Philippe du Bois

du Bois, Philippe

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fert entièresichMilnorn],eptionsith twoC. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003) 757–762Géométrie algébrique/TopologieSur la forme de Seifert entière des germes de courbeplane à deux branchesPhilippe du BoisUMR 6093 CNRS, Université d’Angers, 2, boulevard Lavoisier, 49045 Angers, FranceReçu et accepté le 12 mars 2003Présenté par Bernard MalgrangeRésuméNous démontrons que deux germes de courbe plane à deux branches, qui sont isomères, ont des formes de Seiisomorphes, en utilisant la filtration par le poids sur l’homologie entière de la fibre de Milnor.Pour citer cet article : P. du Bois,C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003). 2003 Académie des sciences. Publié par Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.AbstractOn the integral Seifert form of plane curve germs with two branches. Two plane curve germs with two branches, whare isomeric, are shown to have isomorphic integral Seifert forms. The weight filtration on the integral homology of thefiber is the key ingredient of the proof.To cite this article: P. du Bois, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003). 2003 Académie des sciences. Publié par Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.Abridged English versionLet f : (C2,0)→ (C,0) be a plane curve germ with an isolated singularity. We consider the weight filtratioMon the homologyH1(F,Z) of the Milnor fiberF = F(f ) of the germf , as defined in [3] and used in [4] and [5by the following formulas, where the homological monodromy is denoted as the multiplication byt , ande is anexponent of the monodromy.M0(H1(F,Z)) =H1(F,Z), M−1(H1(F,Z)) = Ker(te − 1),M−2(H1(F,Z)) = ((Ker(t − 1)+ Im(te − 1)) ⊗ Q) ∩H1(F,Z).TheM filtration is a useful tool for the study of the Seifert form onH1(F,Z), see [5]. In [7], Robin has studied thfollowing problem: find the germ(s) which have a given integral Seifert form. Under certain technical assumconcerning the cyclotomic units associated with the Seifert form, he shows that, if two plane curve germs wbranches have isomorphic integral Seifert forms, they are isomeric (see [7], or 5 below, for the definition).Adresse e-mail :philippe.dubois@univ-angers.fr (P. du Bois).1631-073X/03/$ – see front matter 2003 Académie des sciences. Publié par Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droitsréservés.doi:10.1016/S1631-073X(03)00165-1758 P. du Bois / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003) 757–762teodesic.nts.fycertainfficientswingsbut theomialWe shall denote byT (f ) the desingularisation tree with multiplicities off and byei the multiplicity of thevertex(i). As in [5], ri will denote the gcd of the multiplicities of(i) and its neighbours, andmij the gcd ofeiandej , when the vertices(i) and(j) are related by an edge(ij) of T (f ). A rupture pointof T (f ) is a vertexwith at least 3 neighbours. The union of the edges between two rupture points ofT (f ), or between a rupture poinand a vertex bearing an arrow (representing a branch off ) is called ageodesic segmentif these two vertices arconsecutive on a geodesic ofT (f ), i.e., there are no other rupture points between these vertices on the geAs shown in [3, 5.7], the gcd denoted bymij is constant along a geodesic segment.From now on, we shall assume thatf is a germ with two branches. We consider the geodesicG joining thearrows ofT (f ) (the arrows represent the two branches off ). We callΓ the following graph: the vertices ofΓ arethe rupture points onG and the vertices bearing an arrow, the edges ofΓ are the associated geodesic segmeWe number the vertices from 1 toN + 1, and the edges from 1 (the edge(12)), to N (the edge(N(N + 1))). Letn be the map from the set vert(Γ ) of vertices ofΓ to the set vert(T (f )) of vertices ofT (f ), sending a vertex oΓ to the corresponding vertex ofT (f ). We weigh the vertexi (resp. the edgei) of Γ by the correspondingrn(i)(resp.mn(i)j , wherej is the neighbour ofn(i) on the geodesic segment ofT (f ) numbered byi). Using the newnumbering, we putri := rn(i) andmi :=mn(i)j .Lemma. One has the following divisibility relation between themi alongΓ : if, for some pair(i, j), 1  i < j  N ,the integera dividesmi andmj , then, for allk, i  k  j , a dividesmk .Using [3, 6.6], one can write a presentation matrix forM−2H1(F,Z) and for GrM0 H1(F,Z). The non-zero entries of the matrix are product of cyclotomic polynomials, in the form(tmi − 1)/(tri − 1), tmi − 1 or(tmi − 1)/(tri+1 − 1).Two polynomialsA andB in Z[t, t−1] arestrongly coprimeif there existsU andV in Z[t, t−1] such thatAU + BV = 1. By [1] and [8], the cyclotomic polynomialsΦa andΦb , a < b, are strongly coprime if, and onlif, b/a is not a power of a prime number. Then, using the lemma, we can find, in the presentation matrix,entries which are strongly coprime. This allows to perform a sequence of elementary operations with coein Z[t, t−1], and we find the following result.Theorem 1. Let F denote the Milnor fiber of a plane curve germ with two branches, we have the folloisomorphisms ofZ[t, t−1]-modules:M−2H1(F,Z) ∼= Z[t, t−1]/( (tm1 − 1) · · · (tmN − 1)(tr2 − 1) · · · (trN − 1)),GrM0 H1(F,Z) ∼= Z[t, t−1]/( (tm1 − 1) · · · (tmN − 1)(tr1 − 1) · · · (trN − 1)).Two plane curve germsf1 andf2 areisomericis one can pass fromT (f1) to T (f2) by a sequence of operationdescribed in [7], see 5 below. The first examples of isomeric germs have been given in [5, 5.1 and 5.3],general definition is due to Robin in [7].Theorem 2. Let f1 andf2 be two plane curve germs with two branches. If the germsf1 andf2 are isomeric, theSeifert forms onH1(F (fa),Z), a = 1 et 2, are isomorphic.Proof. By Theorem 1 above and Theorem 4.6 of [5], the proof consists in checking that the twist polyn(defined in [5, 2.21]) is the same forf1 andf2. ✷P. du Bois / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003) 757–762 759poidsarenée. Sousouve que,t isomèress allonsnert entièresesqu’unodésique) ete ruptureauus.0. IntroductionSoit f : (C2,0) → (C,0) un germe de courbe plane à singularité isolée. On considère la filtration par leM sur l’homologieH1(F,Z) de la fibre de MilnorF du germef , définie dans [3] et utilisée dans [4] et [5], ples formules suivantes, où la monodromie homologique est notée comme la multiplication part , et e désigne unexposant de la monodromie.M0(H1(F,Z)) =H1(F,Z), M−1(H1(F,Z)) = Ker(te − 1),M−2(H1(F,Z)) = ((Ker(t − 1)+ Im(te − 1)) ⊗ Q) ∩H1(F,Z).La filtrationM permet d’étudier la forme de Seifert surH1(F,Z), voir [5]. Dans [7], Robin a étudié le problèmqui consiste à retrouver le ou les germes ayant, à isomorphisme près, une forme de Seifert (entière) doncertaines hypothèses techniques portant sur les unités cyclotomiques associées à la forme de Seifert, il trsi deux germes de courbe plane à deux branches ont des formes de Seifert (entières) isomorphes, ils son(voir la définition en 5).Dans toute la suite,f désignera un germe de courbe plane à deux branches, à singularité isolée. Noudémontrer que, dans ce cas,M−2H1(F,Z) et GrM0 (H1(F,Z)) sont desZ[t, t−1]-modules cycliques. Nous edéduirons que deux germes de courbe plane à deux branches qui sont isomères ont des formes de Seifisomorphes.1. NotationsOn noteraϕ etϕ′ des développements de Puiseux des branches du germef . Les paires de Zariski deϕ (resp.ϕ′)seront notéesp1/q1, . . . , pg/qg (resp.p′1/q ′1, . . . , p′g′/q′g′). On noteraC(ϕ,ϕ′) l’exposant de coïncidence deϕet ϕ′. Un nombre rationnel est un exposant permis pourϕ s’il est dans(q1 · · ·qg)−1N. L’exposant de coïncidencest permis pour l’une au moins des deux branches, on conviendra qu’il est permis pour la brancheϕ. On définitl’entier c par la double inégalité suivante :p1q1+ p2q1q2+ · · · + pcq1 · · ·qc  C(ϕ,ϕ′) < p1q1+ p2q1q2+ · · · + pc+1q1 · · ·qc+1 .On a doncC(ϕ,ϕ′) ∈ 1q1 · · ·qc N.On noteraT (f ) l’arbre de désingularisation avec multiplicités def , ei la multiplicité du sommet(i), #1 lesommet de plus petite multiplicité et1 sa multiplicité. Comme dans [5],ri désignera le pgcd des multiplicitédu sommet(i) et des sommets voisins dansT (f ), etmij désignera le pgcd des multiplicités des sommets(i) et(j), extrémités de l’arête(ij) deT (f ) ; ce pgcd est constant le long d’un segment géodésique, on rappellesegment géodésiqueest la réunion des arêtes situées entre deux sommets de rupture consécutifs sur une géde T (f ), ou entre un sommet de rupture et un sommet de valence 2 portant une flêche symbolisantϕ ou ϕ′,consécutifs sur une géodésique deT (f ).On noteraΓ (ϕ,ϕ′) la géodésique deT (f ) joignant les flêches symbolisantϕ et ϕ′ ; lessommetsdeΓ (ϕ,ϕ′)seront les sommets de rupture, le sommet #1 s’il est surΓ (ϕ,ϕ′) (i.e., si les deux branches sont transversesl’éventuel sommet de valence 2 portant la flêche associée àϕ′ deT (f ) portés par cette géodésique ; lesarêtesdeΓ (ϕ,ϕ′) seront les segments géodésiques deT (f ) portés par cette géodésique.Les sommets (resp. les arêtes) seront pondérés par lesei etri (resp. lesmij ) calculés dansT (f ). Les sommets deΓ (ϕ,ϕ′) seront renumérotés en suivant leur position sur la géodésique, de 1 (correspondant au sommet dsur lequel s’attache la flêche associée àϕ) à N + 1 (associé àϕ′). Lesei et ri seront numérotés par le nouvenuméro du sommet correspondant et lesmij par le numéro du segment géodésique, comme indiqué ci-dessoΓ (ϕ,ϕ′) : r1 m1 r2 m2 r3 m3 · · · mN−1 rN mN rN+1. . .• • • • •760 P. du Bois / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003) 757–762éodésiqueàesdeecertainsitéL’arbre T (f ) est la réunion du sous-arbreT (f ), constitué de la géodésique deT (f ) joignant les flêchessymbolisantϕ etϕ′ et des branches mortes qui y sont attachées, et d’un sous-arbreT ⊥(f ) isomorphe à l’arbre dedésingularisation d’un certain germe irréductible, les deux sous-arbres étant rattachés par un segment gqui joint le sommet de rupture deT ⊥(f ) ayant la plus grande multiplicité à celui deT (f ) ayant la plus petitemultiplicité, ou au sommet #1 sic = 0 ; ces deux sommets sont distincts, à l’exception du cas oùT (f ) admet unsommet de rupture de valence 4, qui est alors l’unique sommet commun àT ⊥(f ) etT (f ).2. On considère ici les germes de courbe plane ayant un nombre de branches quelconqueLemme 1 (Multiplicité sortante après un sommet de rupture).Soitg : (C2,0)→ (C,0) un germe de courbe planesingularité isolée, soitT (g) l’arbre de désingularisation avec multiplicités deg. Soit(i) un sommet de rupture dT (g), ou le sommet#1s’il est de valence2. Soit(iΛ) le sommet voisin de(i) sur une arête sortante de(i). Notons(χ%)%∈Λ des développements de Puiseux des branches deg telles que la géodésiqueΓ (1, χ%) deT (g) joignant#1à la flêche symbolisantχ% passe par l’arête qui porte le sommet(iΛ) ; notonsqk%, . . . , qg% les dénominateurs depaires de Zariski deχ% qui interviennent, dans la suite d’éclatements donnant la désingularisation minimaleg,après l’éclatement qui crée le diviseur représenté par(i). On a alors: eΛi ≡∑%∈Λ qk% · · ·qg% (modei).Démonstration. Ce résultat se déduit de [6, 5.4.1 et 6.6.4], voir aussi [2].On peut calculer lesZ[t, t−1]-modulesM−2H1(F (g),Z) et GrM0 (H1(F (g),Z)) en considérant le grapheG(g),revêtement ramifié de l’arbreT (g), construit comme suit : le sommet(i) de T (g) a pour image réciproquerisommets, l’arête(ij) deT (g) a pour image réciproquemij arêtes, chaque flêche deT (g) a pour image réciproquun segment deG(g). L’ensemble des extrémités extérieures de ces segments sera noté∂G, les points de∂G sontdonc en bijection avec l’ensemble des flêches deT (g) ou avec l’ensemble des branches deg. De plus, l’action dela monodromie surG(g) est un isomorphisme du revêtement.D’après [3, 5.5 et 6.5], les branches mortes deT (g) n’apportent pas de contribution au calcul desZ[t, t−1]-modules étudiés ici, et on a les isomorphismes deZ[t, t−1]-modules suivants :M−2H1(F(g),Z) ∼=H 1(G(g), ∂G,Z) et GrM0 (H1(F(g),Z)) ∼=H 1(G(g),Z).3. Revenons maintenant au cas d’un germe à deux branches et aux notations de 1Lemme 2. Soitf : (C2,0)→ (C,0) un germe de courbe plane à deux branches, à singularité isolée en0. Les arêtesdeT ⊥(f ) n’apportent pas de contribution au calcul desZ[t, t−1]-modulesM−2H1(F,Z) et GrM0 (H1(F,Z)).Notons(l) le sommet deΓ (ϕ,ϕ′) dont la multiplicitéel est minimale parmi les sommets deΓ (ϕ,ϕ′) ; à larenumérotation près,(l) est associé au sommet de rupture deT (f ), noté(l̃), sur lequel se rattacheT ⊥(f ), ouau sommet #1 s’il est de valence 2. Le Lemme 1 donne les informations suivantes sur les multiplicités devoisins de(l), ce qui permet de démontrer le Lemme 3.Si C(ϕ,ϕ′) est un exposant permis pourϕ et pourϕ′, le sommet(l̃) admet deux arêtes sortantes. La multipliceϕl (resp.eϕ′l ) du sommet deT (f ) voisin de(l̃) sur l’arête sortante dirigée versϕ (resp.ϕ′) vérifie :eϕl ≡ qc+1 · · ·qg (model), eϕ′l ≡ q ′c+1 · · ·q ′g′ (model).Si C(ϕ,ϕ′) est un exposant permis pourϕ, mais non pourϕ′, le sommet(l̃) admet une unique arête sortante (versϕ)et le sommet( ˜l + 1) deT (f ), associé au sommet(l + 1) surΓ (ϕ,ϕ′), admet une unique arête sortante (versϕ′).P. du Bois / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003) 757–762 761eseéeses denstitués des échangésqui faitLa multiplicité eϕl (resp.eϕ′l+1) du sommet deT (f ) voisin de(l̃) (resp.( ˜l + 1)) sur l’arête sortante dirigée versϕ(resp.ϕ′) vérifie : eϕl ≡ qc+1 · · ·qg (model), eϕ′l+1 ≡ q ′c+1 · · ·q ′g′ (model+1).Lemme 3. On a la relation de divisibilité suivante entre lesmi le long deΓ (ϕ,ϕ′) : si, pour un certain couple(i, j), 1  i < j  N , l’entier a divisemi etmj , alors, pour toutk, i  k  j , a divisemk .4. Matrice de présentation de M−2H1(F,Z)Deux élémentsA et B de Z[t, t−1] sont ditsfortement premiers entre euxs’il existeU et V dansZ[t, t−1]tels queAU + BV = 1. On notera cette relation(A,B)Z = 1. D’après [1] et [8, §30, formule 4], les polynômcyclotomiquesΦa etΦb , a < b, sont fortement premiers entre eux si, et seulement si,b/a n’est pas une puissancd’un nombre premier.On posera, pour 1 i  N , αi = (tmi − 1)/(tri − 1), βi = tmi − 1 et γi = (tmi − 1)/(tri+1 − 1). On ar1 = rN+1 = 1, ce qui donne l’égalitéα1α2 · · ·αN = γ1γ2 · · ·γN . On poseraβ0 = βN+1 = t − 1, γ0 = αN+1 = 1,u0 = 1, v1 = 0,uN = 0 etvN+1 = 1 de sorte queu0γ0 + v1α1 = 1 etuNγ1 · · ·γN + vN+1αN+1 = 1.Lemme 4. Les polynômesαi etγi , 1  i  N , vérifient les relations suivantes:(γ1, α2)Z = 1, (γ1γ2, α3)Z = 1, . . . , (γ1γ2 · · ·γN−1, αN)Z = 1.D’après [3, 6.6] et le Lemme 2,M−2H1(F,Z) admet la matrice de présentationM suivante :M =β0 γ0 0 0 0 0 · · · 0 0 0 00 α1 β1 γ1 0 0 · · · 0 0 0 00 0 0 α2 β2 γ2 · · · 0 0 0 0· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·0 0 0 0 0 0 · · · αN βN γN 00 0 0 0 0 0 · · · 0 0 αN+1 βN+1 .Une suite d’opérations élémentaires (à coefficients dansZ[t, t−1]) sur cette matrice, à l’aide des relations donnpar le Lemme 4, conduit au Théorème 1.Théorème 1. SoitF la fibre de Milnor d’un germe de courbe plane à deux branches, on a les isomorphismZ[t, t−1]-modules suivants:M−2H1(F,Z) ∼= Z[t, t−1]/((t − 1)α1 · · ·αN) = Z[t, t−1]/( (tm1 − 1) · · · (tmN − 1)(tr2 − 1) · · · (trN − 1)),GrM0 H1(F,Z) ∼= Z[t, t−1]/(α1 · · ·αN)= Z[t, t−1]/( (tm1 − 1) · · · (tmN − 1)(tr1 − 1) · · · (trN − 1)).5. Germes isomèresSuivant [7], deux germes de courbe planef1 et f2 sontisomèressi l’on peut passer deT (f1) à T (f2) par unesuite d’opérations du type suivant : on échange deux sous-arbres situés en haut des deux arbres et cohalos en équerre avec branche morte, sous la condition que les halos en contact avec les sous-arbreont la même composanteηj sur leur arête sortante associée au sous-arbre et le même p.g.c.d.mj le long de cettearête. Sif1 et f2 sont des germes à deux branches, la relation d’isomérie entref1 et f2 signifie que l’on passede T (f1) à T (f2) en effectuant une ou plusieurs fois l’opération élémentaire d’échange de sous-arbres762 P. du Bois / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003) 757–762ntes :tss,tion dese dedont lesdimension)3 (1994)85.passer du grapheΓ (ϕ1, ϕ′1) au grapheΓ (ϕ2, ϕ′2) comme indiqué ci-dessous, en respectant les conditions suiva(i) j +1 l  k−1 etj +1< k−1, (ii) poura = 1 ou 2, soiteϕaj+1 (resp.eϕ′ak−1) la multiplicité du voisin du sommede rupture(j̃ + 1) (resp.(k̃ − 1)) deT (fa) dans la direction deϕa (resp.ϕ′a), soit η(a)j+1 (resp.η(a)k−1) le reste dedivision euclidienne deϕaj+1 (resp.eϕ′ak−1) parej+1 (resp.ek−1), on impose l’égalitéη(1)j+1 = η(2)j+1 = η(1)k−1 = η(2)k−1.Γ (ϕ1, ϕ′1) : e1 m1 e2 · · · ej mj ej+1 · · · ek−1 mk−1 ek · · · eN mN eN+1. . . . . . . . .• • • • • • • •Γ (ϕ2, ϕ′2) : eN+1 mN eN · · · ek mj ej+1 · · · ek−1 mk−1 ej · · · e2 m1 e1. . . . . . . . .• • • • • • • •Les sommets (resp. les arêtes) deΓ (ϕ2, ϕ′2) seront numérotés par les indices desei (resp.mi ) correspondants danle diagramme. Comme dans la démonstration du Lemme 3, la conditionηj+1 = ηk−1 (on omet l’exposant(1)ou (2)) entraine quemj = ηj+1 = ηk−1 =mk−1 ; on en déduit les égalitésr(1)j+1 = r(2)j+1, r(1)k−1 = r(2)k−1.Théorème 2. Soitf1 et f2 deux germes de courbe plane à deux branches. Sif1 et f2 sont des germes isomèreles formes de Seifert surH1(F (fa),Z), a = 1 et 2, sont isomorphes.Démonstration. Les Z[t, t−1]-modulesM−2H1(F (f1),Z) et M−2H1(F (f2),Z) sont desZ[t, t−1]-modulescycliques isomorphes, d’après le Théorème 1. On peut alors appliquer le Théorème 4.6 de [5] : la collechalos deT (f1) est identique à celle deT (f2) et, en procédant comme dans [5, 5.2], on trouve que le polynômtwist Twe(t) (défini en [5, 2.21 et 4.5] et associé au choix d’un générateurxa deM−2H1(F (fa),Z)) est le mêmepourf1 et pourf2.Remarque. L’article [4] donne un exemple de deux germes de courbe plane à trois branches, isomères,formes de Seifert ne sont pas isomorphes, ce qui permet de construire des nœuds algébriques (de grandecobordants et non isotopes.Références[1] T. Apostol, Resultants of cyclotomic polynomials, Proc. Amer. Math. Soc. 24 (1970) 457–462.[2] E. Brieskorn, H. Knörrer, Plane Algebraic Curves, Birkhäuser, 1986.[3] Ph. du Bois, F. Michel, Filtration par le poids et monodromie entière, Bull. Soc. Math. France 120 (1992) 129–167.[4] Ph. du Bois, F. Michel, Cobordism of algebraic knots via Seifert forms, Invent. Math. 111 (1993) 151–169.[5] Ph. du Bois, F. Michel, The integral Seifert form does not determine the topology of plane curve germs, J. Algebraic Geometry1–38.[6] F. Michel, C. Weber, Topologie des germes de courbe planes à plusieurs branches, Prépublication de l’Université de Genève, 19[7] E. Robin, Dévissage de la forme de Seifert d’un germe de courbe plane, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. 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