Dan Volok

Daniel Alpay

Michael Shapiro

Alpay, Daniel

Shapiro, Michael

Volok, Dan

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fonctions.ilbert deolligationsicoperatorfunctionucingC. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338 (2004) 437–442Analyse mathématiqueEspaces de Branges Rovnyak et fonctions de Schur :le cas hyper-analytiqueDaniel Alpaya, Michael Shapirob, Dan Volokaa Department of Mathematics, Ben-Gurion University of the Negev, Beer-Sheva 84105, Israëlb Departamento de Matemáticas, Escuela Superior de Física y Mathemáticas, Instituto Politécnico Nacional, 07300 México, D.F., MexiqueReçu et accepté le 13 janvier 2004Présenté par Jean-Pierre KahaneRésuméNous étendons au cas hyper-analytique la notion de fonction de Schur et la théorie de la réalisation pour de tellesNous introduisons la notion de fonction caractéristique pour les colligations coisométriques entre espaces de Hfonctions hyper-analytiques. Nous caractérisons les fonctions de Schur comme les fonctions caractéristiques des ccoisométriques.Pour citer cet article : D. Alpay et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338 (2004). 2004 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.Abstractde Branges Rovnyak spaces and Schur functions: the hyperholomorphic case.We extend to the hyperholomorphcase the notion of Schur functions and the corresponding realization theory. We introduce the notion of characteristicfunction for coisometric colligations between Hilbert spaces of hyperholomorphic functions. We show that every Schuris the characteristic operator function of a coisometric colligation and vice-versa.To cite this article: D. Alpay et al., C. R. Acad.Sci. Paris, Ser. I 338 (2004). 2004 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.Abridged English versionSchur functions (that is, functions analytic and contractive in the open unit diskD) play an importantrole in operator theory and related topics; see [1] for a review. For such a functions, the kernelks(z,w) =(1− s(z)s(w)∗)/(1− zw ) is positive inD. In [5] de Branges and Rovnyak studied the associated reprodkernel Hilbert space (denoted byH(s)). The spaceH(s) is contractively included in the Hardy spaceH2 and is thestate space for a coisometric realization ofs, that is,s(z)=H + zG(I − zT )−1F whereG is the point evaluationat the origin,H = s(0),Tf =R0f, H(s) →H(s) and Fx = s(z)− s(0)zx, C →H(s),Adresses e-mail : dany@math.bgu.ac.il (D. Alpay), shapiro@esfm.ipn.mx (M. Shapiro), volok@math.bgu.ac.il (D. Volok).1631-073X/$ – see front matter 2004 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.doi:10.1016/j.crma.2004.01.013438 D. Alpay et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338 (2004) 437–442lexof thesee settingernelnns withen oneiousltiplierst spaces.oyaue decy–Lese plus lal’espaceand the operator matrix (also calledcolligation)(T FG H)is coisometric. When leaving the setting of one compvariable there are numerous counterparts of de Branges Rovnyak spaces. See [1] for the definitionspaces in the setting of compact Riemann surfaces and upper triangular operators respectively. In thof the unit ballBN of CN , Schur functions (also called Schur multipliers) are functions such that the k(1− s(z)s(w)∗)(1− 〈z,w〉) is positive inBN . Note that it can be rewritten as1− s(z)s(w)∗1− 〈z,w〉 =∑ν∈NN|ν|!ν! zν(1− s(z)s(w)∗)wν, (1)where we used the multi-index notation. WhenN > 1, the kernel 11−〈z,w〉 is the reproducing kernel of the Arvesospace (see [4]), which is included strictly and contractively in the Hardy space of the ball. The connectiothe Beurling–Lax theorem and realization theory were explained in [2]. Another direction of research is whreplacesC by the skew field of quaternionsH. The counterpart of the Arveson space was given in our prevnote [3]. In the present Note (where we use the notation and definitions of [3]) we study the contractive muof the quaternionic Arveson space in terms of realizations and the corresponding reproducing kernel Hilber1. Espace d’Arveson et fonctions de Schur hyper-analytiquesNous noteronsx = x0 + x1e1 + x2e2 + x3e3 un élément deH (avec x0, x1, x2, x3 ∈ R). Voir [3]. Soientζ1(x), ζ2(x) et ζ3(x) les variables hyper-analytiques (voir [3, §1]). On a∣∣ζ1(x)∣∣2 + ∣∣ζ2(x)∣∣2 + ∣∣ζ3(x)∣∣2 = 3x20 + x21 + x22 + x23.Nous avons montré (voir [3] ; le symbole dénote le produit de Cauchy–Kovalevskaya par la gauche) que le nky(x)=(1− ζ1(x)ζ1(y)− ζ2(x)ζ2(y)− ζ3(x)ζ3(y))− = ∑ν∈N3|ν|!ν! ζν(x)ζ ν(y)est positif dans l’ellipsoïdeΩ = {x ∈ H | 3x20 + x21 + x22 + x23 < 1}.Comme dans [3] nous dénotons parζ ν (ν ∈ N3) les polynômes de Fueter. L’espace d’Arveson est l’espacHilbert quaternionique à noyau reproduisant correspondant. Nous le dénoteronsA. Notons la différence avel’espace de Hardy quaternionique, qui est l’espace à noyau reproduisant de noyau(1− xy)/|1− xy|4 et dontles éléments sont des fonctions hyper-analytiques dans la boule unité deR4 (voir [6, p. 198]).Une fonction de Schur est une fonctions : Ω → H telle que l’opérateur de multiplication de CauchKovalevskaya par la gauche :f → Msf = s  f est une contraction de l’espace d’Arveson dans lui-même.fonctions de Schur sont hyper-analytiques puisque les constantes appartiennent à l’espace d’Arveson. Dformule(M∗s ky)(x)=∑ν∈N3|ν|!ν! ζν(x)(s  ζ ν)(y)permet de montrer ques est une fonction de Schur si et seulement si le noyauks(x, y)=((I −MsM∗s )ky)(x)=∑ν∈N3|ν|!ν!(ζ ν(x)ζ ν(y)− (s  ζ ν)(x)(s  ζ ν)(y) ) (2)est positif dansΩ . On reconnaît l’analogue de (1).Définition 1.1.Soits une fonction de Schur hyper-analytique. L’espace de de Branges Rovnyak associé estde Hilbert quaternionique à droite à noyau reproduisant de noyau (2). On le noteH(s).D. Alpay et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338 (2004) 437–442 439desairess2. Réalisation d’une fonction de Schur hyper-analytiqueD’abord quelques notations et définitions. Étant donnésA1,A2, . . . ,An des opérateurs linéaires d’un espaceHilbert quaternioniqueH dans lui-même, on appelle produit symétrique l’opérateurA1 ×A2 × · · · ×An = 1n!∑σ∈SnAσ(1)Aσ(2) · · ·Aσ(n),Sn étant le groupe de permutations de{1, . . . , n}.Théorème 2.1.Soit s une fonction de Schur hyper-analytique. Il existe une matrice d’opérateursV =T1 F1T2 F2T3 F3G H :(H(s)H)→(H(s)3H)(3)qui est coisométrique et telle que pour chaque f ∈ H(s) et q ∈ H :( 3∑k=1ζk  (Tkf ))(x)= f (x)− f (0) ; (4)( 3∑k=1ζk  (Fkq))(x)= (s(x)− s(0))q ; (5)Gf = f (0) ; (6)Hq = s(0)q. (7)SoitT ν = T ×ν11 × T ×ν22 × T ×ν33 . (8)La fonction s(x) admet la représentation :s(x)q =Hq +3∑k=1∑ν∈N3|ν|!ν!(ζk  ζ ν)(x)GT νFkq, x ∈Ω, q ∈ H. (9)Nous remarquons que (4) exprime le fait que le problème de Gleason est résoluble dansH(s).Démonstration du Théorème 2.1.Nous dénotons parH(s)3 la fermeture dansH(s)3 des combinaisons linéairedes éléments de la formewy = (I −MsM∗s )M∗ζ1ky(I −MsM∗s )M∗ζ2ky(I −MsM∗s )M∗ζ3ky , y ∈Ω.Les formules(Ĝq)(x)= ks(x,0)q, Ĥq = s(0)q et(T̂ wyq)(x)=(ks(x, y)− ks(x,0))q, F̂wyq =(s(y)− s(0) )q,permettent de définir une relation̂V = ( T̂ ĜF̂ Ĥ)dont le domaine de définition consiste en les combinaisons linéà droite des éléments de la forme(wyq1q)et est donc dense. Nous montrons queV̂ est isométrique. Cela nou2440 D. Alpay et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338 (2004) 437–442t donct puisquepermettra d’affirmer quêV définit en fait une matrice d’opérateurs et non seulement une relation. Soienx, y ∈Ω etp,q,u, v ∈ H. Nous avons :〈V̂(wyqu), V̂(wxpv)〉H(s)⊕H= 〈T̂ wyq + Ĝu, T̂ wxp+ Ĝv〉H(s) + (F̂wxp+ Ĥ v)(F̂wyq + Ĥu)= 〈ks(·, y)q − ks(·,0)(q − u), ks(·, x)p− ks(·,0)(p− v)〉H(s)+ (p̄s(x)− (p̄− v̄)s(0))(s(y)q − s(0)(q − u))= p̄(ks(x, y)+ s(x)s(y)− 1)q + v̄u.Définissant l’opérateurCf = f (0) d’évaluation à l’origine, on a l’identité dans l’espace d’ArvesonAI −3∑k=1MζkM∗ζk= C∗C.Utilisant le fait queMs andMζk commutent, le dernier terme devient :p̄(ks(x, y)+ s(x)s(y)− 1)q + v̄u= 〈(I −MsM∗s )kyq, kxp〉H(k) + p̄( (CM∗s kx)(CM∗s ky)− (Ckx)(Cky))q + v̄u= 〈(I −C∗C)kyq, kxp〉A − 〈(I −C∗C)M∗s kyq,M∗s kxp〉A + v̄u=〈wyq,M∗ζ1M∗ζ2M∗ζ3 kxp〉A3+ v̄u=〈(wyqu),(wxpv)〉H(s)3⊕H.V̂ est donc une isométrie sur son domaine. Ce dernier étant dense, on peut étendreV̂ à une isométrie deH(s)3 ⊕ H dansH(s)⊕ H. Soit (3) son adjoint. On a :3∑$=1(ζ$  (T$f ))(x)=3∑$=1〈ζ$  (T$f ), kx〉H(k) =3∑$=1〈T$,M∗ζ$kx〉H(k)= 〈Tf,wx〉H(s)3 =〈f, ks(·, x)− ks(·,0)〉H(s) = f (x)− f (0),et nous obtenons donc (4). On vérifie de manière similaire (5)–(7).Finalement nous remarquons que (4)–(7) impliquent que :s(x)q = s(0)q + (s(x)− s(0))q =Hq + 3∑k=1(ζk  (Fkq))(x)=Hq +3∑k=1ζk(x)(Fkq)(0)+3∑k=1(ζk (Fkq − (Fkq)(0)))(x)=Hq +3∑k=1ζk(x)GFkq +3∑k=1(ζk 3∑$=1ζ$  T$Fkq)(x).En réitérant ce procédé nous obtenons la représentation (9). Cette série converge normalemen( T1 T2 T3 )t est une contraction (t désigne le transposé du vecteur d’opérateurs).D. Alpay et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338 (2004) 437–442 441urs3. Fonction caractéristique d’une colligationÉtant donné un espace de Hilbert quaternionique à droiteH, on appelle colligation toute matrice d’opérateV :(HH) → (H3H)de la forme (3). Le Théorème 2.1 suggère la définition suivante (rappelons queT ν est définipar (8)) :Définition 3.1.La fonction caractéristique de la colligationV est la fonction hyper-analytique à gauchesV (x)=H +3∑k=1∑ν∈N3|ν|!ν!(ζk  ζ ν)(x)GT νFk.LorsqueTk,Fk,G,H sont des matrices constantes dont les éléments appartiennent àH (dans ce casH est aussi unespace quaternionique à gauche), on asV (x)=H +G (I − ζ1T1 − ζ2T2 − ζ3T3)−  (ζ1F1 + ζ2F2 + ζ3F3),et sV est rationnelle.Théorème 3.2.La fonction caractéristique d’une colligation coisométrique est une fonction de Schur.Démonstration. Introduisons les fonctionsAµ(x) :H3 → H etBµ(x),C(x) :H → H, données parAµ(x)=∑ν∈N3|ν|!ν!((ζµ+ν  ζ1)(x)GT ν(ζµ+ν  ζ2)(x)GT ν(ζµ+ν  ζ3)(x)GT ν),Bµ(x)=∑ν∈N3|ν|!ν! ζµ+ν(x)GT ν, C(x)=∑ν∈N3|ν|!ν! ζν(x)GT ν.Nous avonsAµ(x)Aµ(y)∗ + ζµ(x)ζµ(y)= (Aµ(x) ζµ(x))V V ∗(Aµ(y) ζµ(y))∗= (Bµ(x) (ζµ  sV )(x))(Bµ(y) (ζµ  sV )(y))∗= Bµ(x)Bµ(y)∗ +(ζµ  sV)(x)(ζµ  sV)(y).Il vient doncKsV (x, y)=∑µ∈N3|µ|!µ!(ζµ(x)ζµ(y)− (ζµ  sV )(x)(ζµ  sV )(y))=∑µ∈N3|µ|!µ!(Bµ(x)Bµ(y)∗ −Aµ(x)Aµ(y)∗).Par ailleurs on a pour tout choix deν etη dansN3 :∑µ∈N3|µ|!µ!3∑n=1(ζµ+ν  ζn)(x)GT ν(T η)∗G∗(ζµ+η  ζn)(y)=3∑n=1∑µ:µn>0µn|µ||µ|!µ! ζµ+ν(x)GT ν(T η)∗G∗ζµ+η(y)=∑|µ|>0ζµ+ν(x)GT ν(T η)∗G∗ζµ+η(y),et doncKsV (x, y)= C(x)C(y)∗ est positive etsV est une fonction de Schur hyper-analytique.442 D. Alpay et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338 (2004) 437–442Soc. Math.334 (5)th. Acad..Références[1] D. Alpay, Algorithme de Schur, espaces à noyau reproduisant et théorie des systèmes, in : Panoramas et Synthèses, vol. 6,France, Paris, 1998.[2] D. Alpay, A. Dijksma, J. Rovnyak, Un théorème de type Beurling–Lax dans la boule unité, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Ser. I(2002) 349–354.[3] D. Alpay, B. Schneider, M. Shapiro, D. Volok, Fonctions rationnelles et théorie de la réalisation : le cas hyper-analytique, C. R. MaSci. Paris, Ser. I 336 (2003) 975–980.[4] W. Arveson, The curvature invariant of a Hilbert module overC[z1, . . . , zd ], J. Reine Angew. Math. 522 (2000) 173–236.[5] L. de Branges, J. Rovnyak, Square Summable Power Series, Holt, Rinehart and Winston, New York, 1966.[6] R. Delanghe, F. Sommen, V. Souc̆ek, Clifford Algebra and Spinor Valued Functions, in: Math. Appl., vol. 53, Kluwer Academic, 1992

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