Christophe Berthon

Berthon, Christophe

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C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 1069–1072Analyse numérique/Numerical Analysis(Problèmes mathématiques de la mécanique/Mathematical Problems in Mechanics)Schéma nonlinéaire pour l’approximation numériqued’un système hyperbolique non conservatifChristophe BerthonMAB, UMR 5466, Université Bordeaux I, 351, cours de la libération, 33400 Talence, FranceReçu le 4 juin 2002 ; accepté après révision le 25 octobre 2002Note présentée par Olivier Pironneau.Résumé Nous cherchons une approximation numérique des solutions discontinues de type onde dechoc d’un système hyperbolique non conservatif. Le système considéré est issue d’unemodélisation simplifiée d’un écoulement bifluide. Les ondes de choc sont définies parl’introduction d’un tenseur de diffusion. Sur la base d’équations supplémentaires satisfaitespar les solutions du système, nous proposons un schéma de type volume fini consistant avecla définition des solutions discontinuesPour citer cet article : C. Berthon, C. R. Acad. Sci.Paris, Ser. I 335 (2002) 1069–1072. 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SASNonlinear scheme to approximate nonconservative hyperbolic systemAbstract We consider, for numerical approximations, a nonconservative hyperbolic system whicharises when modeled a bifluid flow. We introduce a diffusion tensor to define thediscontinuous shock wave solutions and we exhibit additional laws satisfied by the smoothsolutions. Arguing the additional laws, we propose a numerical method shown to beconsistant with the definition of discontinuous solutions.To cite this article: C. Berthon,C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 1069–1072. 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS1. IntroductionNous nous intéressons à l’approximation numérique des solutions faibles du système non conservatifsuivant : ∂tu + ∂x u22+ u∂xv = 0,∂tv + ∂x v22+ v∂xu = 0,(1)où les étatsW = t (u, v) appartiennent à l’ouvert	 = {W ∈ R2; u + v > 0}. Ce système peut être compriscomme un modèle simplifié d’écoulement bifluide oùu et v désignent la vitesse de chaque constituant. Lesystème (1) pourra par exemple être trouvé dans Castro et al. [2] où les auteurs s’intéressent à la simulationnumérique d’écoulement bifluide en eau peu profonde.Adresse e-mail :berthon@math.u-bordeaux.fr (C. Berthon). 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservésS1631-073X(02)02615-8/FLA 1069C. Berthon / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 1069–1072Concernant l’algèbre relative à (1), nous avons :LEMME 1.1. – Le système(1) est hyperbolique sur	. Il admet les valeurs propres0 et u + v,respectivement associé à un champs linéairement dégénéré et vraiment non linéaire. Les vecteurs propresassociés sont: t (1,−1) et t (u, v). De plus, les solutions régulières de(1) vérifient les loi de conservationsuivantes:∂tf (u + v) + ∂x(∫ u+vsf ′(s)ds)= 0, ∂tg(vu + v)= 0,oùf etg désignent des fonctions régulières deR dansR. En conséquence, l’application(u, v) → f (u+v),si elle est convexe, est une entropie de(1). L’application(u, v) → g(v/(u+ v)) ne peut jamais être convexequelque soitg ∈ C(R,R) non identiquement constante.Nous renvoyons à Godlewski et Raviart [4] ou Serre [9] pour les définitions des champs linéairementdégénéré et vraiment non linéaire ainsi que pour les propriétés qui en résultent. Notons que l’application(u, v) → f (u + v) ne peut jamais être strictement convexe.L’objectif de ce travail est l’approximation numérique des solutions discontinues de type onde de choc.A la différence des systèmes conservatifs, les solutions choc font, ici, intervenir les produitsu∂xv et v∂xuavecu et v discontinues. Ainsi, après Dal Maso, LeFloch et Murat [3], Raviart et Sainsaulieu [7] ouSainsaulieu [8], la seule donnée du problème (1) est insuffisante pour définir les solutions onde de choc.Suivant [1] et [7], nous ajoutons au système des termes de diffusion du second ordre :∂tu + ∂x u22+ u∂xv = ε1∂2xx(u + v), ε1 > 0,∂t v + ∂x v22+ v∂xu = ε2∂2xx(u + v), ε1 > 0.(2)Notons, dès à présent, que les solutions faibles définies ci-dessous dépendent du choix du tenseur dediffusion. Le choix, ici proposé, esta priori arbitraire. Cependant, par analogie avec les modèles multifluideprésents dans la littérature (cf. [8] par exemple), nous avons volontairement imposé une propriété dedégénérescence pour la diffusion.2. Solutions onde progressive et lois supplémentairesSuivant [1] ou [7], les solutions onde progressives de (2) sont considérées. Ces solutions (régulières,bornées) sont de la formeW(x, t) = W̃(x −σ t) oùσ est la vitesse de propagation. De plus,W̃ est assujetieà W̃(±∞) = W± ∈ 	. Il est immédiat queW est solution de (2) sĩW est solution de−σ dξ ũ + ũdξ ũ + ũdξ ṽ = ε1 d2ξξ (ũ + ṽ),−σ dξ ṽ + ṽ dξ ṽ + ṽ dξ ũ = ε2 d2ξξ (ũ + ṽ).(3)De telles solutions conduisent à définir les solutions choc de (1) comme limites des solutions de (2) lorsquel’opérateur de diffusion tend vers 0. En effet, siW̃ est solution de (3), alors̃Wδ(ξ) = W̃(ξ/δ), δ > 0, sontsolutions (régulières, bornées) de (3) oùεi sont remplacés parδεi . De plus, lorsqueδ tend vers 0, la suiteW̃δ converge dans L1loc(R) fortement vers la fonction discontinueW0(x, t) =W−, si x < σt,W+, si x > σt.(4)Suivant [8], la fonctionW0 est une solution faible de (1) compatible avec le tenseur de diffusion choisi.Concernant l’existence des solutions onde progressive, nous avons :1070Pour citer cet article : C. Berthon, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 1069–1072THÉORÈME 2.1. –Soit W− ∈ 	 un état donné etσ une constante réelle telle queσ < u− + v−.Alors il existe un unique étatW+ et une unique(à une translation près) solution,W̃, de (3) qui vérifieW̃(±∞) = W±. Si de plus,u− + v− < 2σ alors W̃(ξ) ∈ 	 pour toutξ ∈ R.En réalité, il est possible de préciser l’étatW+ puisqu’un simple calcul nous donne :v+ = ε2ε1 + ε2 (2σ − u− − v−) +ε1v− − ε2u−ε1 + ε2 e2−2(u−+v−)/σ ,u+ = 2σ − u− − (v− + v+).Il est alors aisé de constater que l’étatW+ dépend du rapportε2/ε1 (cf. [1,8] ou encore LeFloch [6]).Nous complétons ce résultat en précisant les inégalités d’entropie énoncées dans le Lemme 1.1 :THÉORÈME 2.2. – SoitW ∈ 	 une solution régulière de(2). Alors,W satisfait les lois supplémentairessuivantes:∂t (u + v) + ∂x (u + v)22= (ε1 + ε2)∂2xx(u + v), (5)∂t(vu + v)=(ε2ε1 + ε2 −vu + v)ε1 + ε2u + v ∂2xx(u + v). (6)Il en résulte la relation suivante:∂t(vu + v)=(ε2ε1 + ε2 −vu + v){∂t ln(u + v) + ∂x(u + v)}. (7)Remarquons queu + v vérifie l’équation de Burgers et donc que notre modèle simplifé bifluide est enétroite relation avec le modèle le plus simple de la mécanique des fluides compressibles. Notons, également,que cette propriété satisfaite paru + v est vérifée quelque soit le choix du tenseur de diffusion sous formeconservative.3. Schéma volume fini nonlinéaireSur la base des lois supplémentaires établies dans le Théorème 2.2, nous proposons une discrétisationde (1) consistante avec le tenseur de diffusion en utilisant une discrétisation de (5)–(7). Sous la restrictionCFL txmax|uni + vni |  1 et en posantε = ε2/(ε1 + ε2), nous proposons :(un+1i + vn+1i) = (uni + vni ) − tx ni Fu+v, (8)(vn+1iun+1i + vn+1i)= ε −(ε − vniuni + vni)exp{ln(un+1i + vn+1iuni + vni)+ txni Fln(u+v)}, (9)ni F. = (F.)ni+1/2 − (F.)ni−1/2, (10)où (F.)ni+1/2 := F.(Wni ,Wni+1;t/x) désignent des fonctions flux numérique Lipschitz-continuesconsistantes :Fu+v(W,W;t/x) = (u + v)2/2 et Fln(u+v)(W,W;t/x) = u + v. De plus, le fluxnumériqueFu+v est choisi de sorte que le schéma (8), associé à l’équation de Burgers (5), soit monotoneentropique (cf. [4]). Il en résulte que siWni ∈ 	 pour touti ∈ Z, alorsWn+1i ∈ 	 pour touti ∈ Z.Une fois le schéma (8), (9) réécrit en terme des inconnues( , v), nous obtenons :un+1i = uni −tx(1− ε)ni Fu+v −(ε(uni + vni) − vni )(1− e− tx ni Fln(u+v)), (11)vn+1i = vni −txεni Fu+v +(ε(uni + vni) − vni )(1− e− tx ni Fln(u+v)), (12)1071C. Berthon / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 1069–1072Figure 1. – Approximation numérique de problèmes de Riemann avec une discontinuité initiale enx = 0 et pour lesétats gauche et droit : (a)(6,4) et (0.7,0.3) ; (b) (2,10) et (2,0.1). Représentation deu pour le flux de Lax–Friedrichsavec 500 cellules, CFL de 0.5 etε = 1/2.qui est une discrétisation non conservative de (1) en accord avec le Théorème 2.2. De plus, puisquele schéma (8) est entropique pour l’équation de Burgers, le schéma (11)–(12) est entropique pour lesystème (1) :1t(S(Wn+1i) − S(Wni )) + 1x (Gni+1/2 − Gni−1/2)  0,pour tout couple d’entropie(S,G) (cf. Lemme 1.1).A titre d’exemple, les résultats numériques présentés Fig. 1 sont comparés aux résultats obtenus parune discrétisation de (1) avec unQ-schéma (voir [2], par exemple, pour de plus amples détails). Notonssimplement que leQ-schéma pour (1) conduit à une discrétisation nonconservative de l’équation de Burgerssatisfaite paru + v. Nous en déduisons d’après Hou et LeFloch [5] que les solutions de type onde de chocapprochées par leQ-schéma ne peuvent pas converger vers les solutions discontinues (4) définies dansla section précédente. En conclusion, le schéma (11)–(12) conduit à une bonne résolution numérique dessolutions onde de choc (respect de l’amplitude et de la vitesse de propagation) malgrés l’apparition d’unundershootdans l’onde de contact.Références bibliographiques[1] C. Berthon, F. Coquel, Travelling wave solutions of a convective diffusive system with first and second order termsin nonconservation form, in: Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Applications, Vol. I, in: Internat. Ser. Numer.Math., Vol. 129, Birkhäuser, 1999, pp. 47–54.[2] M. Castro, J. Macas, C. Pars, AQ-scheme for a class of systems of coupled conservation laws with source term.Application to a two-layer 1-D shallow water system, Math. Model. Numer. Anal. 35 (1) (2001) 107–127.[3] G. Dal Maso, P. LeFloch, F. Murat, Definition and weak stability of a nonconservative product, J. Math. PuresAppl. 74 (1995) 483–548.[4] E. Godlewski, P.A. Raviart, Hyperbolic Systems of Conservations Laws, in: Appl. Math. Sci., Vol. 118, Springer,1996.[5] T.Y. Hou, P.G. LeFloch, Why nonconservative schemes converge to wrong solutions: error analysis, Math.Comp. 62 (206) (1994) 497–530.[6] P.G. LeFloch, An introduction to nonclassical shocks of systems of conservation laws, in: An Introduction to RecentDevelopments in Theory and Numerics for Conservation Laws, in: Lecture Notes Comput. Sci. Engrg., Vol. 5,Springer, 1999, pp. 28–72.[7] P.A. Raviart, L. Sainsaulieu, A nonconservative hyperbolic system modelling spray dynamics. Part 1. Solution ofthe Riemann problem, Math. Models Methods Appl. Sci. 5 (3) (1995) 297–333.[8] L. Sainsaulieu, Ondes progressives solutions de systèmes convectifs–diffusifs et systèmes hyperboliques nonconservatifs, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I 312 (1991) 491–494.[9] D. Serre, Systems of Conservation Laws. 1. Hyperbolicity, Entropies, Shock Waves, Cambridge University Press,1999.1072

Schéma nonlinéaire pour l'approximation numérique d'un système hyperbolique non conservatif

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