Moraes, Jean Carlo Pech de

Zaniol, Cristina

Portuguese

Lume 5.8

Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and AppliedMathematicsPrevisão e Núcleo de Inflação: uma abordagem baseada emWavelets e Redes NeuraisCristina Zaniol 1Doutoranda do Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada - UFRGSJean Carlo Moraes2Professor do Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada - UFRGSResumo. O controle inflacionário tem ganhado muita importância nos estudos econômicosnas últimas décadas, principalmente devido a adoção de metas para inflação a partir dadécada de 90, utilizada como poĺıtica monetária por diversos páıses. Para fazer uma análiseda inflação, uma medida que separa componentes persistentes e transitórios de um ı́ndice deinflação tem se mostrado importante. Na literatura, esta medida é conhecida como Núcleode Inflação. Neste trabalho, são propostos Núcleos de Inflação baseados em wavelets dasfamı́lias Daubechies e Symlets, sendo utilizadas Redes Neurais para previsão da inflação paradiversos horizontes de tempo. Os resultados de previsão são comparados com as previsõesobtidas a partir dos Núcleos de Inflação utilizados pelo Bacen. Conclui-se que os núcleosbaseados em wavelets apresentam um resultado superior quando comparado com os núcleosoficiais.Palavras-chave. Inflação, Núcleo de Inflação, Wavelet, Redes Neurais.1 IntroduçãoA inflação, embora um fenômeno bem retratado, suscitou discussões ao longo dasúltimas décadas devido o seu grande impacto em todas as esferas da sociedade, desdedo planejamento familiar até a alocação de recursos de agentes financeiros e estatais. Ocontrole inflacionário ganhou importância nos estudos econômicos, principalmente a partirdos anos 60, com vários casos de hiperinflação. No ińıcio da década de 90, vários páısesadotaram metas para a inflação, entre eles Austrália e Nova Zelândia [14]. Nestes páıses,aliado ao uso de estratégia de controle inflacionário, foi incorporado o uso do Núcleo deInflação, uma ferramenta que possibilita o acompanhamento da inflação desconsiderandorúıdos de curto prazo.O Núcleo da Inflação representa tanto uma tendência, quanto um indicador da inflaçãofutura. Assim, a inflação pode ser descrita através de uma componente persistente, onúcleo, e outra transitória, que representa um rúıdo [5,7,14]. Matematicamente, podemosdescrever a inflação comoπt = π∗t + εt, (1)1criszaniol@gmail.com.2jean.moraes@ufrgs.br.Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics, v. 7, n. 1, 2020.Trabalho apresentado no XXXIX CNMAC, Uberlândia - MG, 2019.DOI: 10.5540/03.2020.007.01.0418 010418-1 © 2020 SBMAC2onde εt é a volatilidade presente no ı́ndice cheio, que representa uma transitoriedade doı́ndice de inflação, πt, que quando descartada resta apenas o Núcleo de Inflação, π∗t . Oproblema do cálculo do Núcleo de Inflação está justamente em como separar estes doiscomponentes, o permanente e o transitório. Não há consenso sobre o que constitui umNúcleo de Inflação ideal, mas normalmente utiliza-se um conjunto de critérios para avaliá-los, em que deve satisfazer ao menos estes: redução de volatilidade e capacidade preditivada inflação [3, 5, 12].No Brasil, o Banco Central (Bacen) calcula alguns núcleos baseados no IPCA, entreeles os núcleos de exclusão (IPCA-EX), o de médias aparadas, com (IPCA-MS) ou semsuavização (IPCA-MA), e o de dupla ponderação (IPCA-DP) [14]. Essas medidas denúcleo são divulgadas periodicamente nos documentos oficiais do Comitê de Poĺıtica Mo-netária (Copom); entretanto, ainda que os núcleos sejam considerados nos estudos sobrea evolução da inflação, utiliza-se apenas o IPCA para definição da meta. Tanto o IPCA,quanto as medidas de núcleo de inflação oficiais utilizadas neste trabalho, foram obtidosno Sistema Gerenciador de Séries Temporais do Bacen [4], sendo delimitadas no peŕıodode julho de 2006 a janeiro de 2019.Neste trabalho, são propostos núcleos de inflação baseado em wavelets e, para verificara sua capacidade preditiva, estes são comparados com as previsões gerada com RedesNeurais a partir dos núcleos de inflação oficiais calculados pelo Bacen. A abordagemadotada para a previsão da inflação são as Redes Neurais, que possibilitam o tratamentode dados altamente complexos sem a descrição de um modelo anaĺıtico espećıfico [1, 9].Ainda que haja estudos que utilizem wavelets para o cálculo do núcleo de inflação [2,5,8,10],destaca-se que a utilização conjunta de wavelets e Redes Neurais não foi encontrada naliteratura.Este trabalho está dividido em: Seção 2 e 3 apresentam o arcabouço teórico para odesenvolvimento do modelo, cujos resultados são apresentados na Seção 4 e, em seguida,são tecidas algumas considerações finais na Seção 5.2 WaveletsWavelets são famı́lias de bases ortonormais que podem ser usadas para representarfunções. Desde o surgimento da técnica, wavelets têm sido usadas com êxito em váriasaplicações para remover rúıdos e desvelar o verdadeiro sinal. Em L2(R), bases de waveletssão obtidas através de translações e dilatações de uma função escala ψ, em que os elementosda base são:ψa,b(t) =1√aψ(t− ba), a > 0, (2)com a e b representando os parâmetros de escala e de translação, respectivamente. Naforma discreta, a wavelet é escrita comoψm,n(t) =1am/20ψ(a−m0 t− nb0), (3)onde m e n tem a mesma função que a e b na Equação 2, com a = am0 , m ∈ Z ea0 6= 1; e b = nb0am0 , n ∈ Z. Para reescrever a série temporal como uma representaçãoProceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics. v. 7, n. 1, 2020.DOI: 10.5540/03.2020.007.01.0418 010418-2 © 2020 SBMAC3multirresolução (decomposição das funções em componentes de diferentes volatidades),define-se os coeficientes de detalhe e de aproximação. O coeficiente de detalhe é dado porTm,n =∫ ∞−∞f(t)ψm,n(t)dt, (4)e o coeficiente de aproximação,Sm,n =∫ ∞−∞f(t)φm,n(t)dt. (5)A aproximação na escala m é definida porfm(t) =∞∑n=−∞Sm,nφm,n(t) (6)e os detalhes,dm =∞∑n=−∞Tm,nψm,n(t). (7)Desta forma, é posśıvel reescrever uma série temporal como a soma da aproximação e dosdetalhes, em quef(t) = fm0(t) +m0∑m=−∞dm(t). (8)Os detalhes dm são relacionados com os componentes de mais alta frequência da sérietemporal (maior volatilidade) e fm, de mais baixa frequência (menor volatilidade) [6, 11,13]. Assim, é posśıvel diferenciar frequências, reconstruindo a série temporal apenas comos elementos mais significativos para a análise, excluindo os detalhes que correspondem auma maior volatilidade do sinal, uma vez que estes representam componentes transitóriosda inflação descrito na Equação 1.O cálculo do núcleo de inflação baseado em wavelets foi conduzido da seguinte forma: apartir do IPCA, foram calculadas decomposições em cinco ńıveis e, na reconstrução, forammantidos apenas três ńıveis de detalhes (frequências referentes ao peŕıodo até 16 meses).Desta forma, o sinal torna-se mais suave e tende a representar a tendência da inflação. Aswavelets utilizadas são da famı́lia das Daubechies e Symlets, mais especificamente: db2,db4, db6, db8, db10, sym3, sym4, sym6, sym8, sym10 [11]. Estas medidas de núcleo,então, foram utilizadas como dado de entrada para uma Rede Neural, como será discutidoa seguir.3 Redes NeuraisAs Redes Neurais são algoritmos com habilidade de aprendizagem, generalizandopadrões que podem ser utilizados na classificação e na predição [1, 9]. Um Rede Neu-ral pode ser representada por um conjunto de neurônios, onde cada neurônio k pode sermatematicamente representado poruk =m∑j=1wkjxj , (9)Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics. v. 7, n. 1, 2020.DOI: 10.5540/03.2020.007.01.0418 010418-3 © 2020 SBMAC4onde wkj é o peso utilizado pelo neurônio k para um dado de entrada xj . A resposta daRede Neural, yk, é dada poryk = σ(vk), (10)ondevk = uk + bk, (11)com bk representando um erro associado ao modelo gerado pela Rede Neural; e σ(·) é umafunção de ativação, cuja finalidade é análoga às sinapses do neurônio: inibir ou excitar atransmissão da informação quando é ultrapassado determinado limiar.A Rede Neural (Figura 1) é organizada em camadas: dados de entradas, camada deprocessamento e sáıda. Como dados de entrada, são utilizados os núcleos de inflação e oIPCA, com lag de 12 e 4, respectivamente, isto é, utilizando a representação temporal,y(t) = σ(y(t−1), y(t−2), y(t−3), y(t−4), x(t−1), x(t−2), . . . , x(t−11), x(t−12)). (12)Na camada de processamento, há apenas uma camada escondida com n neurônios, com nvariando de 1 a 50, e a função de transferência linear positiva é adotada como função deativação. Por fim, a sáıda, que é uma previsão para o IPCA em um horizonte de tempodeterminado. Os melhores resultados são apresentados na Seção 4.Figura 1: Arquitetura da Rede Neural com n neurônios na camada escondida.O algoritmo de aprendizagem adotado foi o SCG (Scaled Conjugate Gradient) e oErro Quadrático Médio (EQM) foi utilizado como critério de performance. Os dadosforam divididos assim: 60% foram utilizados para o treinamento, 10% para validação e30% para teste. Os resultados de predição são apresentados na seção a seguir.4 ResultadosNa Figura 2 são apresentadas as aproximações do IPCA geradas pela Rede Neuralcom a utilização dos núcleos de inflação, tanto oficiais, quanto os baseados em wavelets.Os dados se referem ao peŕıodo de julho de 2006 a janeiro de 2019, peŕıodo no qual hádisponibilidade da série histórica para o IPCA-EX2 e IPCA-EX3 para comparação comos demais núcleos. Os resultados apresentados referem-se a melhor performance da RedeNeural para uma quantidade de neurônios entre 1 e 50, comparado pelo EQM.Note que, como o modelo apresenta um lag de 12 meses, a aproximação é calculadaapenas para o mês de agosto de 2007 em diante. Para os núcleos oficiais, destaca-se queo IPCA-MA superestima o IPCA, assim como o IPCA-EX1 no final de 2017 ao final deProceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics. v. 7, n. 1, 2020.DOI: 10.5540/03.2020.007.01.0418 010418-4 © 2020 SBMAC5jan/2007 jan/2008 jan/2009 jan/2010 jan/2011 jan/2012 jan/2013 jan/2014 jan/2015 jan/2016 jan/2017 jan/2018 jan/2019-0.500.511.5(a)IPCAIPCAex0 -31 neurôniosIPCAex1 -5 neurôniosIPCAex2 -13 neurôniosIPCAex3 -19 neurôniosIPCAdp -19 neurôniosIPCAma -12 neurôniosjan/2007 jan/2008 jan/2009 jan/2010 jan/2011 jan/2012 jan/2013 jan/2014 jan/2015 jan/2016 jan/2017 jan/2018 jan/2019-0.500.511.5(b)IPCAdb2 -35 neurôniosdb4 -19 neurôniosdb6 -19 neurôniosdb8 -19 neurôniosdb10 -31 neurôniosjan/2007 jan/2008 jan/2009 jan/2010 jan/2011 jan/2012 jan/2013 jan/2014 jan/2015 jan/2016 jan/2017 jan/2018 jan/2019-0.500.511.52(c)IPCAsym3 -28 neurôniossym4 -18 neurôniossym6 -19 neurôniossym8 -40 neurôniossym10 -6 neurôniosFigura 2: Resultado da aproximação do IPCA com núcleos de inflação: (a) ı́ndices oficiais, (b)medidas obtida com Daubechies e (c) com as Symlets.2018; já para os núcleos baseados nas daubechies, embora haja alguns valores que divergemda tendência da inflação (db2 e db8), em geral as medidas conseguem representar bem oIPCA. Por fim, as medidas baseadas nas symlets apresentaram comportamento semelhanteas daubechies, onde a sym8 foi a que se mostrou mais d́ıspar em relação a evolução doIPCA.A Tabela 1 apresenta os melhores resultados de performance, isto é, aqueles commenor EQM, assim como o Coeficiente de Determinação (R2), uma medida de explicaçãodo modelo e seu ajustamento ao valor observado do IPCA. Para verificar a capacidadepreditiva de cada um dos modelos gerados pela Rede Neural, foram realizados testes paradiversos horizontes de tempo. Para cada um deles, a Rede Neural é retreinada com dadosaté o mês k e são realizadas previsões para um (k + 1), três (k + 3), seis (k + 6), nove(k + 9) e doze meses (k + 12).Uma primeira análise resulta do número de neurônios utilizados: a maioria deles ne-cessita apenas entre 10 e 20 neurônios. Muitos neurônios podem gerar uma respostasuperestimada e, com poucos neurônios, subestimada. Nota-se que o EQM para o treina-mento de todos os núcleos foram inferiores a 0, 05; para validação, inferiores a 0, 10; e, porfim, no teste, apenas o IPCA-EX0 e o db2 ultrapassaram 0, 10.Com a análise da capacidade de explicação do modelo, pode-se observar que os melhoresresultados obtidos foram a partir dos núcleos baseados em wavelets. Destacam-se, por suacapacidade de explicação do IPCA, os seguintes núcleos: db10, db6, sym6 e sym8.Por fim, em relação à capacidade preditiva, o núcleo sym8 apresentou resultados maisconsistentes para a previsão, apresentando o menor erro de previsão para k + 3, k + 6 eProceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics. v. 7, n. 1, 2020.DOI: 10.5540/03.2020.007.01.0418 010418-5 © 2020 SBMAC6Tabela 1: Erro Quadrático Médio (EQM) e Coeficiente de Determinação (R2) da previsãogerada pela Rede Neural de uma camada escondida.NeurôniosEQM da Rede Neural EQM da PrevisãoR2Treino Validação Teste k+1 k+3 k+6 k+9 k+12IPCA-EX0 31 0.0076 0.0619 0.1339 0.0512 0.0122 0.0058 0.0187 0.0164 0.5003IPCA-EX1 5 0.0408 0.0400 0.0747 0.0510 0.0755 0.0457 0.0757 0.1923 0.3768IPCA-EX2 13 0.0380 0.0499 0.0809 0.0522 0.0065 0.0094 0.0663 0.0745 0.3621IPCA-EX3 19 0.0430 0.0322 0.0725 0.0508 0.0295 0.0210 0.0343 0.0274 0.3941IPCA-DP 19 0.0344 0.0255 0.0935 0.0513 0.0207 0.0255 0.0402 0.0332 0.3940IPCA-MA 12 0.0390 0.0668 0.0642 0.0494 0.0146 0.0185 0.0354 0.0320 0.4253db2 35 0.0140 0.0333 0.1025 0.0427 0.0232 0.0133 0.0455 0.0387 0.5148db4 19 0.0283 0.0264 0.0536 0.0358 0.0170 0.0189 0.0278 0.0206 0.5652db6 19 0.0083 0.0176 0.0431 0.0198 0.0100 0.0102 0.0229 0.0176 0.7599db8 19 0.0419 0.0179 0.0677 0.0473 0.0150 0.0176 0.0441 0.0430 0.4367db10 31 0.0051 0.0051 0.0455 0.0173 0.0091 0.0046 0.0356 0.0268 0.8037sym3 28 0.0340 0.0300 0.0827 0.0483 0.0225 0.0621 0.0823 0.0336 0.4876sym4 18 0.0282 0.0152 0.0655 0.0381 0.0199 0.0132 0.0290 0.0172 0.5645sym6 19 0.0117 0.0126 0.0497 0.0233 0.0106 0.0110 0.0240 0.0184 0.7238sym8 40 0.0080 0.0410 0.0724 0.0308 0.0010 0.0016 0.0194 0.0157 0.7030sym10 6 0.0414 0.0177 0.0756 0.0494 0.0090 0.0201 0.0409 0.0337 0.4025k + 12. Entre as daubechies, a db6 consegue um resultado dentre os três melhores parak+ 1, k+ 9 e k+ 12, seguida pela db10, para k+ 1 e k+ 6. Os núcleos de inflação oficiaistiveram um desempenho aquém quando comparados com as wavelets, figurando entre osmelhores resultados, em primeiro lugar, o IPCA-EX0 que, embora não consiga explicarmuito mais da metade do modelo, consegue previsões entre os três menores erros em k+6,em k + 9 e em k + 12, e, em segundo, o IPCA-EX2, em k + 3 e em k + 6.5 ConclusõesOs resultados obtidos neste trabalho indicam que várias medidas de núcleo apresenta-das possuem um resultado mais satisfatório na predição da inflação que os núcleos adotadospelo Bacen; não obstante, quando analisados o coeficiente de determinação, as waveletspossuem, em geral, um resultado superior àqueles gerados a partir dos núcleos oficiais.Desta forma, há ind́ıcios que os núcleos de inflação baseados em wavelets sejam mais apro-priadas para a previsão e, consequentemente, para o aux́ılio no delineamento das metas deinflação que as medidas atualmente utilizadas pelo Bacen. Estudos futuros incluem novasarquiteturas de redes, com mais camadas escondidas, e também a utilização de outrosdados macroeconômicos para a predição da inflação.AgradecimentosO presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento dePessoal de Nı́vel Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001.Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics. v. 7, n. 1, 2020.DOI: 10.5540/03.2020.007.01.0418 010418-6 © 2020 SBMAC7Referências[1] A. K. Alexandridis, and A. D. Zapranis. Wavelet neural networks: with applicationsin financial engineering, chaos, and classification. John Wiley & Sons, 2014.[2] A. A. Denardin, A. Kozakevicius, A. A. Schmidt. Avaliação Da Medida De Núcleo DeInflação Baseada No Método Wavelet Para O Brasil. Proceedings of the 44th BrazilianEconomics Meeting, 2018.[3] BANCO CENTRAL DO BRASIL. 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Previsão e núcleo de inflação : uma abordagem baseada em wavelets e redes neurais

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