Rivoire, P.

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Fonctions rationnelles sur un corps fini

Annales de l’institut Fourier (AIF)

ANNALES DE L’INSTITUT FOURIERP. RIVOIREFonctions rationnelles sur un corps finiAnnales de l’institut Fourier, tome 6 (1956), p. 121-124<http://www.numdam.org/item?id=AIF_1956__6__121_0>© Annales de l’institut Fourier, 1956, tous droits réservés.L’accès aux archives de la revue « Annales de l’institut Fourier »(http://annalif.ujf-grenoble.fr/) implique l’accord avec les conditions gé-nérales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisa-tion commerciale ou impression systématique est constitutive d’une in-fraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-nir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/FONCTIONS RATIONNELLES SUR UN CORPS FINIpar Paul RIVOIREI. -- GÉNÉRALITÉSEtant donnés un corps de base K, et son corps des fractionsrationnelles à une indéterminée K(X), rappelons qu'un K-auto-morphisme s de K (X) est bien déterminé par la fractionrationnelle ^(X) ; celle-ci est nécessairement de la forme^(-ri-^0)-Une telle propriété permet de caractériser le groupe G desK-automorphismes de K(X) comme groupe des homographies-y i irégulières X—*- ? a, &, c, d étant des éléments de KcX + dtels que ad— bc=^ 0. (c. f. Van derWaerden, Moderne Algebra,§ 63).— Si K est infini, le corps des invariants KG de K(X) parle groupe G est évidemment réduit à K.— Si K est fini, donc nécessairement de caractéristiquep > 0, G est fini, donc KG contient des fractions rationnellesnon constantes, et le théorème de Lùroth montre d'ailleursque c'est une extension transcendante pure de K.Dans ces conditions, il est possible d'appliquer les résultatsdé la théorie classique de Galois — extensions galoisiennes dedegré fini — à l'étude de G et de ses sous-groupes. On rappelleque G est isomorphe au groupe projectif des matrices carréesrégulières d'ordre 2, à éléments sur K. Il est d'ordre q3 — q,q désignant le nombre d'éléments de K = F,,.122 PAUL RIVOIKEII. — CORPS DES INVARIANTS DE GLe transformé de Xi — X par s = ( ,\ est :\c à), , „ X" — X^-^(cx+dr1-Vy<__ •VCelui de X7'—X est: {ad—bc)———j-r^r Cela montre(cX 4" d)/Yy1__ X^'1'1que la fraction rationnelle I(X) == ' — . — — / ^ est invariante( x — x )par s. Cette fraction, que nous pouvons mettre sous la forme :[ q -lî-H^x^-1^-^-» est de hauteur inférieure à (f—q.I (X)=—(X^—X^-îPuisque I(X) est invariante par s, K(I) est contenu dans KG :(K(I) c KG c K(X)), etrinégalité (K(X)/K(I))<ç'—çimplique:(KG/K(I))<I,puisque (K(X)/Kc)= q'—q.On en conclut alors que KG=K(I) , i. e. :K -F /(^-xr^^-^^-X)^7/III. — SOUS-GROUPE DE G.CORPS DES INVARIANTS CORRESPONDANTSLe groupe des « similitudes » H: X-^aX+ fc, est d'ordreq(q—1) et admet, pour corps d'invariants:KH=F,((X^—X)^1).Le groupe des translations H': X — ^ X + f c , est d'ordre ç.C'est un sous-groupe distingué de H, et son corps des invariantsK« =F,{Xi--X)est une extension galoisienne (même cyclique) de KH.FONCTIONS RATIONNELLES SUR UN CORPS FINI 123Le groupe des homothéties Hi : X ->- aX, qui est aussi le grouperelatif de KH sur Kn, est d'ordre q—1. Son corps des invariantsest évidemment K^ = FJX^"1). Rappelons que H est leproduit semi-direct de H' par Hi.Deux sous-groupes conjugués de H, désignés par G, et Ga,sont respectivement définis par les conditions( (a+&=c+^ ) )(i)(2) « a -)- c == 6 4- d »En caractérisitique 2, ils sont identiques.En caractéristique =/=. 2, leur intersection G, n Gg, d'ordreç—1, est l'ensemble des automorphismes [ » ). Le corps desinvariants de G, est :K -v( (X-l)^-° \Gl-" ^[(X—l^—lp-1 /Celui de G« est :K - F / (X+i)^-0 \^•"'^[(x+ir1-!]^Les groupes H^. = H n G, et H_ = H n G^ sont définispar les conditions « dégénérées »(1') a + b = 1(2') a — b = 1.Ils sont d'ordre q — 1, et admettent respectivement pourcorps d'invariants :KH,==F,((X-ir1-!) et KH_=F,((X+4r1-!)Désignons par Q l'ensemble des carrés de F<y. C'est un sous-groupe multiplicatif de F^, d'indice 2 en caractéristique p ^=f=- 2,et s'identifiant à F^ en caractéristique 2. Nous supposons,dans ce qui suit, p -=^ 2.Le groupe Hç, ensemble des automorphismes X — aX + b124 PAUL RIVOIBEpour lesquels aeQ, est d'ordre q{q—1)/2, et son corps desinvariants est :KH^F^-X)^).C'est une extension cyclique de KH. Si nous envisageons, dela même manière, les groupes H^.Q = HQ n Gi et H_,Q = H^ n Gg,__ Ails sont d'ordre J——> distingués relativement à H^. et H_, etLadmettent pour corps d'invariants :KH^=F,((X-ir1/2-!)KH_.,=F,((X+ir1/2-!)Le groupe Ç, qui se compose de tous les automorphismespour lesquels D(6?) = 1, est d'indice 2 en caractéristique =/=2,et s'identifie à G en caractéristique 2.Rappelons qu'il est simple, sauf si q = 2 ou q = 3 (cf. E.Dickson, Linear Groups, Leipzig 1901). En caractéristique=/= 2, son corps des invariants est une extension cyclique de KG.

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