Cédric Darolles

Darolles, Cédric

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C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 811–815Topologie/TopologyUn invariant d’isotopie lisse pour des surfaces dansune variété de dimension 4Cédric Darolles†CNRS UMR 5580, UFR MIG, Université Toulouse III, 31062 Toulouse cedex 04, FranceReçu le 2 mai 2002 ; accepté le 9 juillet 2002Note présentée par Étienne Ghys.Résumé Nous construisons un invariant d’isotopies lisses pour des surfaces lissement plongées dansdes variétés de dimension 4. Cet invariant distingue, à isotopie lisse près, des tores ou desbouteilles de Klein qui sont régulièrement homotopes dansC∗ × C∗, qui ont le mêmecomplémentaire et le même rack fondamental.Pour citer cet article : C. Darolles, C. R.Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 811–815. 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SASAn invariant of smooth isotopy for surfaces in a 4-manifoldAbstract We construct an invariant of smooth isotopy for surfaces smoothly embeded in 4-manifolds.This invariant is used to distinguish smooth embeddings of tori or Klein bottles thatare regular homotopic inC∗ × C∗, and that have the same complement and the samefundamental rack.To cite this article: C. Darolles, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002)811–815. 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SASAbridged English versionConsider an oriented knotK embedded inF 2 × R, whereF 2 is a connected oriented surface that is notsimply connected, possibly non compact, possibly with boundary. We suppose thatK is in general positionwith respect to the projection onF 2. Consider an isotopy ofK on itself. The resultT is a torus or a Kleinbottle, depending on the preservation of the orientation through the isotopy. IfF 2 is oriented thenT can beseen as a 2-dimensional braid in the following sense:DEFINITION 0.1. – LetM4 beF 2 × R × S1. Let T be an oriented surface smoothly embedded inM4.The surfaceT ↪→ M4 is a (closed) 2-dimensional braid if the restriction arg|T onT of the natural projectionarg :M4 → S1 is a submersion. (See also [3].)Consider the crossings of the projection ofK onF 2. By splitting the diagram with respect to the orientationof the knot at a crossingp, we obtain two oriented knot diagrams. LetK+p be the one for which theundercrossing goes to the overcrossing. We associate to the crossingp ahomological marking, which is thehomology class represented byK+p .Let (a, b) ∈ [(H1(F 2))/〈[K]〉]2 be fixed, witha = b, a = 2b, b = 2a, a = 0, b = 0.Let s ∈ S1 such thatKs = T ∩ arg−1(s) is generic. For allp ∈ Ks with homological marking “a” andfor all p ∈ Ks with homological marking “a − b” we considerp with, respectively, the two weightsm(p) 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservésS1631-073X(02)02566-9/FLA 811C. Darolles / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 811–815(see (1)) andn(p) (see (2)) in Definition 1.2 obtained by summing over Gauss diagrams of the knot. AGauss diagram is an oriented circle with oriented chords, obtained by connecting points on the circlemapped to a crossing of pr(K) and orienting them from the preimage of the undercrossing to the preimageof the overcrossing.DEFINITION 0.2. – Let(S◦(a,b))± be the union, for generics ∈ S1 of all the crossingsp with the markinga and of all the crossingsp with markinga − b. The set(S◦(a,b))± is an open non-connected and non-oriented manifold. The connected componentsSp are the traces of the different crossingsp through thepieces of isotopie for whichs is generic.We pick an oriention(S◦(a,b))± so that the degrees of the projection of each oriented connected componentSp overS1 correspond to the signs of the weight associated to the crossingp if this weight is non-zero. Ifthe weight is zero we do not orient the component. LetS◦(a,b) be the union with multiplicities of the orientedcomponents of(S◦(a,b))±.Here, each connected componentSp enters intoS◦(a,b) with multiplicity |m(p)| respectively|n(p)|. LetS(a,b) be the closure ofS◦(a,b) ⊂ F 2.LEMMA 0.3. –S(a,b) is a cycle which defines an element [Sa,b] in H1(F 2,Z).DEFINITION 0.4. – Let be the subset in(H1(F 2;Z))2 defined by{a = b, or a = 2b, or b = 2a, ora = 0, orb = 0}. IT is defined by:IT :(H1(F 2,Z) ×H1(F 2,Z)) \ →H1(F 2,Z) ×H1(S1,Z)(a, b) → IT (a, b)= [Sa,b] × deg(Sa,b → S1)THEOREM 0.5. –Let T t ↪→ M4, t ∈ [0,1], be any smooth isotopy from the 2-dimensional braid T 0 tothe 2-dimensional braid T 1 (we do not suppose that T t , t ∈]0,1[ , is a 2-dimensional braid).We suppose that (Ks)0 is connected and not contained in any 3-ball, D3 ↪→ F 2 × R, for every s ∈ S1.Then IT 0 ≡ IT 1 .1. IntroductionDans cette note nous allons construire un invariant d’isotopie lisse pour des surfaces plongées dans des4-variétés. La situation est la suivante : soitF 2 une surface connexe orientée et non simplement connexe.Soit M4 = F 2 × R × S1 et soitK un nœud plongé dansF 2 × R, en position générique, c’est-à-dire queles seules singularités de la projection du nœud surF 2 sont des croisements simples. Notons[K] la classed’homologie deK dansH1(F 2;Z). Considérons alors la surfaceS obtenue à partir du cylindreK × [0,1],en recollant à l’aide d’une isotopieh du nœudK sur lui même, les bordsK × {0} etK × {1} du cylindre.La surfaceS que nous obtenons lorsqueF 2 est orientée est une tresse de dimension 2 dans le sens suivant :DÉFINITION 1.1. – SoitM4 = F 2 × R × S1. Soit T une surface connexe orientée lissement plongéedansM4. La surfaceT ↪→ M4 est appellée unetresse fermée de dimension 2 si la restriction àT de laprojection surS1, arg :M4 → S1 est une submersion.Cette définition généralise bien celle des tresses classiques : Si nous remplaçonsF 2 par R et T par uneunion de cercles, nous obtenons la notion de tresse fermée habituelle.Cette définition implique que la surfaceT , si elle est orientable, est un tore. Lorsque l’isotopieh nversel’orientation deK, la surface obtenue est une bouteille de Klein plongée dansM4. On noteKs le nœudK × {s} ↪→ F 2 × R × {s}.812Pour citer cet article : C. Darolles, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 811–815Nous allons considérer les croisements de la projection deK surF 2. La désingularisation du diagrammedeK en un croisementp donne lieu à deux diagrammes de nœuds orientés. Celui de ces deux diagrammesoù la branche de dessous se prolonge par la branche de dessus est notéK+p .Marquons en homologie chaque croisementp à l’aide de la classe d’homologie[K+p ] ∈ H1(F 2;Z)/〈[K]〉et associons à chacun un signe («writhe »)w(p) de la manière habituelle. Soients1, . . . , si les points, ennombre fini, en lesquels la projection deK surF 2 a une autotangence ou un point triple. On dira ques estgénérique sis ∈ S1 \ {s1, . . . , si}.A tout diagramme générique d’un nœud correspond uniagramme de Gauss, qui est un cercle orientéavec des cordes orientées, obtenues en reliant sur le cercle les deux points correspondant à un croisementde pr(K) ; elles sont orientées de la préimage du point appartenant à la branche de dessous à la préimage dupoint appartenant à la branche de dessus. On peut ainsi sommer des données liées aux croisement de pr(K)sur des configurations de cordes présentes dans ce diagramme de Gauss (voir [4]).Fiedler a construit un invariant appeléWT d’isotopie lisse pour des tores dansM4 en utilisant l’uniqueinvariant de degré 1 pour les nœuds dansF 2 × R. On ignorait si sa construction pouvait être généraliséepour construire des invariants d’isotopie de tores à partir des invariants de nœuds de degrés plus grands.Nous montrons que c’est le cas. Soit(a, b) ∈ (H1(F 2;Z))2 \. La définition suivante est la clef de notregénéralisation de l’invariantWT .DÉFINITION 1.2. – Soits ∈ S1 générique. Pour tout croisementp ∈ Ks de marquage en homologiea,on regardep avec le poids associé :m(p) =∑w(p)w(q)+∑w(p)w(q). (1)Pour tout croisementp ∈ Ks de marquage en homologiea − b on regardep avec le poids associé :n(p) =∑w(p)w(q). (2)Soit (S◦(a,b))± l’union, pours ∈ S1 générique, des images dansF 2 × {s} = F 2 de tous les croisementspde marquage en homologiea et de tous les croisementsp de marquage en homologiea − b.(S◦(a,b))± est une variété ouverte non connexe et non orientée. Les composantes connexesSpcorrespondent aux traces des différents croisementsp lors des morceaux d’isotopies au cours desquelssest générique.On oriente(S◦(a,b))± de façon que le degré de la projection de chaque composante connexeSp sur S1corresponde au signe du poids associé au croisementp si ce poids est non nul. Si le poids est nul, onn’oriente pas la composante en question.S◦(a,b) est l’union avec multiplicités des composantes orientées de(S◦(a,b))±. Ici, chaque composanteconnexe orientée deSp entre dansS◦(a,b) avec la multiplicité|m(p)| respectivement|n(p)|. On noteS(a,b)l’adhérence deS◦(a,b) ∈ F 2.Le lemme suivant est d’une importance fondamentale.LEMME 1.3. –S(a,b) est un cycle qui définit un élément [S(a,b)] dans H1(F 2;Z).Démonstration. – En les pointssj qui correspondent aux autotangences, il se produit une apparition ouune disparition de 2 croisements de signes opposés et de marquages identiques. Les configurations deGauss qui apparaissent ou disparaissent 2 par 2 sont les mêmes, mais elles sont comptées avec des produitsw(p)w(q) de signes opposés (voir [1]). Par conséquent, les poids associés s’annulent mutuellement dansle point d’autotangence.813C. Darolles / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 811–815Le Théorème 2.1 de [4] dit quem(p)+n(p) est invariant pour le passage des nœudsKs par un nœudKsiqui a un point triple ordinaire dans la projection surF 2. Par conséquent, le bord de la chaineS(a,b) est nuldans le point triple etS(a,b) est un cycle entier. ✷Maintenant, nous pouvons définir notre invariantIT .DÉFINITION 1.4. – IT est donné par :IT :(H1(F 2,Z) ×H1(F 2,Z)) \ →H1(F 2,Z) ×H1(S1,Z)(a, b) → IT (a, b)= [Sa,b] × deg(Sa,b → S1)Remarque 1. – La restrictionIT :(H1(F 2;Z) ×H1(F 2;Z)) \ → H1(S1;Z) ∼= Zcoincide avec l’invariantIK de degré 2 de nœud défini dans [4] pour le nœudK = Ks = arg−1(s) ∩ T ↪→F 2 × R × {s} (et il est indépendant dus choisi).Le théorème suivant est notre résultat principal. Il généralise la construction de l’invariantWT de « degré 1 »pour des tores plongés dansM4 (voir [3]) à un invariantIT de « degré 2 ».THÉORÈME 1.5. –Soient T 0, T 1 ↪→ F 2 × R × S1 des tresses fermées de dimension 2. On suppose queK0s = T 0 ∩ arg−1(s) est connexe et non contenu dans une boule de dimension 3, D3 ↪→ F 2 × R × {s}.Soit T t , t ∈ [0,1], une isotopie lisse dans M4 qui relie T 0 à T 1. (On ne suppose pas que T t , t ∈]0,1[ ,est une tresse fermée.) Alors IT 0 ≡ IT 1 , où IT est l’invariant introduit dans la Définition 1.4.2. Esquisse de la démonstration du théorèmeOn adeg(Sa,b → S1) =m(p)+ n(p) =∑w(p)w(q)+∑w(p)w(q)+∑w(p)w(q).Il vient deg(Sa,b → S1)= I3Ks (a, b), or I3Ks (a, b) est un invariant de nœuds (voir [4]).Le reste de la démonstration comporte deux étapes. Dans un premier temps nous montrons queIT estinvariant par les isotopies restant dans la catégorie des tresses fermées de dimension 2. Ces isotopies detresses correspondent à des isotopies d’isotopies de nœuds. On montre l’invariance deIT au cas par caspour le passage par les singularités génériques d’une famille à deux paramètres de projections de nœuds(voir [1]).Il nous faut ensuite étudier l’invariance par les isotopies lisses. On suit de très près la démonstration duThéorème 6.1 de [3].Le problème est que arg: T t → S1 n’est plus une submersion pourt générique, mais a des singularitésde Morse. Néanmoins, comme ces singularités de Morse apparaissent et disparaissent dans des singularitésde type « naissance » respectivement « mort », on peut contrôler les entrelacs(T t )s : chaque entrelacs(T t )sest la réunion d’un nœudKts qui est isotope àK0s , et d’un entrelacs trivialUts . De plusUts borde un systèmede disquesDts plongés de façon canonique (voir [3]). Le système de disques n’est pas continu par rapportà t à cause du passage par un toreT t0 tel que arg: T t0 → S1 a deux points critiques avec la même valeur.Néanmoins, on peut utiliser les disquesDts pour définir l’analogue du cycleS(a,b) pour tous les toresTt .Soitp ∈ (T t0)s0 un point critique d’indice 1 de arg :T t0 → S1. Quands passe pars0, il se produit une fusiond’un nœud trivialuts0−ε ⊂ Uts0−ε avecKts0−ε dansp. Le nœuduts0−ε borde un disquedts0−ε ⊂ Dts0−ε . Onutilise le disquedts0−ε pour déformer par une isotopieKts0+ε enKts0−ε. En faisant cette opération pour tous814To cite this article: C. Darolles, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 811–815Figure 1. – Un nœud.Figure 1. – A knot.les points critiquesp d’indice 1 dansT t , on peut définirSt(a,b) ⊂ F 2 pour chaquet en analogie avecS(a,b)pourT 0. Le lemme suivant est démontré dans [1] (voir aussi [3] où il est démontré pour l’invariantWT ).LEMME 2.1. – St(a,b) ⊂ F 2 est un cycle pour chaque t et on a [St(a,b)] = [S0(a,b)] pour chaque t ∈ [0,1].Le Théorème est une conséquence immédiate du Lemme 2.1.Remarque 2. – Le cas de la bouteille de KleinT est complètement analogue au cas du tore parce que lewrithe d’un croisement ne dépend pas de l’orientation du nœud.3. Un exempleSoit F 2 = R2 \ (0,0) et soitK ↪→ F 2 × R le nœud de la Fig. 1 (l’axe(0,0) × R est représenté par lepoint). [K] = 0 dansH1(F 2;Z) et les writhes des croisements ainsi que leurs marquages homologiquessont indiqués aussi sur la Fig. 1.Soit pour chaquen ∈ Z le toreTn ↪→ ((R2 \ (0,0))× R)× S1 ∼= C∗ × C∗, formé à partir du nœudK enfaisant tourner ce nœudn fois dans le sens trigonométrique autour de l’axe(0,0)× R.On calcule facilement queWTn ≡ (0,0) maisITn : (a = 1, b = −1) → (−2n,−2). Par conséquent, lestoresTn ne sont pas lissement isotopes deux à deux. Evidemment, tous lesTn ont le même complémentairedansC∗ × C∗. Le nœudK est régulièrement homotope au nœud trivial dans(R2 × (0,0))× R. En faisantcette homotopie simultanément pour chaques ∈ S1, on voit que tous lesTn sont deux à deux régulièrementhomotopes dansC × C.De plus, on peut démontrer que quelquefois, le rack fondamental (qui est un raffinement du groupefondamental du complément) ne distingue pas le sens de la rotation, c.a.d. ne distingue pasTn de T−n(voir [1]). La question suivante reste ouverte : Y a-t-il parmi les toresTn des tores qui sont topologiquementisotopes ?Références bibliographiques[1] C. Darolles, Invariants d’isotopies pour surfaces différentiables dans des 4-variétés, Thèse doctorale, UniversitéPaul Sabatier, Toulouse.[2] C. Darolles, Isotopy invariants for torus and Klein bottles in 4-manifolds, in preparation.[3] T. Fiedler, Isotopy invariants for smooth tori in 4-manifolds, Topology 40 (2001) 1415–1435.[4] T. Fiedler, Gauss Diagram Invariants for Knots and Links, Mathematics and Its Application, Vol. 532, KluwerAcademic Publishers, Dordrecht, 2001.[5] D. Goldsmith, Motion of links in the 3-sphere, Math. Scand. 50 (1982) 167–205.[6] D. Rolfsen, Knots and Links, Mathematics Lecture Series, Vol. 7, Publish or Perish, 1976.815

Un invariant d'isotopie lisse pour des surfaces dans une variété de dimension 4

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