Guillaume Carlier

Thomas Lachand-Robert

Carlier, Guillaume

Lachand-Robert, Thomas

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques

C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 571–576Calcul des variations/Calculus of variationsReprésentation du cône polaire des fonctions convexeset applicationsGuillaume Carlier a, Thomas Lachand-Robert ba Université Bordeaux I, MAB, UMR CNRS 5460 et Université Bordeaux IV, GRAPE, UMR CNRS 5113,avenue L. Duguit, 33608, Pessac, Franceb Lab. de mathématiques, UMR CNRS 5127, Université de Savoie, 73376 Le Bourget-du-Lac cedex, FranceReçu le 25 février 2002 ; accepté après révision le 23 juillet 2002Note présentée par Pierre-Louis Lions.Résumé Suivant une idée de Y. Brenier, nous donnons une représentation du cône polaire del’ensembleK des gradients des fonctions convexes, à l’aide des applications qui conserventla mesure. Cette représentation peut être reformulée en termes de mesures doublementstochastiques et admet une caractérisation géométrique.Nous en déduisons une équation d’Euler–Lagrange et des résultats de régularitépour certains problèmes de minimisation posés dans l’ensembleK . Pour citer cetarticle : G. Carlier, T. Lachand-Robert, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 571–576. 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SASRepresentation of the polar cone of convex functions and applicationsAbstract Following Y. Brenier, we give a representation of the polar cone of the setK of thegradient of convex functions, implying the set of measure-preserving maps. This can also beformulated in terms of doubly stochastic measures, and has a geometrical characterization.We deduce an Euler–Lagrange equation and regularity results for some minimizationproblems in the setK . To cite this article: G. Carlier, T. Lachand-Robert, C. R. Acad. Sci.Paris, Ser. I 335 (2002) 571–576. 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SASAbridged English version1. Decomposition with gradients of convex functionsLet ⊂RN be convex and bounded. We denote by〈·, ·〉 the scalar product in the Hilbert space L2()NandK := {q ∈ L2()N : q = ∇u, with u convex}.Its polar cone is defined byK− := {p ∈ L2()N : 〈p,q〉  0, ∀q ∈ K}.Adresse e-mail : carlier@montesquieu.u-bordeaux.fr (G. Carlier).URL : http ://www.lama.univ-savoie.fr/~lachand. 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservésS1631-073X(02)02512-8/FLA 571G. Carlier, T. Lachand-Robert / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 571–576The polar cone is a standard tool in the calculus of variations. It can be used in minimization problemsonK, for instance the projection problem:Forq0 ∈ L2()N given, findq ∈ K such that‖q − q0‖L2()N = infq∈K ‖q − q0‖L2()N .(1)Here we can consider adual problem which is a minimization problem onK− (and a projection problemfor (1)). Minimizers of the dual problem play the role of generalized Lagrange multipliers.For this particular coneK, there exist several representations ofK−: see particularly [4]. The onepresented here use a very different approach; it is very much in the spirit of classical calculus of variations,allowing use of well-known methods. It also gives a more intuitive representation of elements ofK−, aswell as some geometrical interpretations, as expected when dealing with convex functions. For the proofsand additional details, we refer to [3].Let us first define the set of measure-preserving maps:S := {s :  →  : sdx = dx}.It is a semi-group for the composition law, whose neutral element is denoted by id. Here dx is the Lebesguemeasure andsdx is the measure defined by∫ ϕ(x)sdx =∫ ϕ(s(x))dx for anyϕ ∈ C0().This setS is of common use for mass-transportation problems, and Yann Brenier [1] proved that anyvector fieldq ∈ L2()N can be written in the formq = ∇u ◦ s, with u convex ands ∈ S. We will now givea different decomposition. Let us first write a characterization ofK−:THEOREM 1. –The set K− is closed and convex; it is the closure (in L2()N ) of the cone generated byS − id:K− = cone(S − id) = R+co(S − id).This theorem follows directly from a property proved by Yann Brenier (see [1] and [3]):PROPERTY 1. – Let q ∈ X. Then q ∈ K if and only if 〈q, s − id〉  0, ∀s ∈ S.Indeed, this property can be written asK = (S − id)− = (R+co(S − id))−. Taking the polar cone of eachterm gives the theorem.This yields the promised decomposition:THEOREM 2. – Let q0 ∈ L2()N . There exists a unique p ∈ R+ co(S − id) and a unique convexfunction u (up to an additive constant) such that q0 = ∇u + p and 〈p,∇u〉 = 0.This is a classical result;∇u = q is the solution of (1) andp is the projection ofq0 onK−.2. A geometrical representationLet us give some links between the abstract decomposition given in Theorem 2 and the geometricalproperties associated with convex functions.We recall that any convex functionu has a closed epigraph (in×R): epiu = {(x, t) ∈ ×R; t  u(x)}(see, for instance, [5] for this property and the following ones). As any convex set with dimensionN + 1,that one can be partitioned in relatively open convex faces with dimensions varying from 0 toN + 1. Theonly face with dimensionN + 1 is the interior of the epigraph{(x, t); t > u(x)}. The projection of allother faces define a partition of into relatively open convex subsets, which we call “faces ofu”. Faces ofdimensionN are open convex subsets where the gradient ofu is well-defined and constant. For the other572Pour citer cet article : G. Carlier, T. Lachand-Robert, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 571–576faces, the gradient does not always exists, but the subdifferential∂u s constant. Hence the “faces ofu” arein some sense the “level sets” of∂u.Let us noteFu(x) the convex face ofu containingx. It is easy to prove thaty ∈ Fu(x) if and only ifu(y) = u(x) + ξ · (y − x), ∀ξ ∈ ∂u(x).THEOREM 3. – Let q0 ∈ L2()N , q /∈ K , so that in the decomposition q0 = ∇u+p given by Theorem 2,we have p = 0. We have then p = λ(τ − id) with λ > 0 and τ ∈ coS. Then for almost every x ∈  we haveu(τ (x)) = u(x) + ∇u(x) · (τ (x) − x), (2)meaning that τ (x) ∈ Fu(x).3. Doubly stochastic measuresAnother way to express thatτ ∈ coS is to write it as themoment of a doubly stochastic measure γ on × , that is, a Radon-measure such that∫∫ f (x)dγ (x, y) = ∫∫ f (y)dγ (x, y) = ∫ f for any boundedcontinuous functionf on. Such a measure has a disintegration{µx}x∈, so we have:τ (x) =∫y dµx(y), and ∀f ∈ C0(),∫(∫f (y)dµx(y))dx =∫f (x)dx. (3)Theorem 3 can be expressed as follows: for almost everyx, Supp(µx) ⊂ ∂u∗(∇u(x)), or moreexplicitely:u(y) = u(x) + ∇u(x) · (y − x), µx-a.e.y ∈ . (4)4. ApplicationsAs an application of this representation ofK−, we consider the problem (1), or a more general one:infu convex∫g(x,∇u(x))dx. (5)We can now write an Euler–Lagrange equation for this problem, and deduce a continuity property for thesolutions:THEOREM 4. –Let g :  × RN → R be continuous and continuously differentiable with respect to itssecond variable. If u solves (5), then there exists p ∈ R+ co(S − id) such that∂g∂q(x,∇u) + p = 0. (6)If p = 0, then p = λ(τ − id) with λ > 0 and τ ∈ coS is such that u is affine between x and τ (x) for almostevery x .Moreover if ∂g∂q(x, q) is strictly monotone with respect to q for every x (i.e., ( ∂g∂q(x, q1)− ∂g∂q (x, q2)) ·(q1−q2) > 0 for all (q1, q2) ∈ RN with q1 = q2), then u is of class C1 on . That implies that τ is continuousand (2) holds for any x .In particular, we see that the projection problem (1) has a continuous solutionq = ∇u wheneverq0 iscontinuous.573G. Carlier, T. Lachand-Robert / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 571–576The proof of this regularity property makes a direct use of the Euler–Lagrange equation (6) and of theintegral representationτ in (3): we refer to [3]. Hence it is a very different approach from the direct methodsused in [2] to prove similar results.1. Décomposition avec les gradients des fonctions convexesSoit ⊂RN un ouvert borné et convexe. Nous notons〈·, ·〉 le produit scalaire dans l’espace de HilbertL2()N etK := {q ∈ L2()N : q = ∇u, avecu convexe}.Soncône polaire est défini parK− := {p ∈ L2()N : 〈p,q〉  0, ∀q ∈ K}.Le cône polaire est un outil classique du calcul des variations ; lorsqu’on s’intéresse à un problème deminimisation dansK, comme par exemple le problème de projection :Pourq0 ∈ L2()N donné, trouverq ∈ K tel que‖q − q0‖L2()N = infq∈K ‖q − q0‖L2()N ,(1)on peut utiliser unproblème dual qui est encore un problème de minimisation, mais sur le cône polaire (etqui est une projection lorsque le problème primal en est un). Le ou les minimiseurs de ce problème dualjouent le rôle d’un « multiplicateur de Lagrange généralisé ».Dans le cas particulier qui nous intéresse, oùK est l’ensemble des gradients des fonctions convexes,plusieurs tentatives ont été faites pour donner une représentation commode deK− : voir notamment [4].Celle que nous présentons ici est basée sur une approche très différente ; celle-ci est particulièrementconforme à l’esprit du calcul des variations, permettant d’utiliser des méthodes qui ont fait leur preuvesdepuis longtemps. Mais elle donne également une représentation (assez) « intuitive » des éléments deK−ainsi qu’une connection avec l’aspect géométrique naturellement associé aux fonctions convexes. Pour lesdémonstrations et différents détails supplémentaires, nous renvoyons à [3].Pour définir cette caractérisation, nous introduisons l’ensemble des applications qui préservent lamesure :S := {s :  →  : sdx = dx}.Il s’agit d’un semi-groupe de composition dont on notera id l’élément neutre. Ici dx est la mesure deLebesgue etsdx est la mesure définie par∫ϕ(x)sdx = ∫ϕ(s(x))dx pour toutϕ ∈ C0().Cet ensembleS est couramment utilisé dans les problèmes de transport de masse, et Yann Breniera démontré que tout champ de vecteurq ∈ L2()N se décompose sous la formeq = ∇u ◦ s, avecuconvexe ets ∈ S. Nous allons ici donner un décomposition différente. Pour cela, nous donnons d’abordune caractérisation deK− :THÉORÈME 1. –L’ensemble K− est fermé et convexe ; c’est l’adhérence (dans L2()N ) du côneengendré par S − id :K− = cone(S − id) = R+ co(S − id).Ce théorème est une conséquence immédiate de la propriété suivante de Yann Brenier (voir [1] et [3]) :PROPRIÉTÉ 1. – Soit q ∈ X. Alors q ∈ K si et seulement si 〈q, s − id〉  0, ∀s ∈ S.574To cite this article: G. Carlier, T. Lachand-Robert, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 571–576En effet, nous pouvons abréger cette proposition sous la formeK = (S − id)− = (R+co(S − id))−. Enprenant le cône polaire de part et d’autre, on obtient bien le résultat du théorème.Nous en déduisons la décomposition annoncée :THÉORÈME 2. – Soit q0 ∈ L2()N . Il existe un unique p ∈ R+co(S − id) et une unique fonctionconvexe u (à l’addition d’une constante près) telles que q0 = ∇u + p et 〈p,∇u〉 = 0.Cette décomposition est un résultat classique ;∇u = q est la solution de (1) etp est la projection deq0surK−.2. Une représentation géométriqueLes fonctions convexes sont naturellement associées aux ensembles convexes et à de nombreusespropriétés géométriques. Nous cherchons ici à faire le lien en ces représentations classiques et ladécomposition abstraite donnée dans le Théorème 2.Nous rappelons que toute fonction convexeu a un épigraphe convexe fermé (dans × R) : epiu ={(x, t) ∈  × R; t  u(x)} (voir par exemple [5] pour cette propriété et les suivantes). Comme toutensemble convexe de dimensionN +1, celui-ci admet une partition en faces convexes relativement ouvertesde dimensions variant de 0 àN + 1. L’unique face de dimensionN + 1 est l’intérieur de l’épigraphe{(x, t); t > u(x)}. Les projections des faces de dimensions inférieures définissent une partition de enensembles convexes relativement ouverts, que nous appelerons les « faces deu ». Les faces de dimensionsN sont des sous-ensembles ouverts convexes où le gradient deu est bien défini et constant. Sur les autresfaces, le gradient n’est pas forcément bien défini, mais par contre le sous-différentiel∂u est constant. Ainsiles « faces deu » peut être vues commes les « lignes de niveau » de l’application ensembliste∂u.Nous noteronsFu(x) la face convexe deu contenantx. Il est facile de montrer quey ∈ Fu(x) si etseulement siu(y) = u(x) + ξ · (y − x), ∀ξ ∈ ∂u(x).THÉORÈME 3. – Soit q0 ∈ L2()N , q /∈ K , de sorte que dans la décomposition q0 = ∇u+p donnée auThéorème 2, on a p = 0. On a donc p = λ(τ − id) avec λ > 0 et τ ∈ coS. Alors pour presque tout x ∈ on au(τ (x)) = u(x) + ∇u(x) · (τ (x) − x), (2)c’est-à-dire que τ (x) ∈ Fu(x).3. Mesures doublement stochastiquesUne autre façon d’exprimer le fait queτ ∈ coS est de l’écrire comme lemoment d’une mesuredoublement stochastique γ sur × , c’est-à-dire d’une mesure de Radon telle que∫∫ f (x)dγ (x, y) =∫∫f (y)dγ (x, y) = ∫ f pour toute fonctionf continue et bornée sur. Une telle mesure admet unedésintégration{µx}x∈, et l’on a doncτ (x) =∫y dµx(y), et ∀f ∈ C0(),∫(∫f (y)dµx(y))dx =∫f (x)dx. (3)L’équivalent du Théorème 3 s’exprime alors sous la forme : pour presque toutx, Supp(µx) ⊂∂u∗(∇u(x)), ou plus explicitement :u(y) = u(x) + ∇u(x) · (y − x), µx-a.e.y ∈ . (4)575G. Carlier, T. Lachand-Robert / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 571–5764. ApplicationsComme application de cette représentation deK−, nous considérons le problème (1), ou plus générale-ment :infu convexe∫g(x,∇u(x))dx. (5)Nous pouvons écrire une équation d’Euler pour ce problème, et en déduire une propriété de continuitéde la solution :THÉORÈME 4. –Soit g : ×RN → R continue et continûment différentiable par rapport à sa deuxièmevariable. Si u est une solution de (5), alors il existe p ∈ R+ co(S − id) tel que∂g∂q(x,∇u) + p = 0. (6)Si p = 0, alors p = λ(τ − id) avec λ > 0 et τ ∈ coS est tel que u est affine entre x et τ (x) pour presquetout x .De plus, si ∂g∂q(x, q) est strictement monotone par rapport à q pour tout x (i.e. ( ∂g∂q(x, q1) − ∂g∂q (x, q2)) ·(q1 − q2) > 0 pour tout (q1, q2) ∈ RN tel que q1 = q2), alors u est de classe C1 sur . De ce fait τ estaussi continue et (2) a lieu pour tout x .En particulier, dans le problème de projection (1), on voit que le projetéq = ∇u est continu siq0 estcontinu.La preuve de ce résultat de régularité utilise de manière directe l’équation d’Euler–Lagrange (6) et lareprésentation intégrale deτ dans (3) : voir [3]. Il s’agit donc d’une approche très différente des méthodesdirectes utilisées par exemple dans [2] pour obtenir des résultats similaires.Références bibliographiques[1] Y. Brenier, Polar factorization and monotone rearrangement of vector-valued functions, Comm. Pure Appl.Math. 44 (4) (1991) 375–417.[2] G. Carlier, T. Lachand-Robert, Regularity of solutions for some variational problems subject to convexity constraint,Comm. Pure Appl. Math. 54 (2001) 583–594.[3] G. Carlier, T. Lachand-Robert, Representation of the polar cone of convex functions and applications, to appear.[4] P.-L. Lions, Identification du cône dual des fonctions convexes et applications, C. R. Acad. Sci. Paris (1998).[5] R.T. Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, 1970.576

Représentation du cône polaire des fonctions convexes et applications

Comptes Rendus Mathématique

http://www.numdam.org/item/10.1016/S1631-073X(02)02512-8.pdf

Représentation du cône polaire des fonctions convexes et applications

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques

Comptes Rendus Mathématique