Vincent Brugidou

Comptes Rendus Mathématique

C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 349 (2011) 361–364Contents lists available at ScienceDirectC. R. Acad. Sci. Paris, Ser. Iwww.sciencedirect.comThéorie des nombres/Analyse complexeUne généralisation de la formule du triple produit de Jacobi et quelquesapplicationsA generalization of the Jacobi’s triple product formula and some applicationsVincent Brugidou a,b,∗a Laboratoire Paul-Painlevé, université de Lille 1, 59655 Villeneuve d’Ascq cedex, Franceb IUT A de Lille 1, boulevard Paul-Langevin, BP 179, 59653 Villeneuve d’Ascq cedex, Francei n f o a r t i c l e r é s u m éHistorique de l’article :Reçu le 4 décembre 2010Accepté après révision le 8 mars 2011Disponible sur Internet le 1er avril 2011Présenté par Jean-Pierre KahaneSi An = 0 pour tout n ∈ Z, on montre que la série à 2 variables Q (x, y)=∑n∈Z Anxn yn(n+1)/2se factorise formellement en un triple produit infini qui généralise la formule de Jacobi.Soit ρo la racine positive de∑∞k=1 ρk2 = 1/2, on prouve la convergence de la factorisa-tion de Q pour x ∈ C∗ et |y| < ρ2o Ω−1 avec Ω = supn∈Z |An−1 An+1/A2n|. On en déduit quesi Ω < ρ2o = 0,2078 . . . on peut calculer explicitement chaque zéro de la série de Laurentf (x) = ∑n∈Z Anxn comme la somme ou l’inverse de la somme de séries dont les termessont des expressions polynomiales des An−1 An+1/A2n . Si l’inégalité précédente est large etf (x) réelle, tous ses zéros sont réels. Une autre application consiste, lorsqu’on connait lafactorisation en triple produit de Q (x, y) par une autre voie que celle décrite dans la note,à les identifier. Ainsi avec la fonction theta de Jacobi, on a obtenu une identité nouvellepour la somme des diviseurs σ(n) d’un entier.© 2011 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.a b s t r a c tIf An = 0 for all n ∈ Z, we show the series with 2 variables Q (x, y) = ∑n∈Z Anxn yn(n+1)/2factorizes formally in an infinite triple product, which generalizes the Jacobi’s formula. Letρo be the positive root of∑∞k=1 ρk2 = 1/2, we prove the convergence of the factoriza-tion of Q for x ∈ C∗ and |y| < ρ2o Ω−1 with Ω = supn∈Z |An−1 An+1/A2n|. We deduce thatif Ω < ρ2o = 0.2078 . . . each zero of the Laurent series f (x) =∑n∈Z Anxn can be explic-itly calculated as the sum or the inverse of the sum of series, whose terms are polynomialexpressions of An−1 An+1/A2n . If the previous inequality is wide and f (x) real, then all itszeros are real numbers. An other application is when you know the triple product factor-ization of Q (x, y) by another way than described in the note, to identify them. So withthe Jacobi theta function, we obtained a new identity for the sum of divisors σ(n) of aninteger.© 2011 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.* Addresse pour la correpondance : IUT A de Lille 1, boulevard Paul-Langevin, BP 179, 59653 Villeneuve d’Ascq cedex, France.Adresse e-mail : vincent.brugidou@univ-lille1.fr.1631-073X/$ – see front matter © 2011 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.doi:10.1016/j.crma.2011.03.003362 V. Brugidou / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 349 (2011) 361–3641. IntroductionDans [1] on a introduit une nouvelle méthode pour déterminer les zéros d’une fonction entière f (x) = ∑n∈N Anxn enlui associant la série formelle à deux indeterminées Q (X, Y ) = ∑n∈N An XnY n(n+1)/2. Lorsque An = 0 on est arrivé ainsià exprimer les zéros de f (x) comme l’inverse de la somme de séries dont les termes sont des expressions polynomialesdes Ωn = An−1 An+1/A2n . La condition supn0 |Ωn| < ρ2o ou ρo est la racine positive de∑∞k=1 ρk2 = 1/2 suffit alors pourprouver la convergence dans C de ces séries et du produit infini en lequel se factorise f (x). L’objet de cette note estde généraliser la méthode au cas où f (x) est une série de Laurent convergente sur C∗ , f (x) = ∑n∈Z Anxn . Les résultatsobtenus dont les théorèmes 1, 2 et 4 et les corollaires 5 et 6, prolongent ceux de [1]. On peut voir aussi les théorèmes 1et 4 comme une généralisation de la formule du triple produit de Jacobi. Et inversement l’application à la fonction thêta deJacobi des relations explicites que nous avons obtenues fournit, compte tenu de l’unicité de la factorisation, l’identité de laproposition 7.2. Notations et terminologieOn reprend les mêmes notations que dans [1]. En particulier si H(X, Y ) = ∑(n,l)∈Z2 an,l XnY l ∈ K[[X, X−1, Y , Y −1]], X, Yindeterminées, K corps commutatif :C Xn Y l [H] = an,lOn appelera série formelle de Laurent un élément de K[[X, X−1]]. Remarquons que cette terminologie bien que cohérenteavec celle de séries de Laurent de l’analyse complexe diffère de celle parfois utilisée dans la littérature (voir par exemple [3])où une série formelle de Laurent est un élément de K((X)).3. Étude formelle3.1. Formule généralisée du triple produitThéorème 1. Soient K un corps commutatif, f (X) = ∑n∈Z An Xn telle que An ∈ K∗ etQ (X, Y ) =∑n∈ZAn XnYn(n+1)2 (1)alors on a formellement :Q (X, Y ) = A0∞∏p=0[1 + α−p(Y )X−1][1 − cp+1Y p+1][1 + αp+1(Y )X](2)où pour p ∈ Zαp(Y ) =∑q|p|up(q)Yq ∈ K[[Y ]] (3)et cp ∈ K pour p  1. Cette décomposition est unique et l’on a :uq(q) = AqAq−1pour q  1 et uq(|q|) = Aq−1Aqpour q  0 (4)Preuve résumée. On commence comme dans [1] par une identication des coefficients des puissances dans (2), ce qui donneune suite double infinie de systèmes linéaires en les up(q), qui se résolvent successivement par une double récurence. Onaboutit ainsi à :Q (X, Y ) = A0δ(Y )∏p0[1 + α−p(Y )X−1][1 + αp+1(Y )X](5)avec δ(Y ) = 1 + δ1Y + δ2Y 2 + · · · + δlY l + · · · ∈ K[[Y ]]. Ensuite on montre par récurence qu’on a de manière unique :δ(Y ) =∏p1(1 − cp Y p)  (6)La formule du triple produit de Jacobi peut s’écrire (voir par exemple [2]) :Q θ (X, Y ) =∑XnYn(n+1)2 =∞∏[1 + Y p X−1][1 − Y p+1][1 + Y p+1 X]n∈Z p=0V. Brugidou / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 349 (2011) 361–364 363On voit que c’est un cas particulier de (2) – qui est donc une généralisation de la formule de Jacobi – obtenu en prenantf θ (X) = ∑n∈Z Xn . Et l’on a donc d’après l’unicité de la factorisation :αθp(Y ) = Y |p| pour p ∈ Z et cθp = 1 pour p  1 (7)3.2. Expression explicite des αp(Y ) et δ(Y )Généralisant la définition donnée dans [1], on pose :Q 1(X, Y ) = Q (X, Y )A0Q p(X, Y ) = Ap−2Ap−1 XQ p−1(X/Y , Y ) pour p  2Q 0(X, Y ) = A0 XA−1Q 1(X, Y )Q p(X, Y ) = Ap XAp−1Q p+1(XY , Y ) pour p  −1On obtient alors en utilisant systématiquement la composition étendue de séries formelles vues en [1], les expressionsqui généralisent le cas d’une fonction entière :Théorème 2. Avec les hypothèses du théorème 1 et en supposant K de caractéristique nulle, on a :pour p  1 αp(Y ) = βp(Y ) − βp+1(Y )pour p  0 αp(Y ) = βp(Y ) − βp−1(Y )avec pour p ∈ Z, βp(Y ) = ∑q|p| v p(q)Y q, les v p(q) ∈ K étant déterminés explicitement par :pour p  1 v p(q) = C X1,Y q−p+1[Log(Q p(X, Y ))]v0(q) = C X−1,Y q[Log(Q 1(X, Y ))]pour p  −1 v p(q) = C X−1,Y q+p+1[Log(Q p+1(X, Y ))]Théorème 3. Avec les hypothèses du théorème 2, la série δ(Y ) de la formule (5) est donnée par δ(Y ) = exp[d(Y )] avec d(Y ) =∑l1 dlYl ∈ K[[Y ]], les dl étant donnés explicitement pardl = C X0Y l[Log(Q 1(X, Y ))]4. Convergence dans COn suppose dans ce paragraphe que K = C.Théorème 4. Soit une série de Laurent f (x) = ∑n∈Z Anxn à coefficients tous non nuls dans C. Soient Ω = supn∈Z |An−1 An+1/A2n| etρ0 la racine positive de∑∞k=1 ρk2 = 1/2. Pour tout complexe y tel que |y| < ρ20Ω−1 on a :f y(x) = Q (x, y) = A0 exp(d(y)) ∏p0(1 + αp(y)x−1) ∏p1(1 + αp(y)x)les produits infinis convergeant normalement sur tout compact de C∗ .Preuve résumée. On montre à partir des expressions des théorèmes 2 et 3 que les v p(q) et les dl sont des expressionspolynomiales des Ωn , on utilise alors une méthode de majorante avec Q θ (x, y) pour prouver que pour |y| < ρ20Ω−1 on a :∑p∈Z,q|p|∣∣up(q)yq∣∣ + ∑l1∣∣dl yl∣∣ < +∞ On remarque que la méthode de majorante est plus facile à appliquer ici que dans le cas des fonctions entières traitéen [1], à cause des propriétés modulaires de Q θ . Ceci tend à prouver que les séries de Laurent forment le cadre natureldans lequel s’applique notre méthode. Deux applications de ce théorème découlent alors de la relation f (x) = Q (x,1) etsont données par les corollaires suivant :364 V. Brugidou / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 349 (2011) 361–364Corollaire 5. Soit f (x) = ∑n∈Z An Xn une série formelle de Laurent à coefficients tous non nuls dans C, telle que Ω < ρ20 =0,2078 . . . où ρ0 est la racine positive de∑∞k=1 ρk2 = 1/2, alors la série converge sur C∗ et sa somme est égal à :f (x) = A0 exp(∑l1dl) ∏p0(1 + αp(1)x−1) ∏p1(1 + αp(1)x)avec αp(1) = ∑q|p| up(q) et ∑l1 dl absolument convergentes. Les zéros de f (x) sont exactement les xp = −(αp(1))−1 pour p  1et xp = −αp(1) pour p  0, pour toutes les valeurs de p ∈ Z tels que αp(1) = 0.Corollaire 6. Soit f (x) = ∑n∈Z An Xn à coefficients tous non nuls dans R, telle que Ω  ρ20 , alors f (x) converge sur C∗ et a tous seszéros réels.Remarque. Tout ce qui a été dit ci-dessus se transpose au cas d’une série∑n2n=n1 An Xn , −∞  n1  n  n2  ∞, dont tousles coefficients An sont non nuls. En particulier si n1  0 on retrouve le cas traité dans [1]. La conjecture 20 de [1] est donca fortiori vraie pour les séries de Laurent.5. Un exemple d’identité obtenue avec les calculs formels de la section 3Il existe une autre application, utilisant les calculs purement formels de la section 3, dont la fonction theta de Jacobiva nous permettre de donner un exemple. Supposons que pour une série Q (X, Y ) donnée par (1) on connaisse par unautre procédé que celui décrit dans la section 3, la factorisation en triple produit. Alors compte tenu de l’unicité de cettefactorisation (voir théorème 1) on saura directement ce que valent les αp(Y ) et cp dans (2). C’est ainsi que pour la fonctiontheta de Jacobi on a obtenu les égalités (7). Si alors on explicite avec les théorèmes 2 et 3 les v p(q) et les dl en fonctiondes coefficients An on obtiendra des identités susceptibles d’être intéressantes. Ainsi avec l’exemple de la fonction theta deJacobi on a trouvé l’identité suivante :Proposition 7. Soit σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, on aσ(n)n=∑∇n(−1)(∑i =0 ri)[(∑i =0 ri − 1)!∏i =0 ri !]ou ∇n est l’ensemble des suites d’entiers naturels (ri)i∈Z∗ presque tous nuls tels que⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩∑i =0iri = 0∑i =0i(i + 1)2ri = nRéférences[1] V. Brugidou, A new method to determine the value or the reality of zeros for certain entire functions, J. Math. Pures Appl. 94 (2010) 244–276.[2] G.H. Hardy, E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th edition, Oxford University Press, 1979.[3] P. Henrici, Applied and Computational Complex Analysis, vol. 1, John Wiley & Sons, 1974.

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