Fernique, Xavier

Annales de l’institut Fourier (AIF)

ANNALES DE L’INSTITUT FOURIERXAVIER FERNIQUEMinorations des fonctions aléatoires gaussiennesAnnales de l’institut Fourier, tome 24, no 2 (1974), p. 61-66<http://www.numdam.org/item?id=AIF_1974__24_2_61_0>© Annales de l’institut Fourier, 1974, tous droits réservés.L’accès aux archives de la revue « Annales de l’institut Fourier »(http://annalif.ujf-grenoble.fr/) implique l’accord avec les conditions gé-nérales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisa-tion commerciale ou impression systématique est constitutive d’une in-fraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-nir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/Ann. Inst. Fourier, Grenoble24, 2 (1974), 61-66.MINORATIONS DES FONCTIONSALÉATOIRES GAUSSIENNESpar Xavier FERNIQUE.0. Cet exposé ne contient à proprement parler aucun résul-tat nouveau. Il vise à réfléchir sur des résultats connus, àsimplifier et unifier leurs démonstrations, à en dégager uneligne directrice qui semble prometteuse à l'auteur.Soit X = X(œ, (), û) e iî, ( e T une fonction aléatoiregaussienne centrée séparable, on pose :A^,()=E{|X(s)-X(t) |2}.Les conditions nécessaires portant sur Ax pour que X aitses trajectoires presque sûrement bornées utilisent toutesdans leurs démonstrations l'inégalité de Siepian [4]. Nous endonnons une nouvelle forme et une preuve simple. Actuelle-ment, dans la littérature, ces conditions sont de deux sortesdifférentes établies par des méthodes différentes : dans le casstationnaire en dimension 1 [4], elles utilisent la méthode desséries trigonométriques lacunaires mise en évidence parl'auteur [3] ; dans le cas général, les résultats proposés parDudiey [2] et établis par Sudakov [5] et Chevet [1] nécessi-tent des études géométriques fines et des mesures auxiliairesrelativement étrangères à la question. Dans l'un et l'autrecas, on utilise donc des astuces qui me semblent voiler leurunité profonde et nuire au développement des recherches.1. Uinégalité de Siepian,La forme donnée ici à l'inégalité de Siepian n'est pas entiè-rement nouvelle puisqu'on peut la découvrir avec un décryp-tage approprié dans les travaux de Mlle Chevet. Si elle n'y62 XAVIER FERNIÇUEest pas énoncée, c'est essentiellement parce que Mlle Chevetn'utilise pas les propriétés cTintégrabilité des vecteurs gaussiens,ses exposés visant à les redémontrer.Inégalité de SIepian-Che^et.Soient X et Y deux fonctions aléatoires gaussiennescentrées séparables sur T ; on suppose que :(1.0) V(5, t) e T X T, Ay(5, t) ^ Ax(5, t).Dans ces conditions^ on a :(1.1) E( sup |Y(5) - Y(()| ̂  E ( sup \X(s) - X(()N.(s,ieTxT ) (s,teTxT )(1.2) E ( sup Y(î) ? ^ E $ sup X(() ?( feT ) ( teï )Remarques. -— L'inégalité (1.1) ne diffère qu'en apparencede l'inégalité (1.2); les membres respectifs sont simplementdoublés. Dans l'inégalité (1.1), les valeurs absolues ne jouentaucun rôle. Par contre si on introduisait des valeurs absoluesdans l'inégalité (1.2) on écrirait une inégalité fausse, comme onle vérifie en substituant Y -(- T)A à Y, T] étant une variablegaussienne centrée indépendante de Y : Ay(5, () n'est pasmodifiée, E î sup Y(() ? non plus puisque Y] est centrée ; par( (GT îcontre E |sup |Y(()) ? tend vers l'infini avec A. Ceci montre( tGT )en particulier qu'on peut espérer des inégalités du genre (1.1)pour les moments d'ordre supérieur, mais non pas du genre(1.2).Démonstration. — Quant au fond, elle est identique auxdémonstrations classiques de l'inégalité de Siepian; on seplace d'abord dans la situation particulière où T est finiet les lois de X et Y sont définies par des densités, c'est-à-dire les plus petites valeurs propres de leurs covariancesminorées par s strictement positif. Les théorèmes de conver-gence dominée et de Fubini justifieront alors toutes les déri-vations sous le signe somme et les permutations d'intégralesutilisées.Nous supposons X et Y réalisés indépendamment etposons sur [0, 1] :Z^ = ̂ aX + \/Ï~^7Y,MINORATIONS DES FONCTIONS ALÉATOIRES GAUSSIENNES 63de sorte que X == Zi et Y = Zo et nous calculons^^'ï?^]pour obtenir son signe.La loi de Za est définie par une densité ga ^r K^ puis-que la plus petite valeur propre de sa covariance est elle aussiminorée par s ; on obtient :4 d n sup z,(<) n = s -L [Az^, ^)] f—^- fga(^) du,a a L n e r U (5 ,oeTxTaa j dx^dx^js^tla dernière intégration étant effectuée dans le domaine :X^ = Xt = SUp Xi == U.On en déduit que la dérivée calculée est positive d'où le résul-tat dans le cas particulier.Supposons encore T fini et (X, Y) vérifiant la relation (1.0).Notons U un vecteur gaussien normal sur T indépendantde X et Y. Pour tout e strictement positif, (X + ^^Y + sU) vérifie la relation (1.0) et les plus petites valeurspropres des covariances de (X + 2U) et (Y + eU) sontminorées par s ; on a donc, par la démonstration ci-dessus :E (sup [Y(^) + sU(^ ^ E (sup [X{t] + sU^m.c ( € T ) ( te'r }On en déduit l'inégalité (1.2) en faisant tendre s vers zéro.La séparabilité donne alors le résultat dans le cas général.2. Les minorations des fonctions aléatoires gaussiennes.Nous commençons par donner une nouvelle démonstrationdes conditions de Sudakov basée sur l'analyse de la méthodedes séries trigonométriques lacunaires. Bien entendu, nousutilisons les théorèmes d'intégrabilité des vecteurs gaussiensde sorte que pour établir des conditions nécessaires pourqu'une fonction aléatoire gaussienne séparable ait des trajec-toires presque sûrement bornées, il suffit d'établir des minora-tions de E ( sup | X ( < ) — X ( 5 ) N où {X((), t e T } est un( s , t e ' r x T )vecteur gaussien de dimension finie.64 XAVIER FERNIÇUE2.1. Minoration de Sudako^.Soit X une fonction aléatoire gaussienne centrée séparablesur T ; pour toute partie finie S de T, on a :•u i i v / \ v /.»\ i ^ ^ / 2 /In Card S ., \ . » . / .E sup [X(^)-X(<)| ^ ^/— —j-o—-1 mf Ax(^<)-- 1f5 , ( eTxT • • ' ' ' • ) V 7 r \ i n Z / î.^esxs^^t( ,  )  TT \ In 2 ^esxDémonstration. — On numérote les éléments de S et on lesconfond avec leurs indices : on note S' le plus grand inter-valle [0, 2" — 1] contenu dans S et on utilise la numéra-tion dyadique (à n termes) des éléments de S' :V^e S', s - 2 ç,^)^-1ia) introduisant une suite gaussienne normale (Xi, . . ., À^),on construit une fonction aléatoire gaussienne auxiliaire surS':YM=C S <p,( ;̂on a alorsAy(^, t) ^ nC2 ;on peut donc choisir C de sorte que sur S' les fonctions Xet Y soient liées par les hypothèses de l'inégalité de SiépianC2 = -1- inf Ax(^, t).n ^,(es'xss^tb) II est facile de calculer E ( sup |X(5) — Y(()N. En(5,(es'xs' )effet les 9^ sont indépendantes pour la mesure équirépartiesur S' ; il existe donc pour tout œ un couple {s, t) indépen-dant de k tel que (<pj5) — <p^))À^(û)) soit égal à [>^(<ù)|pour tout rang /c; on en déduit:E ( sup |Y(^)-Y(()N-nCt/-2-Ç5, tes 'xS ' ) V 7TL'application de l'inégalité de Siépian, l'expression de C etcelle de n en fonction du cardinal de S donnent alorsimmédiatement le résultat.MINORATIONS DES FONCTIONS ALÉATOIRES GAUSSIENNES 652.2. Généralisation de V inégalité de Sudako^.Soit X une fonction aléatoire gaussienne centrée sépara-ble sur T; soient (A une probabilité sur T et (<p^) une suitede fonctions définies p.-presque partout et [L -indépendantessur T. On suppose que :Ax(5, () ^ S(<pk0?) -- 9^(())2 (A (g) (i p.p.Dans ces conditions on a :E ( sup \X{s) - X{t))î ^ S|lç^) - <P,(()||L«(̂ )(5 , (€TXT )La preuve suit exactement la preuve (2.2).2.3. Seconde généralisation.On peut remarquer que l'argument (2.2 b) est très voisinde l'argument utilisé par Szidon dans ses premières études surles séries trigonométriques lacunaires. Ceci amène à rechercherune formule unique qui baserait simultanément les propriétésde Sudakov dans le cas général et les propriétés de Marcus dansle cas stationnaire. Elle sera fondée sur la notion de suite defonctions fortement multiplicativement orthogonale dont lessuites indépendantes centrées et les suites trigonométriqueslacunaires constituent des cas particuliers.DÉFINITION. -— Soit (T, (i) un espace probabilisé9, soit deplus (9/c)fceK une sm^ de fonctions sur T, appartenant à L )̂pour tout p; on dit qu^elle est fortement^ multiplicativementorthogonale si pour tout couple Ki, Kg de parties finies et difté'rentes de K, on a:f (n^ } ( ï i 9.)^=ov UeKi / UeKî /On démontre alors comme ci-dessus la propriété suivante :Soit X une fonction aléatoire gaussienne centrée séparablesur T; soient de plus [JL une probabilité sur T et (cp^) unesuite de fonctions fortement multiplicativement (A-orthogonale;on suppose que :Ax(^t) ^ S[ç^)-9^)]2.66 XAVIER FERNIÇUEOn a alors :E ( sup |X(.)-X(()N > 22!^( ^ (GTXT î lly/cIlL00^)3. Conclusion.On peut constater que les méthodes ci-dessus révèlent uneparenté étroite avec celles utilisées par Garsia, Preston, Bouli-caut et l'auteur pour obtenir des majorations sur les fonctionsaléatoires gaussiennes. Dans l'un ou l'autre cas, l'outil essentielest une probabilité, diffuse ou atomique, sur T ou sur T X T,éventuellement une suite de probabilités. Dans l'état actueldes recherches, on utilise dans l'un ou l'autre cas des mesuressimples, mesure de Lebesgue ou mesure équirépartie. Onpeut penser que les analyses plus fines des fonctions aléatoiresgaussiennes reposeraient essentiellement sur la constructiondes mesures sur T X T liées à la covariance F [5, t) dans lecas réduit où T est fini.BIBLIOGRAPHIE[1] S. CHEVET, Séminaire Clermont, 1972.[2] R. M. DUDLEY, J . Funct. Analysis, 1 (1967), 290-330.[3] X. FERNIQUE, C.R. Acad. Se. Paris, 258 (1964), 6058-6060.[4] M. B. MARCUS et L. A. SHEPP, Trans. Amer. Math. Soc., 1970.[5] SUDAKOV, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 185 n° 1, 1969.Xavier FEBNIQUE,Département de Mathématiques,7, rue René-Descartes,67-Strasbourg.

Minorations des fonctions aléatoires gaussiennes

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