U ovoj tezi se razmatraju različite osobine običnih harmonijskih
preslikavanja, kvazikonformnih preslikavanja i harmonijskih preslikavanja
u odnosu na zadatu konformnu metriku u slici. Dobijeni su odgovori
na mnoga pitaǌa koja se odnose na određivaǌe onih osobina tih
klasa funkcija, koje su od esencijalnog značaja za validnost rezultata
poput onih koji uopštavaju čuvene nejednakosti Švarc-Pikovog tipa.
Prednost je data geometrijskom pristupu, analizirnjem osobina Gausove
krivine konformnih metrika sa kojima operišemo.This thesis considers various properties of Euclidean harmonic mappings, quasiconformal
mappings and generalized harmonic mappings, which are harmonic with
respect to the conformal metric on the image surface. In particular, we obtained the
answers to many questions concerning these classes of functions and that are related
to the determination of different properties that are of essential importance for validity
of the results such as those that generalize famous inequalities of the Schwarz-Pick
type. The approach used was geometrical in nature, via analyzing the properties of
the Gaussian curvature of the conformal metrics we are dealing with

Knežević, Miljan V.

National Repository of Dissertations in Serbia (NaRDuS)

Harmonic and quasiconformal
mappings, quasi - isometries
and the curvature

Nardus

Univerzitet u BeograduNastavno nauqnom veuMatematiqkog fakultetaNa 302. sednici Nastavno-nauqnog vea Matematiqkog fakulteta, odranoj18.11.2011. u Beogradu, odreeni smo u Komisiju za pregled i ocenu dokto-rske disertacijeHARMONIJSKA I KVAZIKONFORMNA PRESLIKAVAǋA,KVAZI-IZOMETRIJE I KRIVINAmagistra Miǉana Kneevia. Kandidat je predao tekst, Komisija ga je pre-gledala i podnosi Veu sledeiIZVEXTAJ1. Osnovni biografski podaci kandidataIme i prezime: Miǉan (Vuki) KneeviDatum roeǌa: 12.05.1973.Radno mesto: Matematiqki fakultet, Univerzitet u BeograduZvaǌe: AsistentAdresa: Studentski trg 16, 11000 Beograd, SrbijaElektronska adresa: kmiljan@matf.bg.ac.rsNakon zavrxene Matematiqke gimnazije u Beogradu, juna 1992. godine,upisuje se na Matematiqki fakultet, Univerzitet u Beogradu, na kojem idiplomira januara 1997. godine, na smeru za teorijsku matematiku i primene,sa prosqnom ocenom 9.69. Zvaǌe magistra matematiqkih nauka stekao je okto-bra 2005. godine na istom fakultetu, na temu - HARMONIJSKA PRESLI-KAVAǋA, TRAJEKTORIJE I KRIVINA. Dana 12.12.2011. godine Uni-verzitet u Beogradu je dao saglasnost na predlog teme doktorske disertaci-je pod nazivom - HARMONIJSKA I KVAZIKONFORMNA PRESLI-KAVAǋA, KVAZI-IZOMETRIJE I KRIVINA.Od oktobra 2001. godine je zaposlen kao asistent na Matematiqkom fa-kultetu, Univerzitet u Beogradu, ua nauqna oblast - Kompleksna analiza.Trenutno je angaovan na predmetima Kompleksna analiza, Uvod u komple-ksnu analizu, Uvod u finansijsku matematiku, Geometrijska teorija funkcijai Naqela nastave matematike, dok je ranije izvodio vebe i na predmetimaAnaliza 1, Analiza 2, Diferencijalne jednaqine, Diferencijalna geometri-ja, Osnovi geometrije, Matematika 2. Qlan je Druxtva matematiqara Srbi-je, kao i Republiqke komisije za takmiqeǌa uqenika sredǌih xkola. Bio jeu nekoliko navrata voa srpskog nacionalnog tima na meunarodnim takmi-qeǌima iz matematike.2. Spisak nauqnih i struqnih radova• M. Knežević, M. Mateljević,On the quasi-isometries of harmonic quasiconformalmappings, J. Math. Anal. Appl., 334/1, 404-413, (2007): ISSN: 0022-247X, IF: 1.119.• M. Knežević,Some Properties of Harmonic Quasiregular Mappings, Springer Pro-ceedings in Mathematics and Statistics (LTAPH), Volume 36, pp 531–539, (2013): DOI10.1007/978-4-431-54270-4 40, ISSN 2194-1009, Online ISBN 978-4-431-54270-4,Print ISBN 978-4-431-54269-8.(http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-4-431-54270-4 40)• M. Mateljević, V. Božin, M. Knežević, Quasiconformality of Harmonic MappingsBetween Jordan Domains, FILOMAT, (2010), vol. 24 br. 3, str. 111–122, (2010): ISSN0354-5180, IF 0.753.• M. Knežević,Some models of economic growth and capital accumulation, Proceedingsof XXXIX Symposium in Operations Research, (SYMOPIS 2012).• M. Knežević, Dj. Krtinić,A note on infinite descent principle, Teaching of Mathe-matics, Vol. 16, br. 2, str. 67–78, (2013): ISSN: 1451-4966.• B. Radivojević, M. Knežević,Pricing options using the binomial model. Practicalapplication, Zbornik radova, IV Symposium - Mathematics and Applications, Universityof Belgrade, Vol IV(1), 40–47, (2014): Print ISBN 978-86-7589-089-8, Online ISBN 978-86-7589-090-4.• I. Anić, M. Stamenković, M. Knežević, Insurance Company Valuation Based on Elec-tre Multicriteria Decision Making, Proceedings of XXXVIII Symposium in OperationsResearch, (SYMOPIS 2011), ISBN: 978-86-403-1168-7.3. Predmet disertacijeU klasiqnoj teoriji kompleksnih funkcija mnogi problemi, qijim rexa-vaǌem bi se opisala pojedina geometrijska svojstva analitiqkih funkcija,su preokupirali paǌu velikog broja istaknutih matematiqara. Meutim,veoma malo osobina klase analitiqkih funkcija, qak i ako se modifikuju, semogu direktno preneti na neke druge vane klase preslikavaǌa, kao xto suharmonijska, odnosno kvazikonformna preslikavaǌa.Predmet doktorske disertacije kandidata je bio prouqavaǌe razliqitihosobina obiqnih harmonijskih preslikavaǌa, kvazikonformnih i harmoni-jskih preslikavaǌa u odnosu na zadatu konformnu metriku u slici, dok jeglavni ciǉ bio da se dobije odgovor na pitaǌe koje od mnogih osobina tihklasa funkcija su od esencijalnog znaqaja za validnost rezultata poput onihkoji uopxtavaju quvene teoreme Xvarc-Pikovog tipa. Takoe, potenciranoje na uvoeǌu novih metoda, pa je akcenat stavǉen na geometrijski pristupanaliziraǌem osobina Gausove krivine u razliqitim situacijama.4. Prikaz disertacijeRad se sastoji iz pet poglavǉa, sa spiskom literature od 60 bibliograf-skih jedinica i jasno je da je uloen veliki trud da se napixe veoma pre-gledno.U prvoj glavi izloen je pregled osnovnih pojmova i rezultata iz teori-je kvazikonformnih preslikavaǌa, a zatim je uveden neophodan analitiqkiaparat koji e kasnije biti od koristi. U potpunosti je izloen Greqovproblem i objaxǌene su mere distorzije tih preslikavaǌa koje ih qineprirodnim uopxteǌima konformnih.U drugom delu su paǉivo obraene teme iz teorije harmonijskih funkci-ja. Dokazano je nekoliko pomonih tvreǌa, a zatim su pokazane teoremaLevija, odgovarajua verzija Xvarcove leme za harmonijska preslikavaǌa,kao i nejednakost Hajnca sa svim ǌenim posledicama.U treoj glavi date su mnoge pojedinosti koje se odnose na pojam Ri-manovih povrxi, na konformne metrike na ǌima, kao i nekoliko vanih rezu-ltata koji se tiqu teorije uopxtenih harmonijskih preslikavaǌa, uopxtenihu smislu prisustva konformne metrike u slici. Dat je i analogon quvene Ri-manove teoreme, tj. teorema uniformizacije, koja nam obezbeuje da izvrxi-mo klasifikaciju Rimanovih povrxi u odnosu na univerzalnu natkrivajuupovrx. Od interesa je bilo uvesti i pojam hiperboliqke metrike na povrxi-ma hiperboliqkog tipa, tj. onima koje se natkrivaju jediniqnim diskom D.Dokazana je i Bohnerova formula uz pomo koje je u narednoj glavi predsta-vǉen novi pristup i metod u dokazu Vanove teoreme.U qetvrtoj glavi predstavǉen je kratak pregled geometrijske teorijefunkcija kao i razne verzije nejednakosti Xvarc-Pikovog tipa, specijalno,Alfors-Xvarcova lema. Date su ocene za hiperboliqki izvod preslikavaǌa,pod odreenim uslovima, kao i mnogi rezultati koji se odnose na uporei-vaǌe metrika, kao i ǌihove posledice. Dokazana je na potpuno drugi naqinVanova teorema, koja je mnogim matematiqarima posluila kao inspiracijaza daǉe istraivaǌe. Xtavixe, po prvi put su odreene konstante bili-pxicovsti hiperboliqkog harmonijskog i kvazikonformnog difeomorfizmajediniqnog diska na sebe.Teorema 1. Svaki harmonijski, u odnosu na hiperboliqku metriku, kvazi-konformni difeomorfizam jediniqnog diska D na sebe je kvazi-izometrija togdiska u odnosu na hiperboliqku metriku. Xtavixe, peslikavaǌe f je(1− k,√1 + k1− k)bi-Lipxicovo u odnosu na hiperboliqku metriku.Na kraju, u petoj glavi posmatrani su euklidski harmonijski difeomorfi-zmi raznih domena, koji su jox i kvazikonformna preslikavaǌa, i dobijenisu mnogi znaqajni rezultati koji unapreuju ovu teoriju. Mnogi od tihrezultata su autorski, dok je nekoliko ǌih dobijeno u saradǌi sa mentorom.Takoe, date su smernice koje vode ka daǉim istraivaǌima u oblasti ha-rmonijskih i kvazikonformnih preslikavaǌa.5. Ostvareni nauqni doprinos kandidataPrvu nekompletnu karakterizaciju harmonijskog kvazikonformnog difeo-morfizma f jediniqnog diska na sebe u svom qlanku dao je O. Martio. Onje, uz pomo Hajncove nejednakosti, tj. nejednakosti |fz(z)|2 + |fz̄(z)|2 >1π2,z ∈ D, primetio da je svaki harmonijski kvazikonformni difeomorfizam je-diniqnog diska D na sebe preslikavaǌe koje je ko-Lipxicovo.U radu iz 2002. godine M. Pavlovi, koristei Morijevu nejednakostza kvazikonformna preslikavaǌa i drugu tehniku, je u potpunosti okarakte-risao pomenute difeomorfizme u terminima graniqne funkcije, jer se svakokvazikonformno preslikavaǌe jediniqnog diska na sebe moe proxiriti dohomeomorfizma odgovarajuih zatvoreǌa. Preciznije, pokazano je da su zaproizvoǉan harmonijski difeomorfizam f jediniqnog diska na sebe sledeatvreǌa ekvivalentna: (a) f je kvazikonformno, (b) f je bi-Lipxicovo uodnosu na euklidsku metriku, (c) graniqna funkcija je takoe bi-Lipxicovopreslikavaǌe i Hilbertova transformacija ǌenog izvoda pripada prostoruL∞(R). Kandidat je u zajedniqkom radu sa mentorom iz 2007. godine pokazao,koristei novi pristup, da je svako jedno takvo preslikavaǌe ujedno ikvazi-izometrija u odnosu na hiperboliqku metriku. Xtavixe, dobijene sukonkretne konstante bilipxicovosti.Teorema 2. Neka je f preslikavaǌe koje je k−kvazikonformni harmonijski difeo-morfizam jediniqnog diska D na sebe. Tada je preslikavaǌe f kvazi-izometrijajediniqnog diska u odnosu na hiperboliqku metriku. Specijalno, preslikava-ǌe f je (K−1, K) bi-Lipxicovo u odnosu na hiperboliqku metriku na D, gde jeK =1 + k1− k> 1.U tom radu dato je nekoliko tvreǌa koja su generalizacija prethodnogi tiqu se uopxtenih harmonijskih preslikavaǌa, sa krivinom konformnemetrike u slici ne veom od unapred zadatog negativnog broja.Kao posledicu prethodnog rezultata, pod uslovom da preslikavaǌe fiksi-ra taqku nula, kandidat dobija i konkretne konstante euklidske bilipxico-vosti preslikavaǌa f u taqki w = 0, tj. pokazuje da vai1K|z| 6 |f(z)| 6 K|z|,kad god je z ∈ D. Bilo je poznato da, ako bi m(K) bila najboǉa moguakonstanta za koju je m(K)|z| 6 |f(z)|, za svako z ∈ D, da je tada limK→1+m(K) = 1,xto je tehniqki bilo texko pokazati (D. Partika i K. Sakan su 2005. godineodredili konkretne konstante bilipxicovosti). Oqigledno sada vai1K6m(K) 6 1.Kako je kompozicija harmonijskog i analitiqkog preslikavaǌa harmoni-jsko, ispostavilo se da se svi prethodni rezultati mogu generalizovati uko-liko se domen zameni proizvoǉnim ordanovim domenom sa C1,α granicom.Meutim, ”post-komponovaǌe” harmonijskog preslikavaǌa analitiqkim gubisvojstvo harmoniqnosti, pa su oqekivane neke druge tehnike koje e dovestido sliqnih tvreǌa u sluqaju proizvoǉnog kodomena kompleksne ravni.U radu iz 2005. godine, M. Pavlovi i D. Kalaj su opisali harmoni-jske kvazikonformne difeomorfizme gorǌe poluravni H na sebe. Pokazanoje da ako je ψ homeomorfizam realne ose na sebe, koji quva orijentaciju, ta-da se on moe produiti do harmonijskog kvazikonformnog difeomorfizmagorǌe poluravni na sebe ako i samo ako je preslikavaǌe ψ bi-Lipxicovoi ako Hilbertova transformacija ǌegovog izvoda pripada prostoru L∞(R).Takoe, u zajedniqkom radu M. Mateǉevi, V. Boin i M. Kneevi nasliqan naqin opisuju svojstava tih preslikavaǌa. Meutim, zajedno sa M.Mateǉeviem, kandidat dobija i konkretne konstante bilipxicovosti, kakou euklidskom, tako i u hiperboliqkom sluqaju. Xtavixe, pokazano je daje svaki k−kvazikonformni harmonijski difeomorfizam gorǌe poluravni nasebe (K−1, K) kvazi-izometrija gorǌe poluravni u odnosu na hiperboliqku,ali i u odnosu na euklidsku metriku. Pokazano je i da se dobijene konstantedostiu.Teorema 3. Pretpostavimo da preslikavaǌe f zadovoǉava gore pomenute uslove.Tada za f vai da je (K−1, K) kvazi-izometrija u odnosu na euklidsku metriku,a samim tim i (K−1, K) bi-Lipxicovo preslikavaǌe, tj. vai1K|z1 − z2| 6 |f(z1)− f(z2)| 6 K|z1 − z2|,za svako z1, z2 ∈ H, gde je K =1 + k1− k. Pri tome se obe nejednakosti postiu.D. Kalaj je uopxtio prethodne rezultate u sluqaju kvazikonformnog ha-rmonijskog difeomorfizma jediniqnog diska na konveksni domen sa glatkomC1,α granicom i dobio je da je svako takvo preslikavaǌe bi-Lipxicovou odnosu na hiperboliqku metriku. Takoe, od strane dva kineska ma-tematiqara, odreene su konkretne konstante bilipxicovosti i u sluqajuproizvoǉnog prosto povezanog konveksnog kodomena, koje su potpuno iste kaou radu kandidata sa mentorom. Primeǌen je i potpuno isti metod. Meu-tim, M. Mateǉevi i V. Boin, novom tehnikom i idejama, dobijaju da usluqaju ordanovih domena sa C1,α granicom svaki harmonijski kvazikonfo-rmni difeomorfizam izmeu ǌih je bi-Lipxicovo preslikavaǌe u odnosu naeuklidsku metriku.Na kraju, motivisan prethodnim rezultatom, kandidat dobija rezultatekoji potvruju da je svaki kvazikonformni harmonijski difeomorfizam fjediniqnog diska na proizvoǉni prosto povezani hiperboliqki domen G ko-mpleksne ravni, koristei samo svojstva hiperboliqke metrike i uopxteǌaverzije Xvarcove leme za Kelerove mnogostrukosti, koju je dao Jau, poduslovom da je konformna metrika ds2 = λG(f(z))|fz(z)|2, z ∈ D, kompletna (λGje gustina hiperboliqke metrike na G), ko-Lipxicovo preslikavaǌe u odnosuna odgovarajue hiperboliqke metrike.Teorema 4. Neka je f k−kvazikonformno harmonijsko preslikavaǌe jediniqnogdiska D na G, gde je G ⊂ C proizvoǉna prosto povezana oblast razliqita od C.Ukoliko je konformna metrika ds2 = λG(f(z))|fz(z)|2|dz|2 kompletna na D, tadavaidG(f(z1), f(z2)) > m(k) dD(z1, z2),za svako z ∈ D, odnosno preslikavaǌe f je m(k) ko-Lipxicovo u odnosu na hipe-rboliqku metriku, gde je m(k) =1− k√1 + k2 +16 + 9√32k.U obrnutoj situaciji, takav naqin istraivaǌa je dao samo parcijalnirezultat. Naime, odreena je konstanta lipxicovosti samo za male k, tj. zaona preslikavaǌa koja su suvixe bliska konformnim. Na kraju, dat je rezu-ltat koji se odnosi na gustinu kvazihiperboliqke merike i moe posluitikao motivacija da se pojedini rezultati prenesu i na taj sluqaj. Konstantebilipxicovosti u euklidskom sluqaju predstavǉaju izazov za daǉe istra-ivaǌe.Teorema 5. Neka je f : D → G k−kvazikonformno harmonijsko preslikavaǌe,gde je G ⊂ C proizvoǉna prosto povezana oblast razliqita od C. Tada, za sve0 6 k 6 k0 < 1, 1 + k20 − ((16 + 9√3)/2)k0 = 0 vaidG(f(z1), f(z2)) 6M(k) dD(z1, z2),za svako z ∈ D, odnosno preslikavaǌe f je M(k) Lipxicovo u odnosu na hiperbo-liqku metriku, gde je M(k) =1 + k√1 + k2 − 16 + 9√32k.

https://nardus.mpn.gov.rs/bitstream/id/6839/Knezevic_Miljan_referat_MTF.pdf

Harmonic and quasiconformal mappings, quasi - isometries and the curvature

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

National Repository of Dissertations in Serbia (NaRDuS)

Nardus