Sobre o Método de Mahler para transcendência

Abstract

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2021.Seja $\mathfrak{a}=(a_n)_{n\geq 0}$ uma sequência de inteiros positivos. Neste trabalho, estudamos o comportamento aritmético de valores da função $f_\mathfrak{a}(z)=\sum_{n\geq 0}z^{a_n}$. Primeiro, no caso de uma sequência superexponencial $\mathfrak{a}$, mostramos (em particular) que $f_\mathfrak{a}(\alpha)$ é um número transcendente, para todo número algébrico não nulo $\alpha\in B(0,1)$. Depois disso, o objetivo principal é estudar o caso em que $\mathfrak{a}$ é uma sequência exponencial. Para isso, apresentamos e usamos o chamado Método de Mahler (que é particularmente útil para funções que satisfazem alguma equação funcional) para obter resultados de transcendência sobre valores de funções em argumentos algébricos.Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES).Let $\mathfrak{a}=(a_n)_{n\geq 0}$ be a sequence of positive integers. In this work, we study the arithmetic behavior of values of the function $f_\mathfrak{a}(z)=\sum_{n\geq 0}z^{a_n}$. First, in the case of a super-exponential sequence $\mathfrak{a}$, we show (in particular) that $f_\mathfrak{a}(\alpha)$ is a transcendental number, for all nonzero algebraic number $\alpha\in B(0,1)$. After that, the main focus is to study the case in which $\mathfrak{a}$ is an exponencial sequence. For that, we present and use the called Mahler's method (which is particularly useful for functions satisfying some functional equation) to derive transcendental results about values of functions at algebraic arguments