Christophe Royer

Royer, Christophe

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques

, FrancertainestsrhoodndicalC. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003) 413–418Équations aux dérivées partiellesCalcul pseudodifférentiel en grande dimensionet limites thermodynamiquesPseudodifferential calculus in large dimensionand thermodynamic limitsChristophe RoyerDépartement de mathématiques (UMR CNRS 6056), Université de Reims, Moulin de la Housse, BP 1039, 51687 Reims cedex 2Reçu le 3 février 2003 ; accepté le 4 février 2003Présenté par Jean-Michel BonyRésuméSi Pn(h) est un opérateurh-pseudodifferentiel dansRn associé à un symbole holomorphe semi-borné dans un cevoisinage de l’espace de phase réel et à gradient borné, on décrit le symbole de e−tPn(h) à l’aide d’inégalités dont les constantne dépendent que des normes des dérivées du symbole dePn(h), mais pas de la dimensionn. On applique enfin nos résultaaux limites thermodynamiques.Pour citer cet article : C. Royer, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003). 2003 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.AbstractIf Pn(h) is ah-pseudodifferential operator inRn associated to an holomorphic semi-bounded symbol in some neighboof the real phase space, with bounded derivatives, we describe the symbol of e−tPn(h), by inegalities where the constants depeon the bounds for the derivatives of the symbol ofPn(h), but not on the dimension. Some applications to thermodynamlimits are given.To cite this article: C. Royer, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003). 2003 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rights reserved.Abridged English versionThe study of an-particules chain leads to introducing some Hamiltonian inRn of the following form, withf ∈ C∞(R4) satisfying good hypothesis:pn(x, ξ)= ∑n−1k=1 f (xk, xk+1, ξk, ξk+1).Associating, by the semiclassicWeyl calculus, to the symbolpn(x, ξ) the h-pseudodifferential operatorPn(h), we want first to know if thefollowing sequence, indexed by the dimensionn,Λn(t, h)= 1nln((2πh)n Tre−tPn(h)), (1)Adresse e-mail :christophe.royer@univ-reims.fr (C. Royer).1631-073X/03/$ – see front matter 2003 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.doi:10.1016/S1631-073X(03)00080-3414 C. Royer / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003) 413–418henslset onems(1) totict [4],eclter quelaelsntionde la nôtre.has a limit whenn→ +∞, called thermodynamic limit. A second problem consists to show that this limit, wit exists, has an asymptotic expansion in powers ofh whenh→ 0.In 1994, Sjöstrand [5] has studied a related problem for ann-dimensional Schrödinger operatorPn(h). He hasdescribed the kernel of the operator e−t/hPn(h) in terms independent on the dimensionn, before to apply his resultto the thermodynamic limits.In this work, we replace the Schrödinger operator by pseudodifferential operatorsPn(h) associated to symbopn(x, ξ) holomorphic on following open sets, witha > 0,Ω2n(a)={(x, ξ) ∈ C2n | ∣∣Im(x, ξ)∣∣∞ < a}, (2)and satisfying, for some constantM > 0 independent ofn:∣∣∣∣∂pn∂xj (x, ξ)∣∣∣∣ +∣∣∣∣∂pn∂ξj (x, ξ)∣∣∣∣ M, ∀(x, ξ) ∈Ω2n(a), ∀n 1. (3)Our first aim (Théorème 2.2) is to give, assuming also that Repn(x, ξ) is lower bounded, a description of thsymbol of the operator e−tPn(h) (and not of the kernel like in [5]), where the constants will be independenthe dimensionn. More precisely we show that the symbol of this operator is e−qn(·,t,h), with qn admitting anasymptotic expansion inh whose coefficients satisfy inequalities similar to (3). This result will rely on theorof composition in large dimension proved in [1].We shall next apply our results, linking the asymptotic expansion of the thermodynamic limit defined bythe greatest eigenvalue of some integral operator onRp , for a suitablep depending of the order of the asymptoexpansion in powers ofh. This study has some common points with the works of Helffer [2]. In the preprinNourrigat has proved a similar result under the additional hypothesis thatpn is bounded, but in this case with thusual trace in the expression (1) replaced by a suitable one.Our work can be applied for example to the Klein–Gordon operatorPn(h)= ∑nj=1 √1− h2j +Vn(x), wherej is the Laplacian for the variablex(j) ∈ Rk andVn(x) is satisfying good hypothesis (see Section 5).1. IntroductionL’étude d’une chaîne den particules conduit à introduire des Hamiltoniens dansRn de la forme suivante, avef ∈ C∞(R4) vérifiant de bonnes hypothèses :pn(x, ξ)= ∑n−1k=1 f (xk, xk+1, ξk, ξk+1). En associant, via le calcude Weyl semi-classique, au symbolepn(x, ξ) l’opérateurh-pseudodifférentielPn(h), on cherche à savoir si la suiindexée par la dimensionn, définie par :Λn(t, h)= 1nln((2πh)n Tre−tPn(h)), (1)admet une limite lorsquen→ +∞, dite limite thermodynamique. Un second problème consiste à montrecette limite, si elle existe, admet un développement asymptotique en puissances deh, lorsqueh→ 0.En 1994, Sjöstrand a étudié un problème voisin, en particulier pour un opérateur de Schrödingern-dim nsionelPn(h). Dans [5], il donne la description du noyau de l’opérateur e−t/hPn(h), en des termes indépendants dedimensionn, pour ensuite appliquer ses résultats aux limites thermodynamiques.Le but de cet article est de remplacer l’opérateur de Schrödinger par des opérateurs pseudodifférentiPn(h)associé à des symbolespn(x, ξ) holomorphes sur des ouverts du type suivant, avec> 0Ω2n(a)={(x, ξ) ∈ C2n | ∣∣Im(x, ξ)∣∣∞ < a}, (2)dont les dérivées sont bornées indépendament de la dimension. E supposant que Repn(x, ξ) est minoré,on détermine (Théorème 2.2) le symbole de e−tPn(h) sous la forme e−qn(·,t,h), en donnant un développemeasymptotique en puissance deh deqn(·, t, h) dont les coefficients seront majorés indépendament de la dimensn.On fera notamment appel à des résultats de [1], dans lequel la classe de symboles considérée est voisineC. Royer / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003) 413–418 415mique àffer [2].stlurrapport àOn appliquera enfin nos résultats en reliant le développement asymptotique de la limite thermodynal’étude de la plus grande valeur propre d’un opérateur intégral, démarche similaire aux travaux de HelDans la prépublication [4], Nourrigat a obtenu un résultat analogue en supposantn borné, la trace usuelle danl’expression (1) devant alors être remplacée par une trace admissible.2. Enoncé du résultat principal pour l’exponentielleOn donne ci-dessous la définition de notre classe de symboles. Pour touta > 0, l’ensembleΩ2n(a) est définien (2). Sif est une fonction bornée dansΩ2n(a), on pose||f ||a = supX∈Ω2n(a) |f (x)|.Définition 2.1. Pour tout a > 0, on noteS(a) l’ensemble dont les éléments sont des suites(fn)n1, oùfn = fn(h) = fn(·, h) est une fonction holomorphe dans l’ouvertΩ2n(a), dépendant d’un paramètreh variantdans un intervalle de la forme]0, hn], oùhn > 0, et vérifiant les conditions suivantes. Il existeM > 0, indépendanden, et des constantesCn > 0 telles que, si 1 j  n et sih ∈]0, hn], on ait :Re(fn(x, ξ,h)) −Cn, ∀(x, ξ) ∈Ω2n(a),∣∣∣∣ ∂fn∂xj (x, ξ,h)∣∣∣∣ +∣∣∣∣∂fn∂ξj (x, ξ, h)∣∣∣∣ M, ∀(x, ξ) ∈Ω2n(a). (3)Par le calcul de Weyl semi-classique, on associe à une fonctionf convenable l’opérateurh-pseudodifférentieOph(f ) défini par :(Oph(f )u)(x)= (2πh)−n∫R2neih(x−y)·ξf(x + y2, ξ)u(y)dy dξ.On sait, par le calcul fonctionnel de Helffer–Robert, que l’exponentielle e−tOph(pn) est également un opérateh-pseudodifférentiel. Notre problème est de décrire son symbole en des termes qui soient uniforme parla dimensionn. Le résultat principal de ce travail est le suivant.Théorème 2.2.Soientm 2 un entier,a et b deux réels vérifiant0< a < b etp = (pn)n1 un élément deS(b),alors il existeεm > 0,Cj > 0 avecj ∈ {1, . . . ,m}, indépendants den, et une suite de fonctionsq = (qn)(x, ξ, t, h)holomorphes bornées surΩ2n(a) tels que, sinhm  εm :e−tOph(pn) = Oph(e−qn(·,t,h)), n 1. (4)De plus,qn admet le développement asymptotique suivant:qn(·, t, h)=m−1∑j=0E(j)n (·, t, h)hj + hmR(m)n (·, t, h), (5)où les familles de fonctionsE(j)n sont dansS(a) et satisfont l’inégalité(3) de la Définition2.1 si les conditionsprécédentes sont vérifiées. On a en particulier,E(0)n (x, ξ, t)= tpn(x, ξ) et∥∥E(j)n (·, t)∥∥a  nCj , j ∈ {1, . . . ,m}, ∥∥R(m)n (·, t, h)∥∥a  nCm.3. Intégrales oscillantes et composition de symboles en grande dimensionOn noteσ la forme symplectique dansC2n définie parσ((x, ξ), (y, η)) = y · ξ − x · η. Si f et g sont desfonctionsC∞ sur R2n, bornées ainsi que toutes leurs dérivées, on notef (hg la fonction définie par l’intégrale416 C. Royer / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003) 413–418tnsur celaoitest queoscillante suivante :(f (hg)(X)= (πh)−2n∫R4ne− 2ih σ (Y,Z)f (X+Y )g(X+Z)dY dZ.On a alors le résultat suivanqui est obtenu de manière similaire au Lemme 5.1 de [1].Proposition 3.1.Soit deux réelsa et b tel que0< a < b, et soitf et g des fonctions holomorphes bornées daΩ2n(b). Alorsf (hg est holomorphe bornée dansΩ2n(a) et on a‖f (hg‖a  ‖f ‖b‖g‖b(1+√2π√hb− a e−(b−a)2/h)4n. (6)La démonstration du Théorème 2.2 va se faire en utilisant un théorème du point fixe. Il nous faut poestimer des quotients du typeψh(f1, f2)= (e−p1f1)(h(e−p2f2)e−p1(he−p2. (7)Théorème 3.2.Soitp1 etp2 deux fonctions holomorphes dansΩ2n(R) (R > 0), ayant leur dérivées bornées. Sf1 etf2 des fonctions holomorphes, bornées respectivement surΩ2n(µ1) etΩ2n(µ2), avec0<µi < R (j = 1,2).Alors la fonctionψh(f1, f2) définie en(7) est holomorphe et bornée dansΩ2n(λ) pour toutλ ∈ ]0,min(µ1,µ2)[,et satisfait pour chaque entierm, si on poseµ= min(µ1,µ2) etR′ = max(µ1,µ2)∥∥ψh(f1, f2)∥∥λ (1+ Kmhm(µ− λ)2m)n‖f1‖µ1‖f2‖µ2, (8)si h vérifie les conditions suivantes:h‖∇p2‖R  µ1 − λ4h‖∇p1‖R  µ2 − λ4et nhm  εm,oùKm > 0 et εm > 0 dépendent deR, R′, m et‖∇pj‖R (j = 1,2), mais pas de n.4. Construction d’une solution approchée, idée de la preuve du Théorème 2.2L’aspect formel du Théorème 2.2 est très similaire de celui du Théorème 2.2 de [1]. La seule différencele calcul standard est maintenant remplacé par le calcul de Weyl. Sif etg sont deux fonctions dansC∞(R2n), onpose(f ⊗ g)(x, ξ, y, η) = f (x, ξ)g(y, η) et ak(f, g)(x, ξ) = ik2kk!σ((Dx,Dξ ), (Dy,Dη))k(f ⊗ g)(x, ξ, x, ξ). Sif etg sont bornées, ainsi que toutes leurs dérivées, on a(f (hg)(X)∼ ∑k0ak(f, g)(X)hk .Définition 4.1. Soit j et k des entiers 1, pour toutes fonctionsp et Φ0, . . . ,Φk−1 dansC∞(R2n), on notec(k)j (p,Φ0, . . . ,Φk−1) le coefficient dehj dans le polynôme eΦak(p,e−Φ), avecΦ = Φ0 + · · · + hk−1Φk−1.Si p = (pn) est dansS(b) (b > 0), on peut alors construire, pour tout réela vérifiant 0< a < b, une suite(E(k)n (·, t))k∈N à valeurs dansS(a), définie parE(0)n (x, ξ, t)= tpn(x, ξ) et, sik  1, par∂E(k)n∂t=k∑j=1c(k−j)j(p,E(0)n , . . . ,E(k−1)n), E(k)n (x, ξ,0)= 0.Pour toutm 1, on poseΦ(m)n (x, ξ, t, h)= ∑m−1j=0 E(j)n (x, ξ, t)hj .C. Royer / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003) 413–418 417sitionttégraleème 3.2à la,nlorsquerèmeLa fonction e−Φ(m)n (·,t,h) va être une approximation de l’exponentielle du Théorème 2.2. Dans la proposuivante, on donne une majoration du terme d’erreur(m)n (·, t, h), défini par :∂∂te−Φ(m)n (·,t,h) = −pn (he−Φ(m)n (·,t,h) + e−Φ(m)n (·,t,h)r(m)n (·, t, h). (9)Proposition 4.2.Soita et b tel que0< a < b, avec les notations de la Définition4.1,il existeε0> 0 indépendande n tel que si0< h ε0(1+ lnn)−1 et t ∈ [0,1], la famille de fonctionsr(m)n (·, t, h) définie en(9) est dansS(a),et vérifie∥∥r(m)n (·, t, h)∥∥a Amnhm, (10)la constanteAm étant indépendante den et deh.La preuve du Théorème 2.2 se ramène alors, via Éq. (9) et l’inégalité (10), à l’étude d’une équation indont on détermine la solution par un théorème du point fixe. Pour le mettre en œuvre, on utilise le Théoren remplaçantpi par la fonctionΦ(m)n (ti, h) (i = 1,2) de la Définition 4.1 et en généralisant la majoration (8)composition dek termes.5. Application aux limites thermodynamiquesEn chaque point du réseau uni-dimensionelZ, on considère une particuleAj décrite, s’il n’y a pas d’interactionpar un HamiltonienA(x, ξ) ∈ C∞(R2k), aveck  1. L’interaction entreAj etAj+1 sera décrite par une fonctioB(x, ξ, y, η) ∈C∞(R4k). On fait les hypothèses suivantes sur les fonctionsA etB :– A (resp.B) se prolonge en une fonction holomorphe surΩ2p(a) (resp. surΩ4p(a)).– A (resp.B) est à valeurs réelles pour(x, ξ) réel (resp. pour(x, ξ, y, η) réel) etB(x, ξ, y, η)= B(y,η, x, ξ).– La partie réelle deA est semi-bornée inférieurement surΩ2p(a), A a toutes ses dérivées bornées surΩ2p(a)et vérifie, avecδ > 0 : ∃R > 0, ∃C > 0 tels que∀(x, ξ) ∈ R2p, |x, ξ |∞ R⇒A(x, ξ)C|x, ξ |δ∞.– B est bornée surΩ4p(a) ainsi que toutes ses dérivées.S’il n’y pas d’interaction entreAn etA−n, l’Hamiltonien décrivant le système de particulesAj (|j |  n) est lesuivant, en posantX(j) = (x(j), ξ (j)) ∈ R2k et en notantX = (X(−n), . . . ,X(n)) la variable deR2k(2n+1) :p̃n(X)=n∑j=−nA(X(j)) + n−1∑j=−nB(X(j),X(j+1)).Dans le cas d’une interaction entreAn etA−n, l’Hamiltonien devientpn(X)= p̃n(X)+B(X(n),X(−n)).On notePn(h)= Oph(pn) et P̃n(h)= Oph(p̃n). Sous nos hypothèses,(pn)n1 et (p̃n)n1 sont dansS(a), onpeut donc appliquer le Théorème 2.2. On définit alors la limite thermodynamique comme étant la limite,n→ +∞, de la suite :Λn(t, h)= 12n+ 1 ln((2πh)(2n+1)k Tre−tPn(h)).On définit de mêmeΛ̃n(t, h) pour P̃n(h). L’existence de la limite thermodynamique est donnée par le théosuivant, conséquence d’un résultat classique (cf. Lemme 2.5 [3]).Théorème 5.1.Pour toutt ∈ ]0,1] eth ∈ ]0,1], les suites(Λn(t, h)) et (Λ̃n(t, h)) ont la même limiteΛ(t,h). Deplus il existe une constanteC > 0 telle que∀n 1, ∀h ∈ ]0,1], ∀t ∈ ]0,1] :∣∣Λn(t, h)−Λ(t,h)∣∣ + ∣∣Λ̃n(t, h)−Λ(t,h)∣∣  C . (11)n418 C. Royer / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003) 413–418resimple :éthodesPour définir le premier terme du développement asymptotique deΛ(t,h), on utilise l’opérateur intégralS0(t)dansL2(R2k), défini par :(S0(t)u)(X)=∫R2ke−t/2(A(X)+2B(X,Y )+A(Y ))u(Y )dY ∀u ∈ L2(R2k). (12)Cet opérateur est auto-adjoint et traçable. Par le Théorème de Krein–Rutman, la norme‖S0(t)‖ est une valeupropre simple deS0(t) et les autres valeurs propres ont un module strictement inférieur à‖S0(t)‖.En posant pourm 0, via la relation (5) du Théorème 2.2,q(m)n (x, ξ, t, h)= ∑mj=0E(j)n (x, ξ, t)hj , on remarquequ’il existedm ∈ N etF (m)(·, t, h) ∈C∞(R2k(dm+1)) tels que :q(m)n (x, ξ, t, h)=n∑j=−nF (m)(X(j), . . . ,X(j+dm), t, h).On définit alors, à partir de la fonctionF (m) et de manière analogue àS0(t), un opérateur intégralSm(t, h) dansL2(R2kdm). En montrant queSm(t,0) etS0(t)dm sont isospectraux et en notantλm(t, h) la plus grande valeur proprdeSm(t, h), on obtient alors par le Théorème 2.2 et la théorie classique de perturbation d’une valeur propreΛ(t,h)= 1dmln(λm(t, h)) +O(hm).Théorème 5.2.La limite thermodynamiqueΛ(t,h) admet le développement asymptotique suivant, quandh→ 0 :Λ(t,h)∼ ∑j0γj (t)hj , où lesγj (t) sont des nombres réels, etγ0(t)= ln(‖S0(t)‖), l’opérateurS0(t) étant définien(12).Nos résultats peuvent par exemple s’appliquer à l’opérateur de Klein–Gordon suivant :Pn(h)=n∑j=−n√1− h2j + Vn(x),oùj désigne le Laplacien pour la variablex(j) ∈ Rk etVn(x)= ∑nj=−n V (x(j))+∑n−1j=−n W(x(j), x(j+1)), avecV etW vérifiant des hypothèses de même type que celles faites au début de la section surA etB.Références[1] L. Amour, Ph. Kerdelhue, J. Nourrigat, Calcul pseudodifférentiel en grande dimension, Prépublication 99.12, Reims, 1999.[2] B. Helffer, Around a stationary phase theorem in large dimension, J. Funct. Anal. 119 (1) (1994) 217–252.[3] B. Helffer, J. Sjöstrand, Semiclassical expansions of the thermodynamic limit for a Schrödinger équation. I. The one well case, in: Msemi-classiques, Vol. 2, in: Astérisque, Vol. 210, Soc. Math. France, Paris, 1992, pp. 135–181.[4] J. Nourrigat, Pseudodifferential calculus and thermodynamic limits, Prépublication 01.09, Reims, 2001.[5] J. Sjöstrand, Evolution equations in large number of variable, Math. Nachr. 166 (1994) 17–53.

Calcul pseudodifférentiel en grande dimension et limites thermodynamiques

Comptes Rendus Mathématique

http://www.numdam.org/item/10.1016/S1631-073X(03)00080-3.pdf

Calcul pseudodifférentiel en grande dimension et limites thermodynamiques

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques

Comptes Rendus Mathématique