Abdelhakim Aknouche

Abdelouahab Bibi

Comptes Rendus Mathématique

C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009) 299–303ProbabilitésPropriétés probabilistes des processus GARCH périodiquesAbdelouahab Bibi a, Abdelhakim Aknouche ba Département de mathématiques, Université Mentouri, 25000 Constantine, Algeriab Faculté de Mathématiques, USTHB, Alger, AlgeriaReçu le 30 avril 2008 ; accepté après révision le 4 décembre 2008Disponible sur Internet le 14 février 2009Présenté par Paul DeheuvelsRésuméCette Note porte sur la structure probabiliste des solutions d’une équation aux différences stochastiques de type GARCH dontles paramètres sont périodiques dans le temps. Nous proposons des conditions nécessaires et suffisantes assurant l’existence desolutions stationnaires, géométriquement ergodiques (au sens périodique) et ayant des moments d’ordre supérieur finis. Pour citercet article : A. Bibi, A. Aknouche, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).© 2009 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.AbstractProbabilistic properties of periodic GARCH processes. This Note examines the probabilistic structure of a GARCH-typestochastic difference equation with periodically time-varying parameters. We propose necessary and sufficient conditions ensuringthe existence of stationary solutions, geometrically ergodic (in the periodic sense) and having finite higher-order moments. To citethis article: A. Bibi, A. Aknouche, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).© 2009 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.Abridged English versionPeriodic GARCH (PGARCH) processes introduced by Bollerslev and Ghysels [5] have proved useful and appro-priate for modeling many time series encountered in practice, which are characterized by a stochastic conditionalvariance with periodic dynamics (see Aknouche and Bibi [1] and the references therein). As for the standard GARCHmodel, the PGARCH process may be seen as a non-Gaussian white noise but whose conditional variance followsa linear periodic ARMA (PARMA) dynamics in terms of the squared process, implying a periodic structure for theunderlying process itself. In contrast with PARMA models which may be written as an equivalent vector ARMA form(Tiao and Grupe, [13]), there is no direct correspondence between the PGARCH model and the multivariate GARCHone. In fact, any PGARCH process can be written as only a weak multivariate GARCH model meaning that the studyof the PGARCH may not be trivially deduced from the existing multivariate GARCH theory and thus it constitutes auseful and interesting task.Adresses e-mail : a.bibi@umc.edu.dz (A. Bibi), aknouche_ab@yahoo.com (A. Aknouche).1631-073X/$ – see front matter © 2009 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.doi:10.1016/j.crma.2009.01.008300 A. Bibi, A. Aknouche / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009) 299–303Various statistical properties have been established for PGARCH models (see [1] and the references therein). How-ever, some probabilistic properties necessary for the inference such as strict and second-order periodic stationarity,existence of higher order moments and β-mixing remain unexplored. In this note we study such properties of a peri-odic GARCH process defined by (1).The model (1) is first written as a stochastic recurrence equation (2) with independent and periodically distributedcoefficients (i.p.d.), which in turn may be cast in a stochastic recurrence equation (3) with independent and identicallydistributed (i.i.d.) coefficients. Then, in Section 2, we give a necessary and sufficient condition for the PGARCHequation (2) to possess a non-anticipative strictly periodically stationary (s.p.s.) solution in terms of the Lyapunovexponent for i.p.d. matrices (see Théorème 2.1). A necessary condition for strict periodic stationarity is also givenby Corollaire 2.1 which reduces to Bougerol and Picard’s [7] condition for the non-periodic GARCH process. As adirect consequence, it is shown (see Théorème 2.2) that the moment of some positive order of the periodic stationarysolution is finite. This property may be exploited in order to establish strong consistency and asymptotic normalityof the quasi-maximum likelihood estimator for a PGARCH without any moment requirement (cf. Aknouche andBibi [1]). Section 2 gives necessary and sufficient conditions for the existence of non-anticipative solutions with finitesecond-order moment (see Théorème 3.1) and finite higher-order moments (cf. Théorème 3.2). In Section 4, sufficientconditions (cf. Théorème 4.1) for the stochastic recurrence equation (3) to possess a geometrically ergodic solutionare proposed. Theses conditions do not include any moment requirements.1. IntroductionLes modèles GARCH périodiques (PGARCH) introduits par Bollerslev et Ghysels [5] ont été largement étudiéscette dernière décennie grâce à leur capacité à représenter adéquatement certaines séries financières exhibant unepériodicité dans la variabilité instantanée (voir Aknouche et Bibi [1] pour une bibliographie récente). Un processus(yt )t∈Z, Z = {0,±1,±2, . . .} est dit admettre une représentation GARCH périodique d’ordres p et q et de périodeS  1, s’il est solution de l’équation aux différences stochastiques suivante :yt =√htηt et ht = ωt +q∑i=1αt,iy2t−i +p∑j=1βt,j ht−j , t ∈ Z, (1)où (ηt )t∈Z est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) définies sur un espaceprobabilisé (, A,P ), telle que E(ηt ) = 0, E(η2t ) = 1 et ηt est indépendante de yt−j pour tout j > 0. Les paramètresωt , αt,i , and βt,j sont périodiques en t de période S tels que ωt > 0, αt,i  0 et βt,j  0 pour tout i = 1, . . . , q ,j = 1, . . . , p et t ∈ Z. Diverses propriétés statistiques ont été élaborées pour ces modèles mais, en revanche, certainespropriétés probabilistes nécessaires pour l’inférence statistique, notamment la stationnarité périodique, la structured’autocovariance, l’existence des moments finis et la propriété de β-mélange restent encore inexplorées. Pourtantcontrairement au cas linéaire (cf. Tiao et Grupe [13]) où un modèle ARMA périodique (PARMA) peut être représentépar un modèle ARMA vectoriel (VARMA), il n’existe cependant pas de relation directe entre un PGARCH et un GARCHmultivarié. En fait, un processus PGARCH peut se ramener seulement à un GARCH vectoriel faible (Bollerslev et Ghy-sels, [5]). Ainsi, les propriétés probabilistes d’un PGARCH ne découlent pas trivialement à partir de la théorie GARCHmultivariée disponible et donc l’étude probabiliste des modèles PGARCH constitue un sujet d’examen. Dans cetteNote, nous proposons des conditions assurant la stationnarité périodique (stricte et au second ordre), l’existence desmoments, et l’ergodicité géométrique d’un processus PGARCH. En posant Yt = (y2t , . . . , y2t−q+1, ht , . . . , ht−p+1)′,alors le processus (y2t , ht )t∈Z admet la représentation autorégressive généralisée suivante :Yt = AtYt−1 + Bt , t ∈ Z, (2)où les coefficients (At ,Bt ), indépendants et périodiquement distribués (i.p.d.), sont donnés par Bt = (ωtη2t ,0′(q−1)×1,ωt ,0′(p−1)×1)′ etAt =⎛⎜⎜⎝αt,1η2t αt,2η2t . . . αt,q−1η2t αt,qη2t βt,1η2t βt,2η2t . . . βt,p−1η2t βt,pη2tI(q−1)×(q−1) 0(q−1)×1 0(q−1)×pαt,1 αt,2 . . . αt,q−1 αt,q βt,1 βt,2 . . . βt,p−1 βt,p0(p−1)×q I(p−1)×(p−1) 0(p−1)×1⎞⎟⎟⎠ ,(0m×n désigne la matrice nulle d’ordre m × n).A. Bibi, A. Aknouche / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009) 299–303 301Rappelons ici qu’un processus (Yt )t∈Z est dit périodiquement strictement stationnaire (p.s.s.) de période S  1 (e.g.Boyles et Gardner, [9]) si les deux vecteurs (Yt1 , Yt2, . . . , Ytn)′ et (Yt1+Sh,Yt2+Sh, . . . , Ytn+Sh)′ ont la même distributionpour tout n  1 et h, t1, . . . , tn ∈ Z. Une propriété intimement liée à la stationnarité périodique est celle d’ergodicitépériodique (cf. Boyles et Gardner, [9]). Soit T la transformation de décalage et T S = T ◦ T ◦ · · · ◦ T , S-fois, un en-semble C ⊂ RZ est dit T S -invariant si et seulement si pour toute suite x = {. . . , x−1, x0, x1, . . .} ∈ C, T Sx ∈ C. Unprocessus p.s.s. (yt )t∈Z est dit périodiquement ergodique si P({. . . , y−1, y0, y1, . . .} ∈ C) = 0 ou 1, pour tout BorélienCT S -invariant de RZ. Un exemple important de processus p.s.s. et périodiquement ergodique est celui de suites de v.a.i.p.d. Une version périodique analogue pour les processus p.s.s. du théorème ergodique des processus stationnairess’énonce comme suit : Si (Yt )t∈Z est p.s.s. et périodiquement ergodique et si f est une fonction mesurable de RZ dansR telle que E{f (. . . , Yt−1, Yt , Yt+1, . . .)} < ∞ pour tout t , alors 1n∑nt=1 f (. . . , Yv+S(t−1), Yv+St , Yv+S(t+1), . . .) →E{f (. . . , Yv−S,Yv,Yv+S, . . .)} presque sûrement (p.s.) lorsque n → ∞ pour tout v ∈ {1, . . . , S}. Par ailleurs, il estbien connu que la théorie des processus périodiquement stationnaires peut être ramenée à celle des processus station-naires au moyen d’une transformation appropriée (cf. Tiao et Grupe, [13]). Plus précisément le processus (Y n)n∈Z oùYn = (Y ′1+nS,Y ′2+nS, . . . , Y ′S+nS)′, admet une représentation autorégressive généraliséeYn = AnYn−1 + Bn, n ∈ Z (3)où (An,Bn)n∈Z est une suite i.i.d. dont les termes sont définis par blocs comme suit (An)i,j = {∏i−1v=0 AnS+i−v}I{j=S}et (Bn)i,1 = ∑ik=1{∏i−k−1v=0 Ai−v+nS}Bk+nS , i, j = 1, . . . , S. Ainsi une solution de (2) est p.s.s. et périodiquementergodique si et seulement si la solution correspondante de (3) est strictement stationnaire et ergodique. Dans la suiteon s’intéressera à l’une ou à l’autre équation en fonction de sa simplicité inhérente.2. Stationnarité périodique stricteSoit ‖ · ‖ une norme matricielle et posons log+ x = max{0, logx} pour tout x > 0. Comme E{η2t } = 1 < ∞, alorsil est clair que E(log+ ‖A0‖) et E(log+ ‖B0‖) sont finies. Par conséquent une condition nécessaire et suffisante (cf.Bougerol et Picard [6]) pour que le modèle (3) possède une unique solution strictement stationnaire, non-anticipativeet ergodique est que l’exposant de Lyapunov γ (A) := infn∈N∗ 1nE{(log‖AnAn−1 · · ·A1‖)} associé à la suite de matricei.i.d. A = (An)n∈Z est strictement négatif. D’autre part, on vérifie aisément que ∏nj=0 An−j = AnPn−1 où Pn est unematrice définie par blocs dont le (i, j)-ème bloc est donné par (Pn)i,j := {∏ni=1 ∏S−1v=0 AS−v+S(n+1−i)}I{i=s,j=s}.Comme l’exposant de Lyapunov est indépendant de la norme retenue, en choisissant une norme multiplicative, ils’ensuit que γ (A)  γ S(A) = infn∈N∗ 1nE{log‖AnSAnS−1 · · ·A1‖}. D’oùThéorème 2.1. (Stationnarité périodique stricte.) Le modèle (2) admet une solution non-anticipative et p.s.s. donnéeparYt =∞∑k=1k−1∏j=0At−jBt−k + Bt , t ∈ Z (4)si et seulement si γ S(A) < 0 où la série (4) converge p.s. pour tout t ∈ Z. De plus le processus solution est unique etpériodiquement ergodique.Remarque 2.1. Dans le cas d’un processus PGARCH(1,1), la condition γ S(A) < 0 s’écrit simplement∑Sv=1 E{log(αv + βvη20)} < 0, ce qui montre que la condition E{log(αv + βvη20)} > 0 (équivalente dans le cadreGARCH(1,1) à l’existence d’un régime explosif) est compatible avec la stationnarité stricte et ergodique.Maintenant nous donnons une condition nécessaire pour la stationnarité périodique stricte qui se réduit dans le casGARCH (non périodique, S = 1) au Corollary 2.3 de Bougerol et Picard [7].Corollaire 2.1. Si le modèle PGARCH défini par (2) admet une solution p.s.s. alors ρ(∏S−1v=0 βS−v) < 1, où βt est lasous-matrice de At définie par βt = [βt,j I{i=1} + I{i=j+1}]i,j=1,...,p .Preuve. Voir Aknouche et Bibi [1]. 302 A. Bibi, A. Aknouche / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009) 299–303Une conséquence importante de la stationnarité périodique stricte est l’existence d’un moment d’ordre positif pourle processus solution de (1). Un résultat similaire dans le cas GARCH a été montré par Nelson [12] (GARCH(1,1))et Berkes et al. ([3], Lemma 2.3) pour le cas GARCH(p, q).Théorème 2.2. Si γ S(A) < 0 alors il existe 1  δ > 0 et n0 ∈ N∗ tels que (1) : E(‖An0SAn0S−1 · · ·A1‖δ) < 1 et pourtout t , E(hδt ) < ∞ et E(y2δt ) < ∞.Preuve. Voir Aknouche et Bibi [1]. 3. Conditions d’existence des momentsLe résultat suivant donne une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation (1) admette une solution p.s.s.ayant un moment d’ordre deux fini.Théorème 3.1. Une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation (2) admette une solution périodiquementstationnaire au second ordre donnée par (4) est queρ(S−1∏v=0E(AS−v))< 1. (5)La série (4) converge alors p.s. en moyenne d’ordre 1. De plus, la solution est unique, p.s.s. et périodiquementergodique.La condition (5) entraîne γ S(A) < 0 (voir Bougerol et Picard, [7]). Examinons maintenant le problème de l’exis-tence des moments d’ordres supérieurs.Théorème 3.2. Supposons que E(η2mt ) < ∞, une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation (2) admetteune solution donnée par (4) est que ρ(∏S−1v=0 E(A⊗mS−v)) < 1 où la série (4) converge en moyenne d’ordre m. De plus,la solution est unique, p.s.s. et périodiquement ergodique.Preuve. Cf. Bibi et Aknouche [4]. 4. Ergodicité géométrique et β-mélangeLe dernier résultat de cette Note concerne l’ergodicité géométrique et la propriété de β-mélange du processus (Y t )définie par (3). Faisons les hypothèses suivantes :H1 : La loi de η1 est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue μ, de densité strictement positive.H2 : γ (S)(A) < 0.Des hypothèses similaires ne faisant appel à aucune condition sur les moments ont été considérées par Francq etZakoïan [11].Théorème 4.1. Sous H1–H2 la solution de (3) est géométriquement ergodique et est donc β-mélangeante.Preuve. La μ-irréductibilité et l’appériodicité de la chaîne (Y t ) découle directement de la condition H1 (cf. [10]).Sous H2, il existe t > 0 et δ > 0 tels que E{‖Y t‖δ} < ∞ et où‖Y t‖δ t−1∑k=0∥∥∥∥∥{k−1∏i=0At−i}Bt−k∥∥∥∥∥δ+∥∥∥∥∥{t−1∏i=0At−i}∥∥∥∥∥δ‖Y 0‖δ.Soit la fonction de Lyapunov g(Y ) := ‖Y‖δ + 1 et le compact K = {Y ∈ Rp+q : λg(Y )  αg(Y ) + 1 − b} où b =∑∞k=0 E‖{∏k−1i=0 At−i}Bt−k‖δ , α = E{‖{∏t−1i=0 At−i}‖δ} et où λ = α + (1 − α)/2. Puisque α < 1, on a λ < 1 et on aA. Bibi, A. Aknouche / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009) 299–303 303donc montré que la chaîne (Y t ) vérifie la condition de dérive E{g(Y t )|Y 0 = Y }  λg(Y ) + bIK(Y ). D’où le résultat(cf. [10], Theorem 1). Remarque 4.1. Nous parlerons des propriétés d’ergodicité géométrique et périodique de la solution Yt de (2) si lachaîne de Markov associée Y t solution de (3) possède ces mêmes propriétés.Remarque 4.2. La condition H1 peut être allégée comme c’est le cas dans Boussama [8] en supposant que la loi deη1 est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue, et sa densité est strictement positive sur un voisinagede zéro.Remarque 4.3. Bauwens et al. [2] ont établie l’ergodicité géométrique d’un modèle GARCH à changement de régimeMarkovien avec probabilités de transition variantes en fonction du passé du processus mais qui tendent à se stabiliser.Cependant, leur modèle diffère du présent cas dans lequel la chaîne de Markov définie dans (2) est à noyaux detransition périodique en fonction du temps.RemerciementsLes auteurs sont profondément reconnaissants à deux rapporteurs anonymes pour leur examen minutieux et leursremarques et suggestions fructueuses qui ont nettement amélioré la qualité de la Note.Références[1] A. Aknouche, A. Bibi, Quasi-maximum likelihood estimation of periodic GARCH and periodic ARMA-GARCH processes, J. Time Ser.Anal. 30 (1) (2009) 19–46.[2] L. Bauwens, A. Preminger, J. Rombouts, Theory and inference for Markov switching GARCH model, CORE DP 2007/55, 2007.[3] I. Berkes, L. Horvath, P. Kokoskza, GARCH processes: Structure and estimation, Bernoulli 9 (2003) 201–227.[4] A. Bibi, A. 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Zakoïan, Mixing properties of a general class of GARCH(1,1) models without moment assumptions on the observed process,Econometric Theory 22 (2006) 815–834.[12] D.B. Nelson, Stationarity and persistence in the GARCH(1,1) model, Econometric Theory 6 (1990) 318–334.[13] G.C. Tiao, M.R. Grupe, Hidden periodic autoregressive-moving average models in time series data, Biometrica 67 (1980) 365–373.

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