National audienceCe poster présente une transformation de programme qui élimine les divisions et les racines carrées dans des programmes sans boucles. Cette élimination permet de calculer ensuite exactement avec les opérations restante

Neron, Pierre

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HAL Id: hal-00924394https://hal.inria.fr/hal-00924394Submitted on 6 Jan 2014HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.Elimination des racines et divisions pour du codeembarquéPierre NeronTo cite this version:Pierre Neron. Elimination des racines et divisions pour du code embarqué. Journées du GDR-GPL,Apr 2013, Nancy, France. ￿hal-00924394￿Elimination des racines et divisions pour ducode embarquéPierre NERONInria / École polytechnique• Code embarqué critique :– système ACCoRD pour l’aéronautique (NASA Langley)– opérateur conditionnel (if then else)– programmes sans boucles– pas d’allocation dynamique de mémoire• Arithmétique réelle +, −, ×, /, √• Représentation finie des réels en informatique :=⇒√2×√2 > 2• √ et / créent des suites infinies :√2 = 1.41421356237... 1/7 = 0.14285714285...• Arithmétique exacte avec +,−,× :– entiers dynamiques– taille max par analyse statique1  ContexteÉtant donné qu’il est possible de calculer exactement avec +,−,×, le butest de définir une transformation de programmes qui :• élimine les racines et les divisions• préserve la sémantique lorsqu’il n’y a pas d’échecSi on ne peut pas toujours éliminer ces opérations (le programme√2 re-tournera toujours une valeur approchée), on peut en revanche les éliminerde valeurs booléennes et ainsi protéger le graphe de contrôle du programmedes erreurs d’arrondis.2  SpécificationProg := Constant| fst Prog| uop Prog| (Prog, Prog)| if Prog then Prog else Prog| Var| snd Prog| Prog op Prog| let Var = Prog in Progavec : Constant ⊂ R ∪ {True, False}op ∈ {+,×, /, =, 6=, >, ≥, <, ≤, ∧, ∨}uop ∈ {√ , −, ¬}3  LangageSoit E1 R E2 une comparaison, on élimine racines et divisions en appliquantles transformation suivantes qui définissent la fonction elim bool :• Mettre les divisions en tête :E1 R E2 −→ABR CD• Eliminer les divisions de tête :ABR CD−→ A.B.D2 R C.D.B2• Choisir une racine et factoriser :A.B.D2 R C.D.B2 −→ P.√Q +R R 0• Eliminer la racine choisie : P.√Q +R R 0 −→(P R 0∧R R 0)∨(P ≥ 0∧P 2.Q−R2 R 0)∨(R ≥ 0∧0 R P 2.Q−R2)• Tant qu’il y a des racines, recommencer4  Expressions booléennesAfin d’éviter que ces expressions booléenes ne dependent de racines ou dedivisions indirectement, on élimine également ces opérations des définitionsde variable en utilisant un inlining partiel :⋄ let x = a.b +√(c + d)/f in P −→let (x1,x2,x3) = (a.b, c + d, e) in P[x := x1 +√x2/x3]• Nommer les sous expressions qui ne contiennent ni racine ni division• Inliner le contexte qui les contient5  Définitions de variablesCette notion d’inlining partiel peut s’étendre à des définitions de variablesqui contiennent des tests :⋄ let x = if F then a/b else c +√d in PLe but est alors de trouver une représentation commune à toutes les ex-pressions qui correspondent aux différents cas et d’inliner cette expression :⋄ let (x1,x2,x3) = if F then (a, b, 0) else (c, 1, d) in P[x := x1+√x3)x2]Cette représentation commune provient d’une anti-unification avec con-traintes des expressions correspondant aux différents cas des tests.Soient e1, ..., en, un anti-unificateur de ces termes est un terme t tel que :∀i ∈ [|1, ..., n|], ∃σi ∈ Perm(Var), t.σi = eiAvec la contrainte que σi ne contient ni racine ni division.Cette anti-unification nous permet donc de définir une fonctionelim let(x,p1,p2) qui renvoit x’, p1’, p2’ tels que :let x = p1 in p2sem== let x’ = p1’ in p2’où p1’ ne contient pas de racine.6  Définitions avec conditionnellesLa transformation est donnée par la fonction récursive Elim(p) :• si p est une expression booléene, retourner elim bool(p)• si p est une expression arithmétique, retourner p• si p = let x = p1 in p2 :–p1r := Elim(p1)–x’,p1’,p2’ := elim let(x,p1r,p2)– retourner let x’ = p1’ in Elim(p2’)• si p = if F then p1 else p2retourner if Elim(F) then Elim(p1) else Elim(p2)7  Transformation complèteNous avons donc conçu une transformation de programme qui permetd’éliminer les racines et les divisions de tous les booléens d’un programme.Cette transformation est implantée en OCamL.De plus nous avons :• une spécification et la preuve de correction en PVS• transposé cette spécification en une tactique réflexive qui permet detransformer automatiquement des buts dans PVS8  ConclusionP. Neron. A formal proof of square root and division elimination in em-bedded programs. In C. Hawblitzel and D. Miller, editors, CPP, volume7679 of Lecture Notes in Computer Science, pages 256–272, 2012.9  Référencehttp://www.lix.polytechnique.fr/~neron/

Elimination des racines et divisions pour du code embarqué

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