Pierre Deligne

Deligne, Pierre

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C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 356 (2018) 717–719Contents lists available at ScienceDirectC. R. Acad. Sci. Paris, Ser. Iwww.sciencedirect.comThéorie des groupes/Géométrie algébriqueExtension des scalaires par le morphisme de Frobenius, pour les groupes réductifsFrobenius base change for reductive groupsPierre DeligneInstitute for Advanced Study, School of Mathematics, 1 Einstein Drive, Princeton, NJ 08540, United Statesi n f o a r t i c l e r é s u m éHistorique de l’article :Reçu le 10 mai 2018Accepté le 16 mai 2018Disponible sur Internet le 24 mai 2018Présenté par Pierre DeligneSoit G un groupe réductif sur un corps k de caractéristique p > 0. Pour n un entier  0et q := pn , notons G{n} le groupe réductif sur k déduit de G par l’extension des scalaires x −→ xq : k −→ k. Si k est parfait, cette définition garde un sens pour tout entier n. Nous montrons que, si k est parfait, il existe m > 0 tel que les groupes algébriques G et G{m}soient isomorphes. La classe d’isomorphie de G{n}, comme groupe réductif sur k, ne dépend alors que de n modulo m. Dans le cas général, nous montrons qu’une telle périodicité reste vraie pour n assez grand.© 2018 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.a b s t r a c tLet G be a reductive group over a field k of characteristic p > 0. For n  0 and q := pn , let G{n} be deduced from G by the extension of scalars x −→ xq : k −→ k. If k is perfect, this keeps making sense for n εZ. We show that, if k is perfect, there exists m > 0 such that the algebraic groups G and G{m} over k are isomorphic. The isomorphism class of G{n} , as a reductive group over k, then depends only on n modulo m. For k not necessarily perfect, we show that such a periodicity remains true for n large enough.© 2018 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.1. IntroductionSoient D une algèbre centrale simple sur un corps k de caractéristique p > 0, et d sa classe dans le groupe de Brauer Br(k). Pour n un entier  0 et q := pn , notons D{n} l’algèbre centrale simple sur k déduite de D par l’extension des scalaires x −→ xq : k −→ k. La classe de D{n} dans Br(k) est pn · d. Si k est parfait, Br(k) est un groupe de torsion dont les éléments sont d’ordre premier à p. Il existe donc m > 0 tel que d = pmd. Pour un tel m, les k-algèbres D et D{m} et donc aussi les k-groupes algébriques D∗ et (D{m})∗ = (D∗){m} sont isomorphes. L’isomorphie de D∗{n} et D∗{n+m} s’en déduit par le changement de base x −→ xpn : k −→ k.Adresse e-mail : deligne@math.ias.edu.https://doi.org/10.1016/j.crma.2018.05.0051631-073X/© 2018 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.718 P. Deligne / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 356 (2018) 717–719Après nous avoir donné cet argument, ainsi que des arguments analogues pour d’autres groupes classiques, S. Srinivasan nous a demandé si une telle périodicité était vraie pour un groupe réductif quelconque. Nous montrons que oui. Le résultat est utilisé dans [1].2. NotationsSoit p un nombre premier. Si S est un schéma de caractéristique p, i.e. si p = 0 sur S , nous noterons FS l’endomorphisme de Frobenius de S . Rappelons qu’il est l’identité sur l’espace topologique sous-jacent à S et que, pour f une section locale du faisceau structural OS , on a F∗S ( f ) = f p .Si X est un schéma sur S , on note X (p) le schéma sur S déduit de X par le changement de base FS : S −→ S . Du dia-gramme commutatif ci-dessous à gauche (fonctorialité de Frobenius), on déduit une factorisation de FX par un S-morphisme FX/S : X −→ X (p) , le Frobenius relatif.X XS SFXFSX X (p) XS SFX/S(2.1)Procédant de même avec Frobenius remplacé par sa puissance n-ième, on définit X (pn) , que nous noterons X {n} , et FnX/S : X −→ X {n} . On a un isomorphisme canonique (X {n}){m} = X {n+m} et, pour cette identification, Fm+nX/S = FmX{n}/S FnX/S .La formation de FnX/S : X −→ X {n} est fonctorielle en X sur S , et compatible avec tout changement de base S ′ −→ S .Exemples. (i) Si S = Spec(Fp), FS est l’identité, X {n} est canoniquement isomorphe à X , et FnX/S = FnX .(ii) Si S = Spec(Fp) et que X = Spec(Fp[u, u−1]) est le schéma en groupe Gm sur S , le morphisme FnGm/S : Gm −→ Gmest donné par Fn∗Gm/S (u) = upn: c’est x −→ xpn au sens de la loi de groupe. On en déduit que, pour X = GNm , i.e. pour X un tore déployé sur Spec(Fp), FnX/S : X −→ X est encore x −→ xpn.(iii) Si X/S est lisse, FnX/S est fini et fidèlement plat, ainsi qu’on le vérifie par réduction au cas des espaces affines ANS . Si X est un schéma en groupe lisse, le morphisme de schémas en groupe FnX/S fait donc de X{n} le quotient de X par le noyau de FnX/S .3. Construction pour T /S, un tore, d’un isomorphismecann : T −→ T {n}. (3.1)Soit q = pn . Montrons que si T /S est un tore, l’endomorphisme x −→ xq (au sens de la loi de groupe) est fini et fidèlement plat, de noyau celui de FnT /S . Il suffit de le vérifier localement pour la topologie étale sur S . On peut donc supposer le tore T déployé, isomorphe à GNm pour N convenable. La formation de FnT /S : T −→ T {n} étant compatible aux changements de base, on se ramène au cas où S = Spec(Fp) et on applique les exemples (i) et (ii) ci-dessus.On définit l’isomorphisme cann comme l’unique isomorphisme de T avec T n tel que can−1n ◦ FnT /S soit x −→ xq , au sens de la loi de groupe :TFnX/S−−−→ T {n} can−1n−−−→ T est x −→ xq.Nous n’utiliserons pas le fait que la dualité de Cartier, qui est compatible avec les changements de base et donc avec X −→ X {n} , fournit une autre construction de (3.1) : T est dual de X étale sur S , et pour X étale sur S, FX/S : X −→ X {n} est un isomorphisme, dont can−1n est le transposé.4. TorseursSupposons S connexe et soit G un schéma en groupe réductif sur S . Il existe un groupe réductif déployé G0 sur Fptel que, localement, pour la topologie étale de S , G soit isomorphe à l’image inverse de G0. Un tore maximal de G est un sous-schéma en groupe fermé de G qui est un tore sur S et qui, en chaque point géométrique de S , est un tore maximal. Supposons que G admette un tore maximal T (c’est toujours le cas si S est le spectre d’un corps) et soit T0 un tore maximal déployé de G0. Localement, pour la topologie étale de S, (G, T ) est isomorphe à l’image inverse de (G0, T0).Soit T ad le tore maximal du groupe adjoint Gad image de T . L’action de G sur lui-même par automorphismes intérieurs se factorise par une action de Gad. L’action de T ad sur G fixe T , et on sait que le lemme ci-après est vérifié.Lemme 4.1. Cette action de T ad sur G identifie T ad au schéma en groupe des automorphismes de G induisant l’identité sur T .P. Deligne / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 356 (2018) 717–719 719Lemme 4.2. Localement, pour la topologie étale de S, il existe des isomorphismes de (G, T ) avec (G{n}, T {n}) induisant l’isomorphisme(3.1) de T avec T {n} .Preuve. Puisque (G, T ) est localement sur S isomorphe à l’image inverse de (G0, T0) sur Spec(Fp). L’isomorphisme de l’exemple (i) fait l’affaire. En effet, d’après l’exemple (ii), pour le tore déployé T0, cet isomorphisme identique coïncide avec (3.1).Ces lemmes impliquent que le schéma des isomorphismes de (G, T ) avec (G{n}, T {n}) induisant (3.1) sur T est un T ad-torseur sur S . Nous le noterons Pn(G, T ). Pour tout schéma S ′/S, Pn(G,T)(S ′) s’identifie avec l’ensemble des iso-morphismes de (G,T)S ′ avec (G{n}, T {n})S ′ induisant (3.1) sur T S ′ .Nous noterons additivement l’addition des T ad-torseurs. Par passage aux classes d’isomorphie, cette addition donne la loi de groupe de H1(Set, T ad).Construction 4.3. Un isomorphisme de Pn(G, T ) avec le multiple N-ième de P1(G, T ), pour N = 1 + p + · · · + pn−1 =(pn − 1)/(p − 1).L’isomorphisme cann : T −→ T {n} est le composé des isomorphismes can1 : T {i} −→ T {i}{1} = T {i+1} pour 0 ≤ i < n.Si on utilise l’isomorphisme cani de T ad avec T ad{i} pour identifier T ad-torseurs et T ad{i} torseurs, on en déduit que la composition des isomorphismes identifie Pn(G, T ) à la somme des torseurs P1(G{i}, T {i}) pour 0 ≤ i < n. Le T ad{i}-torseur P1(G{i}, T {i}) est déduit par le changement de base F iS : S −→ S du T ad-torseur P1(G, T ). Il reste à appliquer le lemme suivant.Lemme 4.4. Soient T un tore sur S et P un T -torseur. Le T {i}-torseur P {i} , identifié à un T -torseur par cani : T ∼−→ T {i} , est canoni-quement isomorphe au multiple pi-ième de P .Preuve. Les Frobenius relatifs sont fonctoriels. Ils donnent donc lieu à un diagramme commutatifP × T PP {i} × T {i} P {i} ,les flèches horizontales étant les actions à droite de T sur P et de T {i} sur P {i} . Le T {i}-torseur P {i} est donc déduit du T -torseur P en poussant par F iT /S : T −→ T {i} . Vu comme T -torseur, P {i} s’obtient en poussant ensuite par can−1. Par définition, can−1 ◦ F T /S est x −→ xpi . On conclut en observant que pousser un T -torseur par x −→ xa revient à en prendre la somme de a copies.Corollaire 4.5. Dans H1(Set, T ad), on a classe de Pn(G, T ) = (pn − 1)/(p − 1). classe de P1(G, T ).5. Preuve des théorèmes annoncés dans le résuméSoit k un corps de caractéristique p, et prenons S = Spec(k). Soient G un groupe réductif sur k, T un tore maximal de Get T ad son image dans le groupe adjoint Gad. Soit k′ une extension galoisienne de k sur laquelle T ad se déploie. Il résulte du théorème 90 de Hilbert queH1(S, T ad) = H1(Gal(k′/k), T ad(k′)).Si le corps k est parfait, son extension galoisienne k′ l’est aussi, et le groupe T ad(k′), isomorphe à (k′∗)N , pour N conve-nable, est uniquement p-divisible. Le groupe de torsion H1(Gal(k′/k), T ad(k′)) l’est donc aussi, et ses éléments sont d’ordre premier à p. Si la classe c de P1(G, T ) est d’ordre a et si pb ≡ 1 (a), avec b > 0, on a∑0≤i<abpi ≡ a∑0≤i<bpi ≡ 0 (a).Posons m = a b. D’après 4.5, il existe un isomorphisme de (G, T ) avec (G{m}, T {m}) induisant (3.1) sur T . A fortiori, G est isomorphe à G{m} .Sans hypothèse sur k, il reste vrai que la classe c de P1(G, T ) est de torsion. Si N est un entier tel que pN c soit d’ordre a premier à p, que pb ≡ 1 (a) avec b > 0 et que m := a b, un calcul similaire montre que, pour tout n ≥ N , i, les T ad-torseur Pn(G, T ) et Pm+m(G, T ) sont isomorphes. Le groupe T ad agit sur G et, pour tout i, G{i} se déduit de G par torsion par le T ad-torseur Pi(G, T ). Pour n ≥ N, G{n} et G{n+m} sont donc isomorphes.Références[1] S. Srinivasan, Motivic decomposition of projective pseudo-homogeneous varieties, Transform. Groups 22 (4) (2017) 1125–1142.

Extension des scalaires par le morphisme de Frobenius, pour les groupes réductifs

Comptes Rendus Mathématique

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