D'Orgeval, B.

Annales de l’institut Fourier (AIF)

ANNALES DE L’INSTITUT FOURIERB. D’ORGEVALLa représentation des plans multiples et le nombremaximum de points doubles d’une surface algébriqueAnnales de l’institut Fourier, tome 2 (1950), p. 165-171<http://www.numdam.org/item?id=AIF_1950__2__165_0>© Annales de l’institut Fourier, 1950, tous droits réservés.L’accès aux archives de la revue « Annales de l’institut Fourier »(http://annalif.ujf-grenoble.fr/) implique l’accord avec les conditions gé-nérales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisa-tion commerciale ou impression systématique est constitutive d’une in-fraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-nir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/LA REPRÉSENTATION DES PLANS MULTIPLESET LE NOMBRE MAXIMUM DE POINTS DOUBLESD'UNE SURFACE ALGÉBRIQUEpar Bernard (TORGEVAL (Grenoble).Dans une récente conférence, M. E. Togliatti(1) attirait l'attentionsur le difficile problème du nombre maximum de points doublesconiques isolés d'une surface algébrique d'ordre n, dénuée d'autressingularités, dans l'espace ordinaire. Après avoir rappelé l'échec dela méthode de M. Lefschetz(2), pour améliorer le nombre donné parBasset (3), échec démontré par l'étude approfondie des courbes dediramation d'un plan multiple par B. Segre(4), et indiqué la nou-velle méthode basée sur les modules introduite par M. Severi(1)et dont de récents exemples dus encore à M. Segre(6) montrent aumoins le caractère restreint, il souhaitait que l'on construisit denouveaux exemples de surfaces dotées d'un grand nombre de pointsdoubles..La liaison du problème à la nature de la courbe de diramation duplan M-ple représentatif de la surface m'a conduit à penser que l'étudedes formes dégénérées de ces courbes de diramation selon les vues(1) E. Togliatti. Sulle superficie algebriche col massimo numéro di punti doppi. R. G.Sem. Mat. Torino, T. IX, IQÔO, p. 47-&Q.(2) S. Lefschetz. On thé existence ofloci with given singularities; Trans. Am. Math.Soc., T. XIV, 1913, p. a3-4i.(3) A. B. Basset. Thé maximum number of double points on a surface. Nature LXXIII,1906, p. a46.— On thé singularitics of surfaces, Quart. Jour. XXXVIII, 1907, p. 63-83.(4) B. Segre; Sulla caralterisazione délie curve di diramazione dei piasni multipli gene-rali, Mem R. Ac. Italia, I, 1930; Mem, 4, p. i-3i.(5) F. Severi. Sul massimo numéro di nodi di una superficie di dato ordine dello spazioordinario. Ann. d. Mat. (4), T. XXV, 19^6, p. i-4i.(6) B. Segre. Sul massimo numéro di nodi délie superficie di dalo ordine, Bol. U.M. I. (3), II, 19/17, p. 20/4-2I2.166 BERNARD D'OBGEVALde M. Ghisini(7) pouvait projeter quelque lueur sur ce difficile pro-blème. La méthode que je propose permet de trouver un nombremaximum de points doubles pour le plan multiple limite, malheu-reusement, ce maximum ne correspond peut-être pas à un maximumde points doubles proprement dits, isolés. En effet, notre construc-tion à la limite assure seulement l'existence d'une surface sur laquelleles singularités équivalent à un certain nombre de points doubles,sans que l'on puisse assurer que ces singularités puissent effective-ment se résoudre en autant de points doubles isolés. Ce nombre estd'autre part lié au nombre maximum de points doubles que Fonpuisse imposer au plan double représentatif d'une surface d'ordre ndotée seulement d'un point multiple d'ordre M-2. Ce nombre, pourles valeurs élevées de n semble assez difficile à obtenir du moins parune formule générale. En tout cas on peut obtenir un nombre telqu'il existe sûrement des surfaces dont les singularités équivalent à,au moins, ce nombre de points doubles.i . — Rappel de la construction de M. Chisini.Points doubles de la courbe limite.La méthode de M. Chisini pour obtenir des courbes de diramationd'un plan multiple Ai-ple, ^n=f(x, j), malgré certaines extensionsne se montre véritablement pratique que pour certaines surfacesdont celles que nous avons à traiter, les surfaces générales de l'es-pace S3. Dans ce cas, la courbe limite peut se représenter par unecourbe (?, constituée de n— i, courbes C,, d'ordres respectifs i , 2,3, ..., ^ — 2, AI — i, chacune comptée deux fois ; la courbe Ci assurele passage du feuillet i au feuillet i-h i, c'est-à-dire que sur cettecourbe s'échangent les valeurs 2i et 2^ de la fonction z. On appellepoints P les points de rencontre de deux courbes consécutives Ciet Ci.^, et points Q les intersections de Ci et C^ (i—k-=f=. i) nonconsécutives ; dans la courbe ç les Ci sont comptées deux fois ensorte qu'elles aient leurs diramations aux points P, s'il y a d'autresdiramations, nous les supposerons choisies arbitrairement. Le pas-sage du type dégénéré de Chisini à un type non dégénéré se faitpar variation continue, conservant aux points considérés, l'équiva-(7) 0. Chisini. Un teorema (Tesistenza dei piani multipli, R. G. Ac. Lincei (6), XIX,ig34, p. 688 et 766.LA REPRÉSENTATION DES PLANS MULTIPLES l6^lence des intersections avec les polaires, c'est-à-dire que la courbevoisine non dégénérée possède trois cuspides et une tangente paral-lèle à Oy qui viendront se réunir en un point P et quatre pointsdoubles qui tendront vers un point Q.Notons qu'il est possible de remplacer une (Ci)2 par une courbed'ordre 21, tangente aux courbes consécutives partout où elle lesrencontre, de tels points de contact étant à regarder comme despoints P; en particulier nous remplacerons dans la suite, la (C^_^)2liant les derniers feuillets par une C^.g, tangente à la C^g précé-dente, en chacun de ses points de rencontre; ces points de contactsont des points P, au contraire les intersections de la G avec lesautres Ci seront des points Q' limites de deux points doubles de lacourbe non dégénérée.Si la surface correspondant au plan multiple non dégénéré vientà acquérir des points doubles isolés, ceux-ci feront naître sur lacourbe de diramation autant de points doubles indépendants deceux qui vont converger aux points Q ; dans le passage à la limiteces points doubles devront apparaître soita) comme points doubles R' de la C^.g,b) comme points doubles R d'une des Ci doubles,c) comme points où coïncident deux diramations d'une Ci.Dans ce dernier cas, on doit distinguer si les points de diramationqui viennent se réunir sont ou non des points P ; si ce ne sont pasdes points P, le point sera limite d'un seul point double ; si le pointest réunion de deux points P, c'est-à-dire correspond à la tangencede deux courbes consécutives, il y aura en ce point, limite desix cuspides et d'un point double, enfin si l'on a réunion d'unpoint P et d'une diramation arbitraire, il y aura en ce point limitede trois cuspides et d'un point double.Le calcul du nombre maximum de points doubles que l'on puisseobtenir par ces constructions assure, par la simple application desrésultats de M. Chisini, de l'existence d'une surface pour laquelleexistent des singularités qui dans le passage à la limite équivalent àce nombre maximum de points doubles. Mais il n'est pas exclu quesur cette surface certains de ces points doubles ne puissent effecti-vement être isolés les uns des autres.Nous traiterons d'abord le cas des petites valeurs de n.l68 BERNARD D'ORGEVAL2. — Les surface d'ordre n <^ 5.Pour la quadrique, la courbe limite est la(G.)2-Sur une droite, on ne peut avoir que deux diramations, leurcoïncidence donne le cône et l'on a N = i.Pour la surface cubique, la courbe limite sera :(G.)2-G,,la C^ étant bitangente à la quartique ; on peut imposer à la quartiquetrois points doubles et prendre la C^ quadritangente, mais cetteconstruction peut soulever de délicats problèmes de possibilité;pour les éviter on réduira la C^ à deux coniques tangentes à la G ,d 'oùN==/l .On ne peut aller jusqu'à la décomposition en quatre droites car onne pourrait plus respecter les conditions de tangence de la quartiqueet de la droite.Pour la surface du quatrième ordre, la courbe limite prend laforme(CJ-(CJ-C,.la Cg étant sextitangente à la conique précédente. On peut décom-poser la sextique en six droites d'où quinze points doubles ; on peutensuite choisir les deux points de diramation de C^ confondus, ladroite étant alors tangente à la conique, doncN=i6 .Passons à la surface du cinquième ordre dont la courbe de dira-mation limite sera une :(CJ2-^)2-^)2-^,la courbe du huitième ordre étant douze fois tangente à la cubiqueprécédente. Décomposons cette courbe du huitième ordre en quatreconiques tritangentes à la cubique, ce qui donne 2/1 points doubles.On peut ensuite réunir les diramations de la droite en la faisanttangente à la conique puis les six autres diramations de cette coniqueen la prenant tri tangente à la cubique. Pour aller plus loin, il fautLA REPRÉSENTATION DES PLANS MULTIPLES ÏÔQpouvoir réunir les diramations de la cubique situées sur l'octique,pour cela il faudra prendre les quatre coniques, décomposition dela Cg surosculatrices à la cubique et les répartir en deux couples deconiques tangentes entre elles en un point où elles seront égalementtangentes à la cubique ; le choix de telles coniques est effectivementpossible, car si on considère en un point A de la cubique les coniquesqui y sont tangentes, elles découpent sur la cubique une gî qui pos-sède quatre points quadruples ; on peut donc choisir deux coniquestangentes en A et surosculatrices à la cubique.Cette construction nous fournit une surface pour laquelle N=3/inombre obtenu par Basset. Il est ici à noter qu'il est vraisemblableque ce type limite ne corresponde pas à une surface dotée effective-ment de ïl\ points doubles isolés, puisqu'une construction analoguepermettrait d'obtenir une surface cubique avec cinq points doublesqui n'existe pas effectivement.Pourtant ce plan multiple étant un cas particulier de la surfacedu cinquième ordre dotée d'un point triple, on peut dire que, pourcertaines particularités de la position des points doubles, cette sur-face équivaut à une surface avec 3!\ points doubles, question qui setrouvait posée par M. Togliatti.3. — Le cas général.Pour une surface générale d'ordre n la courbe limite prend laforme :(C,)2-^)2-...-^^)2-^^cette dernière courbe étant Çn— ï)(n—2) fois tangente à la précé-dente.Pour obtenir le nombre maximum de points doubles, on peutvoir ce qui se passe si l'on fait naître un point double sur unedes G,; on abaisse ainsi le genre de ï et celui de la courbe doublede !\, d'où résulte d'après la formule de Zeuthen abaissement de !\pour le nombre des points de diramation que l'on peut imposer ;mais cette diminution ne peut être imposée à une G, puisque lespoints P sont exactement 2i2. Le nombre maximum des pointsdoubles possibles s'obtient donc facilement à partir de celui dela C^_^ Soit alors D' le nombre maximum de points doublesd'une F^ dotée seulement d'un point multiple d'ordre n—2, on170 BERNARD DORGEVALpeut en plus lui imposer la réunion des deux points de diramationde la droite, puis des trois situés sur la conique à des contacts avecla cubique... sur Gn_^(n—3){n—2)7 2 points de tangence avecla C^_2, enfin sur cette dernière v-——A———points d'osculationavec la C^_^, ces derniers étant peut-être soumis à des conditionsde possibilité, si la C^_., vient à se décomposer. On a donc sûre-ment:D„<D,:-^-l+3+6+...+< /^-I^-2\D^D^^-3^-4-^.Dans le cas où la C.^_, ne se décompose pas, les conditions autresque D^ sont toutes possibles et l'on a alors Df„=(iin—3)(n—2).On a donc certainement, pour l'équivalence en points doubles dumaximum possiblen ^ nî "4" 9^2 — ^on '4" ̂" - ' 6 ~ 'Ce nombre est supérieur à celui de Severi basé sur le nombre desmodule dès que n > 5.Il est à noter que les surfaces construites par B. Segre montrentque dans le cas général on peut trouver des décompositions de lacourbe de diramation d'un plan double représentatif d'une surfaced'ordre n dotée d'un point multiple d'ordre n—2.Comparons nos résultats avec ceux de Basset, on peut alors direque le nombre maximum des points doubles d'une surface d'ordre nest compris entre :n= 6 7 8 9 io 11 12limite inf. 56 90 î3^ 189 256 336 ^30limite sup. 61 î{f\ 181 ^70 383 F)^") 691Les valeurs de Severi correspondantes étaient :02 80 i i 6 i6 i 216 282 36oLes deux surfaces de Segre rentrant dans ce tableau donnent22.") 396LA REPRÉSENTATION DES PLANS MULTIPLES 17 14. — Les surfaces d'ordre ïn avec une conique d^ordre n.Notre méthode permet de traiter immédiatement le problème dunombre maximum des points doubles pour une surface d'ordre 2ndotée d'une conique multiple d'ordre n, c'est-à-dire pour la surfaceintersection dans S4 d'une quadrique par une hypersurface généraled'ordre n. La forme limite de sa courbe de diramation (8) est eneffet(GJ - (CJ - ... (C^)2 - (G..J - (C._J - ... (CJ - (G,)2.En prenant comme précédemment la courbe médiane C^_^ comp-tée deux fois sous la forme d'une C^_^ simple tangente aux deuxC^_,, consécutives, on a immédiatement une limite du nombre despoints doubles^D:.-^3-3^^.Si l'on suppose la C^_,, non décomposée, on aura une limiteinférieure de ce maximum, soitn^Sn'—ïSn-hiSL= ^Ce nombre est donc tel qu'il puisse exister des hypersurfacesd'ordre n de S4 tangentes en plus de L points à une quadrique decet espace.(8) B. cTOrgeval Les plans multiples représentatifs d'une surface algébrique et la méthodede M. Chisini, BnL Ac. R. Belg., T. XXIX, p. 215-229 (igAS) et p. 653-666 (i945).(Parvenu aux Annales en mars rQBi . )

La représentation des plans multiples et le nombre maximum de points doubles d'une surface algébrique

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques

https://aif.centre-mersenne.org/item/10.5802/aif.28.pdf

La représentation des plans multiples et le nombre maximum de points doubles d'une surface algébrique

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Annales de l’institut Fourier (AIF)

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques