Dang Ho Hai Nguyen

Lionel Schwartz

Ngoc Nam Tran

Nguyen, Dang Ho Hai

Schwartz, Lionel

Tran, Ngoc Nam

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C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009) 599–602Algèbre homologique/TopologieRésolution de certains modules instables et fonction de partitionde MincNguyen Dang Ho Hai a, Lionel Schwartz a, Tran Ngoc Nam ba Université Paris 13, LAGA, UMR 7539 du CNRS, 93430 Villetaneuse, Franceb Université nationale du Vietnam, collège des sciences, Hanoi, VietnamReçu le 8 janvier 2009 ; accepté après révision le 2 avril 2009Disponible sur Internet le 28 avril 2009Présenté par Christophe SouléRésuméOn construit une résolution injective minimale, dans la catégorie U des modules instables sur l’algèbre de Steenrod, de certainsmodules instables qui sont cohomologie modulo 2 de certains spectres de Thom. Les termes de la résolution sont des produitstensoriels de modules de Brown–Gitler J (k) et de modules de Steinberg Ln introduits par S. Mitchell et S. Priddy. Un résultatcombinatoire de G. Andrews calculant la fonction de partition de Minc montre que la somme alternée des séries de Poincaré desmodules considérées est nulle. On donne des conséquences homotopiques de ce résultat. Pour citer cet article : D.H.H. Nguyen etal., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).© 2009 Publié par Elsevier Masson SAS pour l’Académie des sciences.AbstractResolutions of certain unstable modules and Minc’s partition function. One constructs minimal injective resolutions forcertain unstable modules that appear to be the mod 2 cohomology of Thom spectra. The terms of the resolution are tensor productsof Brown–Gitler modules and Steinberg modules introduced by S. Mitchell and S. Priddy. A combinatorial result of Andrewsshows that the alternating sum of the Poincaré series of the considered modules is zero. One gives homotopical applications of thisresult. To cite this article: D.H.H. Nguyen et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).© 2009 Publié par Elsevier Masson SAS pour l’Académie des sciences.1. IntroductionLa fonction de partition de Minc ν(n) est définie comme le nombre de représentations de l’entier n en sommed’entiers ci : n = c1 + · · ·+ cm avec c1 = 1, ci+1  2ci , 0  i  m− 1. On note ν(m,n) le nombre des solutions pourlesquelles cm = 0. On pose μm(q) = ∑n ν(m,n)qn. Dans [1] G. Andrews montre que :q2m−1m(q) =m∑i=0(−1)im−i (q)μi(q)Adresses e-mail : nguyen@math.univ-paris13.fr (D.H.H. Nguyen), schwartz@math.univ-paris13.fr (L. Schwartz), tran@math.univ-paris13.fr(N.N. Tran).1631-073X/$ – see front matter © 2009 Publié par Elsevier Masson SAS pour l’Académie des sciences.doi:10.1016/j.crma.2009.04.009600 D.H.H. Nguyen et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009) 599–602avecm(q) = q(2−1)+(22−1)+···+(2m−1)(1 − q2−1)(1 − q22−1) . . . (1 − q2m−1) .Soit A l’algèbre de Steenrod modulo 2 et soit U la catégorie des modules instables sur A. Les séries formelles quiapparaissent ci-dessus sont séries de Poincaré de modules instables : à droite celles de produit tensoriel de modules deSteinberg Lm−i et de Brown–Gitler J (2i − 1) qui sont des modules instables injectifs. Le terme de gauche est la sériede Poincaré d’un sous-module L′n de Ln. Ceci suggère la construction d’une résolution injective pour L′n. En fait on aThéorème 1.1. Pour tout n  1, il existe une résolution injective minimale de L′n dans U de la forme{0} → L′n → Ln → Ln−1 ⊗ J (1) → ·· · → Ln−i ⊗ J (2i − 1) → ·· · → J (2n − 1) → {0}.On se sert de cette résolution et des techniques de [6] pour calculer les groupes d’extension Exts,tA (Z/2,L′n) pourn  2. Le cas n = 1 est particulier, un résultat analogue a lieu.Proposition 1.2. Supposons n  2. Si l’on a (s, t) /∈ {(n,1−2n), (n+1,1−2n−1)}, alors les groupes Exts,tA (Z/2,L′n)sont nuls si t − s  −2n−1 − n ou si t  1 − 2n−1. Si (s, t) ∈ {(n,1 − 2n), (n + 1,1 − 2n−1)}, alors on aExts,tA (Z/2,L′n) = Z/2.Le module de Brown–Gitler J (k) [9] est caractérisé par l’équivalence naturelle des foncteurs M → HomU (M,J (k)) dans M → (Mk)∗ ; J (k) est injectif dans U .Lemme 1.3. (Voir [9].) La série de Poincaré de J (2i − 1) est égale à μi .Soit GLn := GLn(F2) le groupe linéaire sur F2. L’algèbre polynomiale graduée F2[x1, . . . , xn], |xi | = 1, est iso-morphe à la cohomologie H ∗(B(Z/2)n;F2) qui est un module instable sur l’algèbre de Steenrod A et un module surl’algèbre de groupe F2[GLn]. De plus, les deux actions commutent l’une à l’autre.L’idempotent de Steinberg [10] εn de F2[GLn] est défini par la formule εn = B̄nΣ̄n. Ici B̄n (resp. Σ̄n) désigne lasomme de tous les éléments du sous-groupe Bn des matrices triangulaires supérieures de GLn (resp. du sous-groupeΣn des matrices de permutations). Le module de Steinberg [8] est alors défini dans U par Mn := εnF2[x1, . . . , xn]. Parconstruction, Mn est facteur direct de F2[x1, . . . , xn]. D’après le théorème de Carlsson–Miller [7] c’est donc un objetinjectif dans U . Cette version de Mn n’est pas invariante par le groupe symétrique Σn mais par le groupe de Borel Bn(voir la Prop. 2.6 dans [8]).L’algèbre de Dickson D(n) est la sous-algèbre des invariants sous l’action de GLn sur F2[x1, . . . , xn], il est clairque Mn est un module sur D(n). On note ωn l’invariant de Dickson de plus haut degré (le produit de toutes les formeslinéaires non nulles en les xi , |ωn| = 2n − 1) et on pose Ln = ωnMn ; Ln est un sous-module instable de Mn.Proposition 1.4. (Voir [8,3].) Il y a un isomorphisme uniquement déterminé dans U : Mn ∼= Ln ⊕ Ln−1. De plus lasérie de Poincaré de Ln est égale à n(q).La série formelle h(q)μk(q) est donc la série de Poincaré de Lh ⊗ J (2k − 1) qui est un objet injectif indécom-posable de U [5,4]. Soit maintenant L′n = ω2nMn, c’est un sous-module instable de Mn. Dans [8] Mn est introduitcomme cohomologie du facteur stable de B(Z/2)n déterminé par l’idempotent de Steinberg εn. Soit r̃egn le fibrévectoriel réel de base B(Z/2)n associé à la représentation régulière réduite de (Z/2)n, ωn est la classe d’Euler dece fibré. Le module instable Ln (resp. L′n) s’interprète alors comme cohomologie du facteur stable, noté L(n) (resp.L′(n)), déterminé par εn, de l’espace de Thom du fibré r̃egn (resp. 2 r̃egn) [11]. On a alors le résultat suivant de type« conjecture de Segal » :Théorème 1.5. Supposons n  2. Si l’on a n + 2n−1 < k < n + 2n − 1 ou k > n + 2n − 1, alors les groupes decohomotopie stable πkS (L′(n)) sont nuls. Si l’on a k = n + 2n−1 ou k = n + 2n − 1, alors on a πkS (L′(n)) = Z/2.Remarque 1.6. La question de la réalisation topologique de la résolution du Théorème 1.1 sera étudiée ailleurs.D.H.H. Nguyen et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009) 599–602 6012. Construction de la résolutionOn note H̄ la cohomologie réduite H̄ ∗(BZ/2;F2) et πi , i  1, l’unique morphisme H̄ → J (2i ). On définit d’aborddes morphismes ds,n:Ln−s+1 ⊗ J (2s−1 − 1) → Ln−s ⊗ J (2s − 1). Pour 1  s  n, on note d̃s,n la flèche pointilléedans le diagramme suivant :H̄⊗n−s+1 ⊗ J (2s−1 − 1) εn−s⊗Idd̃s,nH̄⊗n−s ⊗ H̄ ⊗ J (2s−1 − 1)Id⊗πs−1⊗IdH̄⊗n−s ⊗ J (2s − 1) H̄⊗n−s ⊗ J (2s−1) ⊗ J (2s−1 − 1).Id⊗μIci μ : J (a) ⊗ J (b) → J (a + b) désigne la multiplication des modules de Brown–Giler. On vérifie facilement qued̃s,n envoie Ln−s+1 ⊗ J (2s−1 − 1) dans Ln−s ⊗ J (2s − 1), définissant ds,n.Proposition 2.1. ds+1,n ◦ ds,n = 0 pour 1  s  n − 1.La démonstration de cette proposition repose sur l’analyse du cas de L2. La base comme F2-espace vectorielgradué du facteur L2 donnée dans [8] est constituée par les éléments :ra,b = B̄2Sqa+1Sqb+1(x−11 x−12)avec a > 2b > 0. On obtient ra,b = xa1 xa2 (x1 + x2)a((x1 + x2)a−2b + xa−2b2 ). Il est alors aisé de vérifier :Lemme 2.2. Si a > 2b > 0 et a + b = 2i + 2i−1, l’expression de ra,b comme somme de monômes distincts ne contientpas x2i1 x2i−12 . Par conséquent, la composée L2 ↪→ H̄ ⊗ H̄πi⊗πi−1−−−−−→ J (2i ) ⊗ J (2i−1) μ→ J (2i + 2i−1) est nulle pourtout i  1.La Proposition 2.1 résulte alors de ce que ds+1,n ◦ ds,n se factorise comme suit :Ln−s+1 ⊗ J (2s−1 − 1)ε′2⊗Idds+1,n◦ds,nH̄⊗n−s−1 ⊗ L2 ⊗ J (2s−1 − 1)H̄⊗n−s−1 ⊗ H̄ ⊗ H̄ ⊗ J (2s−1 − 1)εn−s⊗πs⊗πs−1⊗IdLn−s−1 ⊗ J (2s+1 − 1) Ln−s−1 ⊗ J (2s) ⊗ J (2s−1) ⊗ J (2s−1 − 1).Id⊗μCi-dessus l’idempotent ε2 agit sur les deux dernières variables, définissant le morphisme ε′2.Le pas essentiel pour démontrer l’exactitude du complexe dans le Théorème 1.1 est donné dans la section suivante.3. Une présentation de J(2k − 1)Dans cette section on donne une description de J (2k − 1) comme quotient de l’idéal H̄⊗k = (x1 · · ·xk) dansF2[x1, . . . , xk]. On désignera par MP(i) le sous-module H̄⊗i−1 ⊗ L2 ⊗ H̄⊗k−i−1, 1  i  k − 1, et par MP(k) lesous-module H̄⊗k−1 ⊗ L′1. On considère la flèche composée suivante :gk : H̄⊗k πk−1⊗···⊗π0−−−−−−−→ J (2k−1) ⊗ · · · ⊗ J (1) μ→ J (2k − 1)où μ est l’unique application non-triviale. Par 2.2 et le fait que π0(L′1) est trivial, le noyau de gk contient la sommeMP(1) + · · · + MP(k). AlorsThéorème 3.1. L’application gk est surjective et induit un isomorphisme de modules instablesH̄⊗kMP(1) + · · · + MP(k)∼= J (2k − 1).602 D.H.H. Nguyen et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009) 599–602La difficulté essentielle est la surjectivité de gk . Comme il est facile de montrer que la dimension du module degauche, en tout degré, est inférieure ou égale à celle du module de droite, on peut conclure.La démonstration de la surjectivité procède en deux étapes. On démontre d’abord qu’il existe un morphisme sur-jectif de H⊗k vers J (2k − 1). Pour ce faire on utilise la description de Miller [7] de la somme directe J ∗∗ des J ()comme l’algèbre polynomiale F2[t̂i , i  0] : Sq1(t̂i ) = t̂2i−1 avec t̂−1 = 0 et la formule de Cartan. Ici t̂i ∈ J (2i )1 estde bidegré (1,2i ). Le module de Brown–Gitler J () est alors le sous-espace engendré par les monômes de seconddegré . On utilise aussi un théorème de Campbell et Selick [2] identifiant H⊗k comme module instable avec l’algèbrepolynomiale F2[t0, . . . , tk−1], munie d’une A-action tordue donnée par : Sq1(ti) = t2i−1, 1  i  n− 1, Sq1(t0) = t2k−1et la formule de Cartan. A nouveau ti est de bidegré (1,2i ). Campbell et Selick montrent également que H⊗k admetcomme facteur direct un sous-module que l’on note H(2k −1), qui est engendré par les monômes dont le second degréest divisible par 2k −1. On considère alors la surjection évidente qui envoie H(2k −1) sur J (2k −1). On obtient doncun épimorphisme de H⊗k sur J (2k − 1).Dans la seconde étape on considère Vk un espace vectoriel de dimension k. On montre queLemme 3.2. Le F2[End(Vk)]-module HomU (H ∗(Vk), J (2k − 1)) ∼= H2k−1(Vk) est engendré par gk .Ce lemme est dû au troisième auteur. La surjectivité de gk est alors évidente.L’ensemble de ces résultats s’étendent au cas p > 2, et seront étudiés ailleurs par le premier auteur.RemerciementsLes auteurs remercient le PICS Formath Vietnam du CNRS qui leur a permis de se rencontrer tant à Hanoi qu’àParis.Références[1] G. Andrews, The Rogers–Ramanujan reciprocal and Minc’s partition function, Pacific J. Math. 95 (1981) 251–256.[2] H.E.A. Campbell, P.S. Selick, Polynomial algebras over the Steenrod algebra, Comment. Math. Helv. 65 (1990) 171–180.[3] N.J. Kuhn, The rigidity of L(n), in: Algebraic Topology, Seattle, Wash., 1985, in: Lecture Notes in Math., vol. 1286, Springer, Berlin, 1987,pp. 286–292.[4] J. Lannes, L. Schwartz, Sur la structure des A-modules instables injectifs, Topology 28 (1989) 153–169.[5] J. Lannes, S. Zarati, Sur les U -injectifs, Ann. Sci. École Norm. Sup. 19 (1986) 1–31.[6] J. Lannes, S. Zarati, Sur les foncteurs dérivés de la déstabilisation, Math. Z. 194 (1986) 25–59.[7] H.R. Miller, The Sullivan conjecture on maps from classifying spaces, Ann. of Math. 120 (1984) 39–87.[8] S.A. Mitchell, S.B. Priddy, Stable splittings derived from the Steinberg module, Topology 22 (1983) 253–298.[9] L. Schwartz, Unstable Modules Over the Steenrod Algebra and Sullivan’s Fixed Point Set Conjecture, in: Chicago Lectures in Math., 1994.[10] R. Steinberg, Prime power representations of finite linear groups II, Canad. J. Math. 18 (1956) 580–591.[11] S. Takayasu, On stable summands of Thom spectra of B(Z/2)n associated to Steinberg modules, J. Math. Kyoto Univ. 39 (2) (1999) 377–398.

Résolution de certains modules instables et fonction de partition de Minc

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