Arnaud Münch

Münch, Arnaud

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1/rences finisrierparamètresofcenteredham’seellnstantWeC. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 339 (2004) 733–738http://france.elsevier.com/direct/CRASSAnalyse numériqueFamille de schémas implicites uniformément contrôlablespour l’équation des ondes 1-DArnaud MünchDepartamento de Matemáticas, Universidad Autónoma de Madrid, Campus de Cantoblanco, 28049 Madrid, EspagneReçu le 4 juin 2004 ; accepté le 21 septembre 2004Présenté par Olivier PironneauRésuméDans le cadre de la contrôlabilité exacte, on présente dans cette Note une famille paramétrée de schémas aux difféde l’équation des ondes 1-D. Ces schémas diffèrent des schémas centrés usuels par l’ajout de termes d’ordreh2, h désignantle pas de la discrétisation en espace. En s’appuyant sur une version di crète de l’inégalité d’Ingham pour les séries de Founon harmoniques, sur les propriétés spectrales et sur les diagrammes de dispersion des schémas, on détermine lesassurant une propriété de contrôlabilité discrète uniforme enh et pour lesquels la condition de stabilité CFL est optimale.Pourciter cet article : A. Münch, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 339 (2004). 2004 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.AbstractFamily of implicit schemes uniformly controllable for the 1-D wave equation. We present a parameterized familyfinite difference schemes for the exact controllability of the 1-D wave equation. These schemes differ from the usualones by additional terms of order toh2, whereh denotes the discretization step in space. Using a discrete version of Inginequality for nonharmonic Fourier series, the spectral properties and dispersion diagrams of the schemes, we determine thparameters leading to a uniform controllability property with respect toh and an optimal stability CFL condition.To cite thisarticle: A. Münch, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 339 (2004). 2004 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.Abridged English versionIn the context of the boundary controllability problem of the 1-D wave equation the following result is wknown [9]: let beT  2 and(y0, y1) ∈ L2(0,1) × H−1(0,1), there exists a controlv ∈ L2(0,1) such that thesolutiony of the system (1) satisfies (2). This controllability property is equivalent to the existence of a coC(T ) > 0 such that the observability inequality (3) holds,u being the solution of the conservative system (4).Adresse e-mail :arnaud.munch@uam.es (A. Münch).1631-073X/$ – see front matter 2004 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.doi:10.1016/j.crma.2004.09.037734 A. Münch / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 339 (2004) 733–738emelyrmn [3].ena andcher ofavet thee usualam [4],dd onlythtotant-address in this Note the numerical approximation of this problem which is by now well-known to be extrsensitive: for instance, the classical centered finitediff rence semi-discrete approximation in space(S0h) (see (5))of (4) leads to a semi-discrete observability equality similar to (3) where the constantCh(T ) depending now onthe mesh sizeh blows-up ash goes to zero for allT > 0. Therefore, the observability inequality is not unifowith respect toh leading to a bad behavior of the control of the finite difference semi-discrete approximatioThis is due to the fact that the interaction of waves with a numerical mesh produces dispersion phenomspurious high frequency oscillations. Because of this nonphysical interaction the velocity of propagation of sunumerical waves, the so calledgroup velocitymay converge to zero when the wavelength of solutions is of ordthe mesh sizeh leading to the time of controllability of order 1/h. During the last decade, various remedies hbeen introduced (see [1,3,9] and the references therein). All of them require, in a way or another to filter ouhigh frequency spurious oscillations.In this Note, we present a simple technique that ensure uniform controllability based on the addition to thcentered scheme of corrector terms of orderh2. We first introduce a semi-discrete finite scheme(Sθh ) parameterizedby θ ∈ [0,1/4] for which a uniform inequality observability holds provided thatθ ∈ [θh,1/4], θh being definedby (9) (see Theorem 2.1). According to a theoretical result on nonharmonic Fourier series due to Inghthis uniform observability is related to a uniform spectral gap property (see (12)) with respect toh of the spectrumassociated to(Sθh). In a second part of the Note, we introduce an additional parameterα  0 and a fully discrete animplicit scheme (in space and in time)(Sθ,αh,t ). t denotes the discretization step in time. In the caseθ = α = 0,(S0,0h,t ) corresponds to the usual centered finite difference scheme which is uniformly controllable if anif t = h [7]. Using a discrete Ingham inequality [8] it appears that the uniform observability inequality wirespect toh and tot depends of the value ofα and θ . In the caseθ,α ∈ [0,1/4), the uniform observability(20) holds provided thatT is large enough andt/h = √(1− 4θ)/(1− 4α) (Theorem 3.2). This permits usobtain uniformly controllable and convergent schemes in the two casest < h andt > h. In the caset < h, theimplicit schemes(S1/12,αh,t ), α < 1/12, of order 4 in space and 2 in time, uniformly controllable forT  2 appearoptimal. Conversely, in the caset > h, the implicit schemes(Sθ,1/12h,t ), θ < 1/12, of order 4 in time and 2 inspace, uniformly controllable forT  2(t/h)2 appear optimal. Forθ ∈ [0,1/4), α = 1/4 or θ  0, α > 1/4, theuniform observability inequality does not hold (Theorem 3.4).1. IntroductionLa propriété de contrôlabilité frontière exacte de l’équation des ondes 1-D suivante est bien connue [9] : édonnés un tempsT  2 et (y0, y1) ∈ L2(0,1) × H−1(0,1), il existe un contrôlev ∈ L2(0,1) tel que l’uniquesolutiony du système (en notanty ′ ≡ ∂y∂t),y ′′ − yxx = 0, 0< x < 1, 0< t < T,y(0, t) = 0, y(1, t) = v(t), 0< t < T,y(x,0) = y0(x), y ′(x,0) = y1(x), 0< x < 1,(1)satisfasse :y(x,T ) = y ′(x, T ) = 0, ∀0 < x < 1. (2)Cette propriété est équivalente à l’obtention de l’existence d’une constanteC(T ) > 0 telle que l’inégalité d’observabilité,E(0)  C(T )T∫ ∣∣ux(1, t)∣∣2 dt, avecE(t) ≡ 121∫ [∣∣ux(x, t)∣∣2 + ∣∣u′(x, t)∣∣2]dx ∀0  t < T , (3)0 0A. Münch / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 339 (2004) 733–738 735choix duet dee desconvergeront étéfréquencesoit satisfaite, quelque soitu solution du système conservatif (c.a.d.,E(t) = E(0) pour toutt ∈ [0, T ]) :utt − uxx = 0, 0 < x < 1, 0 < t < T,u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 < t < T,u(x,0) = u0(x), u′(x,0) = u1(x), 0 < x < 1.(4)L’approximation numérique de ce problème, que nous abordons dans cette Note, est très sensible auxschéma d’approximation du système (4) mais également à la régularité des données initiales(u0, u1) [6,9]. Ainsi, leschéma aux différences finies semi-discret, centré en espace(S0h), conduit à une inégalité d’observabilité analoguà (3) mais où la constanteCh(T ) dépendant du pash diverge lorsqueh tend vers zéro quelque soitT > 0. Il enrésulte que la propriété d’observabilité n’est pas uniforme vis-à-vis deh conduisant à un mauvais comportemenl’approximationvh du contrôlev issue de la méthode HUM [3]. Cela est dû au fait que l’approximation génèrondes numériques haute fréquence, inexistantes au niveau continu et dont la vitesse de propagation peutvers zéro lorsque le pas du maillageh converge vers zéro. Ces dix dernières années, plusieurs remèdesproposés (voir [9] et ses réferences), tous basés, de près ou de loin, sur un filtrage des composantes hautede la solution.2. Une famille de schémas semi-discret uniformément contrôlables en hOn considère la famille de semi-discrétisation numérique suivante du système (4), paramétrée parθ ∈ [0,1/4] :(Sθh)θu′′j+1(t) + (1− 2θ)u′′j (t) + θu′′j−1(t) = huj (t), j = 1, . . . , J, 0< t < T,u0(t) = uJ+1(t) = 0, 0< t < T,uj (0) = uj,0, u′j (0) = uj,1, j = 0, . . . , J + 1,(5)oùuj (t) désigne l’approximation deu au pointxj = jh, j = 0, . . . , J + 1, eth le pas du maillage tel queh = 1/(J + 1) et huj (t) =(uj+1(t) − 2uj(t) + uj−1(t))/h2, j = 1, . . . , J. (6)Remarque 1. Le schéma(Sθh ) s’écrit également sous la forme :(1+ θh2h)u′′j (t) = huj (t), j = 1, . . . , J, 0< t < T . (7)L’énergie semi-discrète associée au schéma :(Sθh) estEθh(t) =h2J∑j=0[u′j (t)2 − θ(u′j+1(t) − u′j (t))2 +(uj+1(t) − uj (t)h)2], 0  t  T , (8)et elle est constante :Eθh(t) = Eθh(0), pour toutt ∈ [0, T ].Introduisons maintenant le paramètre suivant :θh ≡(1− (3πh/4)2/3)/4∈ (0,1/4], h  1. (9)Théorème 2.1. Pour toutT  2 et θ ∈ [θh,1/4], il existe une constanteC > 0, indépendante deh, telle queEθh(0)  C(θ,T )T∫0(∣∣∣∣uJ (t)h∣∣∣∣2+ θh2∣∣∣∣u′J (t)h∣∣∣∣2)dt . (10)736 A. Münch / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 339 (2004) 733–738ésultat,é unifor-aeCette inégalité d’observabilité uniforme enh, qui assure la contrôlabilitéuniforme du schéma (5) pour 1/4 θ > θh est liée à un résultat sur les séries de Fourier non harmoniques dû à Ingham [4]. Afin d’utiliser ce ron introduit lesJ valeurs propres 0< λθ1 < · · · < λθJ du problème−hwk = λ(1+ θh2h) ·wk, pourk = 1, . . . , Jetw0 = wJ+1 = 0 associé à(Sθh ) :λθk =4h2sin2(kπh/2)1− 4θ sin2(kπh/2) , k = 1, . . . , J, ∀θ ∈ [0,1/4]. (11)Proposition 2.2. Pour toutθ ∈ [θh,1/4], on a:√λθk −√λθk−1  π + O(h), ∀k ∈ [2, J ]. (12)Il résulte de l’inégalité (12) que l’écart entre les racines de deux valeurs propres consécutives est minormément enh, assurant, d’après [4] (voir [1] pour le casθ = 1/4) l’inégalité (10). Il résulte de (10) que le schémsemi-discret (5) est uniformément contrôlable enh pourθ ∈ [θh,1/4] : le contrôle(vh)h>0 de ce schéma convergfortement dansL2(0, T ) vers le contrôlev du problème continu (1) lorsqueh tends vers zéro.3. Une famille de schémas discrets uniformément contrôlables en h et en tSoitα  0. Considérons le schéma aux différenc s finis en temps et en espace suivant :(Sθ,αh,t )(1+ θh2h)tunj = h(αun+1j + (1− 2α)unj + αun−1j ), j = 1, . . . , J, n = 0, . . . ,N,un0 = unJ+1 = 0, n = 0, . . . ,N,u0j = uj,0, (u1j − u−1j )/2/t = uj,1, j = 0, . . . , J + 1,(13)oùunj désigne l’approximation deu au pointxj et au tempsnt ett le pas de temps tel quet = 1/(N + 1) et tun = (un+1 − 2un + un−1)/t2, n = 0, . . . ,N. (14)Remarque 2. Le schéma(Sθ,αh,t ) s’écrit sous la forme synthétique suivante :(1+ θh2h)tunj = (1+ αt2t)hunj , j = 1, . . . , J, n = 0, . . . ,N. (15)Il en résulte puisquet(hunj ) = h(t unj ) que(Sθ,αh,t ) = (Sθν ,0h,t ) avecθν ≡ θ − αν2 et ν = t/h.– Le schéma(Sθ,0h,t ) correspond à la discrétisation usuelle, centrée en temps, du schéma(Sθh ).– Le schéma(S0,αh,t ) est un schéma aux différences finis de type Newmark [2].L’énergie discrèteEθ,αn , n = 0, . . . ,N , associée au schéma (13), est :Eθ,αn =h2J∑j=0[(un+1j − unjt)2−θν[(un+1j+1 − unj+1t)−(un+1j − unjt)]2+(un+1j+1 − un+1jh)(unj+1 − unjh)](16)et est constante :Eθ,αn = Eθ,α0 , ∀n = 0, . . . ,N .A. Münch / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 339 (2004) 733–738 7370).sProposition 3.1. Le schéma(Sθ,αh,t ) est stable si et seulement si:sin2(jπh/2)(ν2(1− 4α) + 4θ)  1, ∀j ∈ [1, J ]. (17)– La consistance du schéma(Sθ,αh,t ) est de l’ordre de:(θ − 1/12)O(h2) + (α − 1/12)O(t2) + O(h4) + O(t4) + O(h2t2), ∀θ,α  0. (18)Dans le casα = θ = 0 eth = t , cet ordre de consistance est arbitrairement grand.Il résulte de (17) :– si α, θ ∈ [0,1/4), alors(Sθ,αh,t ) est stable siν √(1− 4θ)/(1− 4α) ;– si θ = 1/4 etα ∈ [0,1/4), alors(Sθ,αh,t ) est stable siν  (π/2)2/√1− 4α h ;– si θ > 1/4 etα ∈ [0,1/4], alors(Sθ,αh,t ) est instable quelque soitν ;– si θ ∈ [0,1/4] etα  1/4, alors(Sθ,αh,t ) est stable quelque soitν ;– si θ,α > 1/4, alors(Sθ,αh,t ) est stable siν √(1− 4θ)/(1− 4α).A l’image du cas semi-discret, les propriétés d’observabilité sont liées auxJ valeurs propres 0< λθ,α1 < · · · <λθ,αJ associées au schéma(Sθ,αh,t ), pour toutθ,α vérifiant (17) :λθ,αj =[2tarcsin(ν sin(jπh/2)√1− 4(θ − αν2)sin2(jπh/2))]2, ∀j = 1, . . . , J. (19)Théorème 3.2. Soientα, θ ∈ [0,1/4) et ν = √(1− 4θ)/(1− 4α). Pour tout T  2 max(1, ν2), il existe uneconstanteC > 0 indépendante deh ett telle que l’inégalité d’observabilité discrète ait lieu:Eθ,α0  CtN∑n=0(∣∣∣∣unJh∣∣∣∣2+ θνh2∣∣∣∣un+1J − unJht∣∣∣∣2). (20)– Le même résultat a lieu lorsqueθ = α = 1/4 avecν quelconque et lorsqueθ = 1/4, α ∈ [0,1/4) avecν =(π/2)2/√1− 4α h.A nouveau, ce type de résultat repose sur une propriété d’écart uniforme sur le spectre.Proposition 3.3. Si α, θ ∈ [0,1/4), θ = α = 1/4 ou θ = 1/4, α ∈ [0,1/4) et ν vérifiant (17), alors les valeurspropresλθ,αj vérifient les relations:√λθ,αj −√λθ,αj−1  π min(1, ν−2) + O(h2), ∀j = 2, . . . , J,∣∣√λθ,αk −√λθ,αl∣∣  2πt−1 + O(1), ∀k, l = 1, . . . , J.(21)Le résultat de [8] donnant une version discrète de l’inégalité d’Ingham permet alors d’obtenir le résultat (2Ce résultat implique la contrôlabilité uniforme vis-à-vis deh t donc det du schéma(Sθ,αh,t ).En revanche, pour les autres cas (θ ∈ [0,1/4), α = 1/4 ouθ  0, α > 1/4), le schéma(Sθ,αh,t ) ne possède pade cette propriété, on a le :738 A. Münch / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 339 (2004) 733–738ltatisa-é-ledeent’obte-du Pr.eiral.,3280..es/Théorème 3.4. Si θ ∈ [0,1/4), α = 1/4 ou θ  0 etα > 1/4, alorslimh→0 supu solution de(13)Eθ,α0t∑Nn=0(|unJ /h|2 + θνh2|(un+1J − unJ )/(ht)|2)= +∞. (22)Cela résultant du fait, que dans ces deux cas, on a la :Proposition 3.5. Si θ ∈ [0,1/4), α = 1/4 ou θ  0 etα > 1/4, alors√λθ,αJ −√λθ,αJ−1 = O(h). (23)Remarque 3.– En prenantα = θ = 0 (menant àθν = 0) ett = h (soit ν = 1) dans le Théorème 3.2, on retrouve le résude contrôlabilité uniforme avecT  2 pour le schéma explicite aux différences finies usuel(S0,0h,t ) [7].– Le Théorème 3.2 montre que l’on peut obtenir l’observabilité uniforme pour des valeurs du pas de discréttion en temps différente du pas de discrétisation en espace. Lorsque l’on prendt > h (soit ν > 1), il sembleintéressant de considérer le schéma(S1/4,1/4h,t ) implicite, d’ordre 2 en temps eten espace, stable et uniformment contrôlable pour toutT  2ν2 > 2. Un second choix, numériquementplus efficace, est de considérerschéma(Sθ,1/12h,t ) avecθ < 1/12 etν =√(1− 4θ)/(1− 1/3), d’ordre 4 en temps et 2 en espace (en vertu(18)), uniformément contrôlable pourT  2ν2 > 2.– A l’inverse, lorsque l’on prendt < h (soit ν < 1), il semble intéressant de considérer le schéma(S1/12,αh,t )implicite, avecα < 1/12 etν = √(1− 1/3)/(1− 4α) , d’ordre 4 en espace, 2 en temps, stable et uniformémcontrôlable pourT  2.– En vertu des réécritures (7) et (15), le schéma(Sθ,αh,t ) diffère du schéma centré usuel(S0,0h,t ) par l’ajout determes proportionnels àh2 et àt2. Selon le Théorème 3.2, ces termes supplémentaires permettent dnir l’observabilité uniforme. Cet aspect est en bon accord avec la technique proposée dans [3],utilisant unerégularisation de Tychonov, mais également avec [5].RemerciementsCe travail a été réalisé au cours d’un séjour à l’“Universidad Autonoma de Madrid” dans le groupeEnrique Zuazua et supporté par le programme de recherche européenNew materials, adaptive systems and thnonlinearities : modelling, control and numerical simulations(HPRN-CT-2002-00284).Références[1] C. Castro, S. Micu, Boundary controllability of a semi-discrete linear1-D wave equation with mixed finite elements, SIAM J. Numer. Ansubmitted for publication.[2] G.C. Cohen, Higher-Order NumericalMethods for Transcient Wave Equations, Scientific Computation, Springer, 2002.[3] R. Glowinski, C. Li, J.L. Lions, A numerical approach to the exact boundary controllability of the wave equation, Japan. J. Appl. Math.(1990) 1–76.[4] A.E. Ingham, Some trigonometrical inequalities with applications to the theory of series, Math. Z. 41 (1936) 367–369.[5] S. 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Famille de schémas implicites uniformément contrôlables pour l'équation des ondes 1-D

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