International audienceWe present a Markov model for agricultural successions with 4 states. The application of Markov models to agricultural succession problems is not new, but relatively new tools of numerical Bayesian inference allow us to test general prior laws. I addition to the maximum likelihood estimate, we consider the Jeffreys prior (non-informative), and calculate the associated Bayesian estimator with a Metropolis-Hastings approximation procedure. We study the capabilities and limitations of this approach.Nous présentons un modèle de Markov de transition agraire à 4 états. L'application de ce genre de modèles aux problèmes de successions agraires n'est pas nouveau, mais les outils relativement récents de l'inférence bayésienne numérique permettent de tester des lois a priori plus générales. En plus de l'estimateur du maximum de vraisemblance, nous considérons la loi a priori de Jeffreys (non informative) et calculons l'estimateur bayésien associé à l'aide d'une approximation de Metropolis–Hastings. Nous étudions les capacités et les limites de cette approche

Campillo, Fabien

Raherinirina, Angelo

Rakotozafy, Rivo

International audienceWe present a Markov model for agricultural successions with 4 states. The application of Markov models to agricultural succession problems is not new, but relatively new tools of numerical Bayesian inference allow us to test general prior laws. I addition to the maximum likelihood estimate, we consider the Jeffreys prior (non-informative), and calculate the associated Bayesian estimator with a Metropolis-Hastings approximation procedure. We study the capabilities and limitations of this approach.Nous présentons un modèle de Markov de transition agraire à 4 états. L'application de ce genre de modèles aux problèmes de successions agraires n'est pas nouveau, mais les outils relativement récents de l'inférence bayésienne numérique permettent de tester des lois a priori plus générales. En plus de l'estimateur du maximum de vraisemblance, nous considérons la loi a priori de Jeffreys (non informative) et calculons l'estimateur bayésien associé à l'aide d'une approximation de Metropolis–Hastings. Nous étudions les capacités et les limites de cette approche

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HAL Id: inria-00506392https://hal.inria.fr/inria-00506392Submitted on 27 Jul 2010HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.Un modèle markovien de transition agraireFabien Campillo, Angelo Raherinirina, Rivo RakotozafyTo cite this version:Fabien Campillo, Angelo Raherinirina, Rivo Rakotozafy. Un modèle markovien de transition agraire.International African Conference on Research in Computer Science and Applied mathematics, Oct2008, Rabat, Maroc. pp.101-108. ￿inria-00506392￿Un modèle markovien de transition agraireFabien Campillo1 — Angelo Raherinirina1 — Rivo Rakotozafy21 Projet MERE, INRIA/INRA, Montpellier, FranceFabien.Campillo@inria.fr2 Université de Fianarantsoa, Madagascarrrakotozafy@uni-fianar.mgRÉSUMÉ. Nous présentons un modèle de Markov de transition agraire à 4 états. L’application dece genre de modèles aux problèmes de successions agraires n’est pas nouveau, mais les outilsrelativement récents de l’inférence bayésienne numérique permettent de tester des lois a priori plusgénérales. En plus de l’estimateur du maximum de vraisemblance, nous considérons la loi a priori deJeffreys (non informative) et calculons l’estimateur bayésien associé à l’aide d’une approximation deMetropolis–Hastings. Nous étudions les capacités et les limites de cette approche.ABSTRACT. We present a Markov model for agricultural successions with 4 states. The applicationof Markov models to agricultural succession problems is not new, but relatively new tools of numericalBayesian inference allow us to test general prior laws. I addition to the maximum likelihood estimate,we consider the Jeffreys prior (non-informative), and calculate the associated Bayesian estimatorwith a Metropolis-Hastings approximation procedure. We study the capabilities and limitations of thisapproach.MOTS-CLÉS : Modèle de Markov, Monte Carlo par chaine de Markov (MCCM), a priori de JeffreysKEYWORDS : Markov model, Markov chain Monte Carlo (MCMC), Jeffreys prior1. IntroductionLes chaînes de Markov sont depuis longtemps utilisées afin de modéliser des suc-cessions agraires ou écologiques (cf. Waggoner [5] et Usher [4]). Inférer la dynamiqueconsidérée revient à estimer les paramètres de la matrice de transition.Dans cet article nous nous plaçons dans le cadre d’une chaîne à 4 états. Nous pré-sentons le problème d’inférence correspondant. Pour cela nous reprenons les travaux deAssoudou et Essebbar [1]. Nous proposons un calcul plus simple de la loi a priori de Jef-freys, que nous échantillonnons à l’aide d’une procédure de Metropolis–Hastings. Nousprésentons enfin quelques essais numériques.Les données étudiées nous ont été proposées par Dominique Hervé (IRD) et corres-pondent à des parcelles situées sur les versants et les bas fonds de la commune d’Amben-drana, à la lisière du corridor forestier de Ranomafana–Andringitra. La compréhensiondes dynamiques agricoles jouxtant ce corridor forestier est de la plus grande importance :ce corridor est le dernier vestige d’une vaste forêt qui recouvrait une grande partie de laprovince de Fianarantsoa à Madagascar. Cette forêt s’est peu à peu réduite à une bandede 200 km de long et d’au plus 20 km de large entre les aires protégées de Ranomafana etAndringitra. Les données utilisées dans cet article sont disponibles dans [3].2. Le modèleOn dispose de l’historique de successions d’occupations du sol de P = 43 parcellessur une période de N = 22 ans :i1:P1:N =i11 · · · i1Ni21 · · · i2N......iP1 · · · iPN(1)où ipn désigne l’état de la parcelle p à l’année n, ipn peut prendre 4 valeurs : F (forêt), C(culture), J (jachère), B (bois). L’espace d’état est noté Idéf= {F, C, J, B}.Chaque parcelle part de l’état initial “forêt” (naturelle), elle peut alors être exploitéeen “culture” ou laissée en “jachère”, elle peut ensuite basculer de “culture” à “jachère” etinversement, l’état “bois” correspond à l’utilisation finale de la parcelle (état absorbant)qui est utilisée pour l’exploitation du bois (cf. Figure 1). Les autres transitions sont im-possibles (i.e. correspondent à des probabilités de transition nulles) ; il est important denoter que ces transitions “impossibles” n’apparaissent pas dans les données (1) que nousavons eu à traiter.Nous faisons deux hypothèses :(i) chaque parcelle est une réalisation indépendante d’un même processus ;(ii) ce processus est markovien (homogène).Sous ces hypothèses (1) est la réalisation d’un processus :X1:P1:N =X11 · · · X1NX21 · · · X2N......XP1 · · · XPN(2)!!2!1!1!3!21 !! !!5 6!5!4!61 !1 !! !!3 41BJCFFigure 1. Le modèle de chaîne de Markov à 4 états : F (forêt), C (culture), J (jachère), B(bois). Le paramètre de la loi de transition est θ = (θ1, θ2, θ3, θ4, θ5, θ6). Fest l’état initial, Best un état absorbant.où les lignes Xp1:N , pour p = 1, . . . , P , sont indépendantes et sont chacune une chaîne deMarkov de matrice de transition :Q =1− θ1 − θ2 θ1 θ2 00 1− θ3 − θ4 θ3 θ40 θ5 1− θ5 − θ6 θ60 0 0 1. (3)Le paramètre inconnu est donc θ = (θ1, θ2, θ3, θ4, θ5, θ6) ∈ Θ avec :Θdéf={θ ∈ [0, 1]6 ; θ1 + θ2 ≤ 1 , θ3 + θ4 ≤ 1 , θ5 + θ6 ≤ 1}.L’état initial de chaque parcelle est F, la loi initiale de chaque ligne Xp1:N est donc δF =[1 0 0 0 ] (i.e. δFi = 1 si i = F et 0 sinon). Les hypothèses (i) et (ii) impliquent que la loide X1:P1:N est :Pθ(X1:P1:N = i1:P1:N ) =P∏p=1Pθ(Xp1:N = ip1:N ) =P∏p=1δFip1Qip1ip2· · ·QipN−1ipNpour tout N > 1, P > 1 et tout ipn ∈ I avec 1 ≤ n ≤ N et 1 ≤ p ≤ P .Nous supposerons à partir de maintenant que ip1 = F pour tout p = 1, . . . , P . Doncd’après (3), la fonction de log-vraisemblance s’écrit :l(θ) = log L(θ)déf= log Pθ(X1:P1:N = i1:P1:N ) =P∑p=1[log Qip1ip2+ · · ·+ log QipN−1ipN]On montre aisément que :l(θ) = nFF log(1− θ1 − θ2) + nFC log(θ1) + nFJ log(θ2)+ nCC log(1− θ3 − θ4) + nCJ log(θ3) + nCB log(θ4)+ nJJ log(1− θ5 − θ6) + nJC log(θ5) + nJB log(θ6) (4)où nij désigne le nombre de transitions de i vers j dans les séquences X11:N à XP1:N , i.e. :nijdéf=P∑p=1N∑n=21{Xpn−1=i} 1{Xpn=j} , ∀i, j ∈ I . (5)On calcule les estimateurs du maximum de vraisemblance des éléments de Q en annulantles dérivées partielles de la fonction de vraisemblance (4). On vérifie aisément que :θ̂1 =nFCnFF + nFC + nFJ, θ̂2 =nFJnFF + nFC + nFJ,θ̂3 =nCJnCC + nCJ + nCB, θ̂4 =nCBnCC + nCJ + nCB,θ̂5 =nJCnJC + nJJ + nJB, θ̂6 =nJBnJC + nJJ + nJB.3. Estimateur bayésienUne alternative à l’estimateur du maximum de vraisemblance sont les estimateursbayésiens. Ils s’appuient sur la formule de Bayes :π̃(θ) ∝ L(θ) π(θ) . (6)L’estimateur bayésien de θ est alors calculé de la façon suivante :θ̃déf=∫θ π̃(θ) dθ . (7)Le choix de la loi a priori π(θ) est un point crucial de l’inférence bayésienne. Nous pou-vons faire appel à une loi initiale uniforme ou beta, dans ce cas le calcul de θ̃ est explicite.Nous avons toutefois obtenu de meilleurs résultats avec la loi initiale de Jeffreys : dansce cas le calcul (7) n’est pas explicite et nous avons dû faire appel à une technique d’ap-proximation de type MCMC. C’est cette approche que nous détaillons maintenant.3.1. Calcul de la loi de JeffreysLa loi de Jeffreys est définie par :π(θ) ∝√det IN (θ)où I(θ) est la matrice d’information de Fisher :I(θ)déf=[Eθ(−∂2l(θ)∂θk∂θℓ)]1≤k,ℓ≤6.On vérifie aisément que la matrice d’information de Fisher est diagonale par blocs :IN (θ) =A1 0 00 A3 00 0 A5avec :Akdéf= −Eθ∂2l(θ)∂2θk∂2l(θ)∂θk∂θk+1∂2l(θ)∂θk∂θk+1∂2l(θ)∂2θk+1 .Ainsi :π(θ) ∝√det A1 × det A3 × det A5 . (8a)D’après (4) :∂2l(θ)∂2θ1= −(nFF(1−θ1−θ2)2+ nFCθ21), ∂2l(θ)∂θ1 ∂θ2= − nFF(1−θ1−θ2)2 ,∂2l(θ)∂2θ2= −(nFF(1−θ1−θ2)2+ nFJθ22), ∂2l(θ)∂θ2 ∂θ1= − nFF(1−θ1−θ2)2 ,∂2l(θ)∂2θ3= −(nCC(1−θ3−θ4)2+ nCJθ23), ∂2l(θ)∂θ3 ∂θ4= − nCC(1−θ3−θ4)2 ,∂2l(θ)∂2θ4= −(nCC(1−θ3−θ4)2+ nCBθ24), ∂2l(θ)∂θ4 ∂θ3= − nCC(1−θ3−θ4)2 ,∂2l(θ)∂2θ5= −(nJJ(1−θ5−θ6)2+ nJCθ25), ∂2l(θ)∂θ5 ∂θ6= − nJJ(1−θ5−θ5)2 ,∂2l(θ)∂2θ6= −(nJJ(1−θ5−θ6)2+ nJBθ26), ∂2l(θ)∂θ6 ∂θ5= − nJJ(1−θ5−θ6)2(les autres termes étant nuls) et :det A1 =(Eθ[nFF](1−θ1−θ2)2+ Eθ[nFC]θ21) (Eθ[nFF](1−θ1−θ2)2+ Eθ[nFJ]θ22)−(Eθ[nFF](1−θ1−θ2)2)2, (8b)det A3 =(Eθ[nCC](1−θ3−θ4)2+ Eθ[nCJ]θ23) (Eθ[nCC](1−θ3−θ4)2+ Eθ[nCB]θ24)−(Eθ[nCC](1−θ3−θ4)2)2, (8c)det A5 =(Eθ[nJJ](1−θ5−θ6)2+ Eθ[nJC]θ25) (Eθ[nJJ](1−θ5−θ6)2+ Eθ[nJB]θ26)−(Eθ[nJJ](1−θ5−θ6)2)2. (8d)Enfin, d’après (5) :Eθ[nij ] =P∑p=1N∑n=2Pθ(Xpn = j,Xpn−1 = i) = P QijN∑n=2[Qn−1]Fi . (8e)Le calcul de la loi a posteriori se fait donc à l’aide de la formule de Bayes (6), de l’ex-pression de la log-vraisemblance (4), et de l’expression de la loi a priori (8). Ces calculssont détaillés dans [3].Dans [1], les auteurs proposent une version différente et un peu plus complexe de cetteloi a priori. Ils se limitent de plus au cas à 2 états.3.2. MCMCLa loi a posteriori π̃(θ) définie par (6), associée à la loi a priori de Jeffreys, n’est pasintégrable explicitement. Ainsi il n’est pas possible de calculer directement l’estimateurassocié (7). Dans cette section, nous proposons une technique MCMC afin d’échantillon-ner selon π̃(θ) et de calculer θ̃. Nous utilisons un échantillonneur indépendant : la loi deproposition est uniforme sur l’ensemble Θ. La procédure qui est découle est décrite dansAlgorithme 1.choisir θ(1)θ̃ ← θ(1)pour m = 2, 3, 4, . . . faireθ ∼ U(Θ) % loi uniforme sur Θu ∼ U [0, 1]α← π̃(θprop)/π̃(θ(m−1))si u ≤ α alorsθ(m) ← θprop % acceptationsinonθ(m) ← θ(m−1) % rejetfin siθ̃ ← m−1mθ̃ + 1mθ(m)fin pourAlgorithme 1: Méthode MCMC avec tirage indépendant pour échantillonner selon la loi aposteriori π̃(θ) et calcul d’une approximation de θ̃ défini par (7).1 2 3 4 5x 10500.10.20.30.4itérations MCMC!1  1 2 3 4 5x 10500.10.20.30.4itérations MCMC!2  1 2 3 4 5x 10500.10.20.30.4itérations MCMC !3  1 2 3 4 5x 10500.10.20.30.4itérations MCMC !4  1 2 3 4 5x 10500.10.20.30.4itérations MCMC !5  1 2 3 4 5x 10500.050.10.150.2itérations MCMC !6  vraie valeur du paramètreestimateur bayésien/JeffreysEMVFigure 2. Données simulées : Comparaison entre la vraie valeur du paramètre, l’EMV etles itérations de l’algorithme MCMC pour le calcul de l’estimateur bayésien. Les erreursquadratique sont de 0.051 pour l’estimateur bayésien et de 0.097 pour l’EMV.1 2 3 4 5x 10400.10.20.30.4itérations MCMC!1  1 2 3 4 5x 10400.10.20.30.4itérations MCMC!2  1 2 3 4 5x 10400.10.20.30.4itérations MCMC!3  1 2 3 4 5x 10400.10.20.30.4itérations MCMC!4  1 2 3 4 5x 1040.10.20.30.40.5itérations MCMC!5  1 2 3 4 5x 10400.10.20.30.4itérations MCMC!6  estimateur bayésien/JeffreysEMVFigure 3. Données réelles : Comparaison entre l’EMV et les itérations de l’algorithmeMCMC pour le calcul de l’estimateur bayésien.4. Tests numériquesSur des exemples à 2 états (non présentés ici), l’estimateur bayésien donne de meilleursrésultats que l’EMV. Pour 4 états et dans le cas de données simulées selon le modèle pré-senté dans cet article, ces deux estimateurs donnent des résultats comparables (cf. Figure2). Des essais systématiques sont en cours afin de comparer ces estimateurs. Dans le casde données réelles, l’estimateur bayésien et l’EMV donnent des résultats différents (cf.Figure 3). Dans ces conditions, il semble nécessaire de faire évoluer le modèle considéré.Nous développons ce point dans la section suivante.5. PerspectivesDans ce travail nous avons considéré un modèle de successions agraires à 4 états.Nous avons fait deux hypothèses : (i) les parcelles ont les mêmes dynamiques et leursdynamiques sont indépendantes entre elles ; (ii) ces dynamiques sont markoviennes. Lamatrice de transition comprend 6 paramètres que l’on a estimés à l’aide de deux estima-teurs : l’estimateur du maximum de vraisemblance (EMV) et l’estimateur bayésien fondésur la loi a priori de Jeffreys.Lors d’essais numériques (non présentés ici) avec 2 paramètres correspondant à unmodèle markovien à deux états, l’estimateur bayésien se comporte nettement mieux quel’EMV. Dans le cas à 6 paramètres, les deux estimateurs semblent donner des résultatscomparables. Des essais numériques plus systématiques sont en cours.L’hypothèse (i) (parcelles indépendantes) est clairement violée. Il est en effet plusréaliste de considérer la dynamique d’une parcelle comme dépendante de l’état des par-celles voisines. Prendre en compte une dynamique spatio-temporelle est plus naturel maisnécessite beaucoup plus de paramètres.L’hypothèse (ii) pourrait être assouplie. Au vu des données [3], l’état initial “forêt” de-vrait nécessiter un traitement particulier. Dans un modèle markovien, les temps de séjouren chacun des états suit une loi géométrique. Le temps de séjour dans cet état initial n’apas de raison de suivre une loi géométrique : certaines parcelles plus récemment exploi-tées présentent de plus longues suites de F. Il serait donc nécessaire soit de commencerles historiques des parcelles au moment où elles quittent l’état F, soit de proposer une loinon géométrique pour le temps de séjour dans l’état F. Dans ce dernier cas on se placeraitdans un cadre semi-markovien. Une étude est actuellement en cours.Par ailleurs l’idée de faire appel à des modèles de Markov d’ordre 2 n’est pas réa-liste dans notre cadre, elle augmenterait de façon significative le nombre de paramètres àestimer.En conclusion il nous semble intéressant de développer un modèle dynamique de par-celle prenant en compte l’état des parcelles voisines. Afin de limiter le nombre de para-mètres à estimer, cela devra s’appuyer sur une étude en amont portant sur les logiquesd’exploitation des acteurs concernés. Dans le cas de périodes d’observations durant les-quelles des changements exogènes ont été constatés, comme des réformes agraires, ilsemble pertinent de faire appel à des modèles de Markov cachés.Remerciements : Les auteurs souhaitent remercier Dominique Hervé (IRD) pour avoirattiré notre attention sur les problèmes de transitions agraires du corridor forestier deRanomafana–Andringitra de la province de Fianarantsoa.6. Bibliographie[1] Souad Assoudou and Belkheir Essebbar. A Bayesian model for binary Markov chains. Inter-national Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 8 :421–429, 2004.[2] Patrick Billingsley. Statistical inference for Markov processes, Statistical Research Mono-graphs, Vol. II. The University of Chicago Press, Chicago, Ill. 1961.[3] Fabien Campillo, Nicolas Desassis, Angelo Raherinirina, Rivo Rakotozafy. Markovian model-ling of agricultural successions. En préparation.[4] M.D. Usher. Modelling ecological succession, with particular reference to Markovian models.Plant Ecology, 46 :11–18, 1981.[5] Paul E. Waggoner and George R. Stephens. Transition probabilities for a forest. Nature,225 :1160–1161, 1970.

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