans [2], mais bien entendu, la classification faite ici faitintervenir une structure suplèmentaire.2. Résultats2.1. Propriétés élémentaires(i) L’algèbre de Lie A est abélienne.(ii) Les feuilles singulières de F sont de dimension 1 (des cercles). On dira qu’une telle feuille est de type elliptiqueou hyperbolique suivant la partie principale de g en un point de cette feuille.(iii) La structure de contact H est transverse aux orbites de A.(iv) Le feuilletage F comprend– Des feuilles compactes de dimension 2, qui sont des tores.– Des feuilles singulières isolées de type elliptique.– Des séparatrices hyperboliques compactes de dimension 2 dont les self-intersections sont des feuilles singu-lières de type hyperbolique.(v) Les feuilles compactes de dimension 2 de F sont sans holonomie.Ces proprités se déduisent sans difficulté des hypothèses (H1) (H2). En particulier (i) résulte du fait suivant : si, surun niveau régulier de g, le flot induit par H est dense, alors l’algèbre induite sur ce niveau par [A,A] est tangente à H .2.2. Étude semi-locale(i) Au voisinage d’une feuille compacte de dimension 2, on peut définir des coordonnées locales (y, θ1, θ2), oùF est défini par dy = 0, et H par dθ1 + y dθ2 = 0,y est défini modulo une transformation projective entière(ii) Au voisinage d’une feuille singulière elliptique, il existe des coordonnées locales canoniques (ρ, θ1, θ2) oùF est défini par d(ρ2) = 0, et H par dθ1 + 12ρ2 dθ2 = 0,(ρ, θ2) étant des coordonnées polaires.M. Balde et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006) 751–754 753(iii) Au voisinage d’une séparatrice hyperbolique Σ , il existe dans A un champ Z définissant une action de S1localement libre.(a) Si l’action de S1 est libre, la structure étudiée est au voisinage de Σ obtenue par contactisation d’un modèlede Toulet, avec un invariant de contact cohomologique qui s’interprète comme l’holonomie de la connexioninduite par H sur Σ .(b) Si l’action de S1 n’est pas libre, son isotropie sur une feuille singulière de Σ est d’ordre 2 et la structure est,au voisinage de Σ , obtenue à partir d’un modèle semi-local de Toulet muni d’une involution.Nous donnons ici les grandes lignes de la preuve de (iii) qui montre bien le rôle joué par les modèles de Toulet.L’idée est la suivante : on peut trouver, pour une séparatrice hyperbolique Σ , un champ X dans A dont la restrictionXΣ sur Σ engendre une action localement libre de S1.– Si cette action est libre, on considère au voisinage de Σ une transversale T à X. Si α est la forme de contactdont X est le champ de Reeb, dα définit sur T une structure symplectique. Tout champ hamiltonien sur T tangentà F ∩ T se relève en un champ de A. On considère le champ dont le flot au temps 1 définit le premier retourde X sur T . En corrigeant X à l’aide d’un relevé dans A de ce champ, on construit un champ Z 1-périodique ;dans ce cas, notre système est au voisinage de Σ , le contactisé d’un modèle semi-local de Toulet. Il est classifié,à équivalence près, par les invariants semi-locaux de Toulet et par l’invariant de contact défini par l’holonomie dela connexion induite sur Σ .– Si l’action n’est pas libre, elle a une isotropie d’ordre 2. On applique la méthode précédente au second retourde X, et on obtient un modèle semi-local correspondant à un modèle semi-local de Toulet muni d’une involution.2.3. Invariants caractéristiquesNotons G le graphe de Reeb de la fonction g, c’est à dire l’ensemble des composantes connexes des niveauxde g. C’est une variété singulière de dimension 1, avec des points de bifurcation (correspondant aux séparatriceshyperboliques) et des bouts (correspondant aux feuilles singulières elliptiques). Notons qu’il peut y avoir des extrêmaslocaux de g correspondant à des points réguliers du graphe. C’est le cas lorsque la fonction g est du type g(y), avecg′(y) = 0 et g′′(y) = 0, où y est le paramétrage projectif local.Au voisinage de chaque point régulier de G, on a une structure projective entière local (i.e. difféomorphisme localà valeurs dans P(R2) modulo une transformation projective entière de P(R2)).Au voisinage d’un bout, on a une paramétrisation canonique de G compatible avec cette structure de la partierégulière.Au voisinage d’un point de branchement, on a des cartes locales (déduites de l’étude semi-locale près d’une sépa-ratrice hyperbolique) qui induisent la structure projective locale sur la partie régulière.On obtient ainsi sur le graphe G une structure projective entière singulière.Remarque 2.1. On observe que cette structure n’est pas définie par la seule donnée de la structure induite sur la partierégulière.On notera Ĝ le graphe de Reeb, muni de cette structure, dont la définition implique les invariants semi-locauxobtenus auparavant.Le résultat principal de cette Note est le suivant :Théorème 2.1. La structure SCI-nd (M,H,F ) est déterminée, à automorphisme près, par le graphe de Reeb munide sa structure projective entière singulière.La réalisation du SCI-nd (M,H,F ) défini, à automorphisme près, par Ĝ, s’obtient en recollant les modèles semi-globaux que la structure projective de Ĝ détermine, c.a.d. les modèles correspondants aux ouverts de Ĝ obtenu enajoutant à un point singulier toutes les parties régulières qui y aboutissent. Le recollement se fait à l’aide de matricesentières (une pour chaque branches régulières).754 M. Balde et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006) 751–754Remarques finales.(i) La SCI-nd est obtenue par contactisation d’un modèle de Toulet si et seulement si la structure Ĝ est définie àpartir d’une paramétrisation globale correspondant à un modèle de Toulet. Pratiquement cela signifie que l’onpeut choisir les cartes projectives locales introduites précédemment de manière qu’elles coincident dans leursdomaines de définition.(ii) La SCI-nd admet un pivot si, et seulement si la structure Ĝ peut être définie par des cartes projective locales dutype introduit précédemment, de manière que les changements de cartes soient définis par des matrices entière dutype ( ±1 p0 ±1), p ∈ Z.On peut finalement construire des exemples de SCI-nd qui n’admettent pas de pivot en recollolant des modèleslocaux définis au voisinage des niveaux singuliers à l’aide de matrices entières qui ne sont pas de la forme précédente.RemerciementsLes auteurs remercient vivement le Professeur P. Molino qui a suggéré et suivi pas à pas ce travail.Références[1] A. Banyaga, P. Molino, Géométrie des formes de contact complètement intégrables de type toriques, in : Séminaire Gaston Darboux de Géo-métrie et Topologie différentielle, Montpellier 1991–1992.[2] R. Lutz, Structures de contact sur les fibrés principaux en cercle de dimension 3, Ann. Inst. Fourier 27 (3) (1977) 1–15.[3] A. Toulet, Classification des systèmes intégrables en dimension 2, Thèse, Université de Montpellier II, 1996.

Systèmes de contact intégrables à singularitées non dégénérées

Comptes Rendus Mathématique

http://www.numdam.org/item/10.1016/j.crma.2006.10.022.pdf

Systèmes de contact intégrables à singularitées non dégénérées

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques

Comptes Rendus Mathématique