Florin Soucaliuc

Comptes Rendus Mathématique

C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 1119–1124Probabilités/Probability TheoryRéflexion entre deux diffusions conjuguéesFlorin SoucaliucLaboratoire de mathématiques, bât. 425, Université Paris-Sud,91405 Orsay, FranceReçu le 14 mars 2002 ; accepté le 14 mars 2002Note présentée par Marc Yor.Résumé Nous avions observé dans un travail précédent qu’un mouvement brownien réfléchi sur unmouvement brownien rétrograde indépendant est encore un mouvement brownien. Nousprésentons ici la généralisation de ce résultat à des couples de diffusionsconjuguées(qui sont aussidualesau sens de Siegmund).Pour citer cet article : F. Soucaliuc, C. R.Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 1119–1124.  2002 Académie des sciences/Éditionsscientifiques et médicales Elsevier SASReflection between two conjugate diffusionsAbstract We observed, in a previous work, that Brownian motion reflected on an independent time-reversed Brownian motion is again Brownian motion. We present the generalisation of thisresult to pairs of conjugate diffusions (which are also dual, in the sense of Siegmund).Tocite this article: F. Soucaliuc, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 1119–1124.  2002Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SASAbridged English versionDenote byEx(σ, b) thestochastic differential equation(SDE)dX(t)= σ(X(t))dB(t)+ b(X(t))dt(in dimension 1) with starting pointX0 = x. Its solution is a diffusion associated with the infinitesimalgeneratorG of coefficientsa andb (i.e.,Gf = af ′′ + bf ′) wherea := 12σ 2. Assumea is C1-continuous.Theconjugatediffusion is by definition associated with the generatorG∗ of coefficientsa andb∗, whereb∗ := a′ − b.Consider the followingSDE with reflectionon a continuous “barrier” curveZ:dX(t)= σ(X(t))dB(t)+ b(X(t))dt + dL(t),denoted byREx(σ, b) when the starting point isX0 = x. Here the time interval is[0,1] and the barrierZ = (Z(t), 0  t  1) is any continuous curve inR. Z may also berandombut is then assumed to beindependentof the Brownian motionB driving the “reflected diffusion”X. We say that a pair of continuousprocesses(X,L) is a solution ofREx(σ, b) with barrierZ if– X0 = x and for 0 t  1,Xt =X0 +∫ t0 σ(Xs)dBs +∫ t0 b(Xs)ds +Lt ;– If x > Z0 (resp.x < Z0), thenL is non-decreasing(resp.non-increasing) andXt  Zt (resp.Xt  Zt )for 0  t  1; and, in both cases,∫ 10 1(Xt 	=Zt ) dLt = 0.Adresse e-mail :Florin.Soucaliuc@math.u-psud.fr (F. Soucaliuc). 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservésS1631-073X(02)02376-2/FLA 1119F. Soucaliuc / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 1119–1124We assume thata ≡ σ 2/2 is C1-continuous and does not vanish onR (i.e., a(x) > 0 for all x ∈ R),and thatb is continuous. We also assume that, for anyx ∈ R, path uniqueness holds forREx(σ, b) andREx(σ, b∗), and there exists a solution for the SDEEx(σ, b), resp.Ex(σ, b∗). (For example, path uniquenessholds forREx(σ, b) if b est Lipschitz-continuous and ifσ is Höldér-continuous of index 1/2.) One maythen define (uniquely) the following solutions (x andz are two fixed points inR):– (X,L) is a solution ofREx(σ, b) with barrierZ, and on the other handZ is a time-reversed1 solutionof Ez(σ, b∗);– (Z′,L′) is a time-reversed solution ofREz(σ, b∗) with barrierX̌′, and on the other handX′ is a solutionof Ex(σ, b).THEOREM. – Under the above assumptions, the two pairs of processes(X,Z) and (X′,Z′) have thesame law.In particular,X is a diffusion associated with (a generator of coefficients)a = σ 2/2 andb, andZ′ isa time-reversed diffusion associated witha andb∗. Our central case is concerned with pairs of conjugatesquared Bessel processes (i.e., of respective dimensionsδ and 2− δ).1. IntroductionSoit un mouvement brownienB = (B(t),0  t  1) issu d’un pointB(0)= x deR, et soit d’autre partgune courbe quelconque de C[0,1] (l’espace des fonctions continues de[0,1] dansR), telle queg(0) 	= x.Supposons tout d’abord queg(0) < x. La réflexion(au sens de Skorokhod) deB sur la « barrière »g estalors l’unique processuscontinuX = (X(t), 0 t  1) tel que, en posantL :=X−B, on ait(i) X(0)= x etX(t) g(t) pour tout 0 t  1 ;(ii) Le processusL= (L(t), 0  t  1) est (continu) croissant et∫ 10 1X(t) 	=g(t)dL(t)= 0.Heuristiquement, on conçoitX ≡ B+L comme un mouvement brownien « perturbé » aux seuls instants oùil touche la barrièreg par l’addition de « poussées » dL(t), et contraint de cette façon de rester « du mêmecôté » deg.Le lemme de Skorokhod (voir par exemple [6]) montre que le processusX (que nous noteronsBg dansla suite) est déterminé par la description précédente et qu’il peut aussi être décrit de façon explicite parBg(t)= B(t)+ sup0st(B(s)− g(s))− (1)(a− désigne la partie négative du nombre réela). On étend de façon symétrique et similaire la définitiondeBg au cas oùg(0) > x.Soit β = (β(t), 0  t  1) un mouvement brownienrétrogradeissu d’un pointβ(1)= x ′ (c’est-à-dire,(β(1− t), 0  t  1) est un mouvement brownien issu dex ′) indépendant deB. Dans l’article [10], nousavons observé queBβ est lui-même un mouvement brownien. E fait, il s’avère queB etβ jouent des rôlessymétriques : si on considère de plus la réflexionrétrograde(i.e. effectuée « à rebours ») deβ surB —notons-laβB — alors les lois des couples(Bβ,β) et (B,βB) sont identiques. Dans [10], la preuve (simple)procède par « discrétisation » : un argument combinatoire permet d’observer une identité en loi analoguelorsque les mouvements browniens sont remplacés par des marches aléatoires discrètes, puis le résultat s’endéduit par passage à la limite. Dans [9], des preuves alternatives sont proposées directement dans le cadre« continu », au moyen de calculs explicites de certaines lois et d’une idée de réflexion bidimensionnelle.L’objet de cette Note est de présenter la généralisation de ce résultat au cas oùB et β sont remplacéspar des diffusions. Dans ce cas, comme nous allons le voir, il faut que ces diffusions soientconjuguées(ouencoreduales, au sens de Siegmund). Notons que les preuves proposées dans [10,9] ne se généralisent passimplement au-delà du cas des mouvements browniens : une expression « simple » telle (1) par exemplen’existe plus. Les preuves détaillées des résultats généralisés se trouvent dans la thèse [11].1120Pour citer cet article : F. Soucaliuc, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 1119–11242. Diffusions réfléchiesLeséquations différentielles stochastiques(EDS)avec réflexionont fait depuis Skorokhod [8] l’objet denombreuses études sous des angles divers (e.g., [1,2,4]). Leur prototype correspond généralement à une« EDS » formelle du typedX(t)= σ(X(t))dB(t)+ b(X(t))dt + dL(t), (2)dont une solutionX est un processus continu issu d’un point prescritX(0) = x et sous la contrainte depropriétés trajectorielles pourX,L et et la barrière (donnée)g comme dans le paragraphe précédent (parexemple, dans le cas oùx > g(0), les conditions (i), (ii)).Un formalisme possible (inspiré pour l’essentiel de [5] et [3]) est le suivant. Par uncontexte(set-upenanglais){(,F, (Ft )0tT ,P ),B; (U,Z)}(3)on entendra que :(,F , (Ft ),P ) est un espace de probabilité filtré satisfaisant lesconditions habituelles(cf. e.g. [5]) etB = (Bt ,0  t  T ) est un(Ft )-mouvement browniensur cet espace ; de plus, le couple(U,Z) (où Z = (Zt , 0  t  T )) est une variable aléatoireF0-mesurablesur (,F ,P ) à valeurs dans{(x, g); x ∈ R, g ∈ C[0, T ], g(0) 	= x}.On appelle le couple(U,Z) lesconditions initialesdu contexte :U etZ correspondent respectivementà la position initiale (de la « diffusion réfléchie »X) et à la courbe-barrière, et ce sont desdonnéesduproblème, tout comme les coefficientsσ et b (mesurables, localement bornés). L’EDS avec réflexionassociée sera désignée parRE(σ, b). Plus précisément, par unesolution (X,L) de RE(σ, b) on entendla donnée d’uncontexte(3), et sur (,F , (Ft )0tT ,P ) d’un couple de processus réels continus,(Ft )t -adaptés((Xt ,Lt ), 0  t  T ), tels que, p.s.,– X0 =U et pour 0 t  T , Xt =X0 +∫ t0 σ(Xs)dBs +∫ t0 b(Xs)ds +Lt ;– Si X0 > Z0 (resp.X0 < Z0), alorsL est non-décroissant(resp.non-croissant) et Xt  Zt (resp.Xt  Zt ) pour 0 t  T ; dans tous les cas,∫ T0 1(Xt 	=Zt ) dLt = 0.On peut alors étendre les notions d’existence/unicité faible/forte, unicité trajectorielle dans ce formalisme[11] de manière similaire à leurs homonymes en théorie des EDS sans réflexion. De même, on peut montrerpour les EDS avec réflexion :– l’existence et unicité d’une solution forte dans le cas des coefficients lipschitziens(celle-ci pouvant seconstruire par la méthode des approximations successives de Picard) ;– le théorème de Yamada–Watanabe, assurant en particulier que l’unicité trajectorielle impliquel’unicité en loi;– l’unicité trajectorielle pourσ höldérien d’indice supérieur ou égal à1/2 etb lipschitzien(permettantnotamment de traiter le cas des processus de Bessel) ;– l’existence faible d’une solution pour des coefficients continus bornés avecσ > 0.Accessoirement un théorème d’approximation de solutions d’EDS avec réflexionpar des processusdiscrets peut être établi. Les preuves de ces résultats sont essentiellement une réécriture de celles du cadreclassique (i.e. de la théorie des EDS sans réflexion). Elles se trouvent dans [11], mais il est fort probablequ’elles aient été rédigées sous une forme voisine (ou dans des cas particuliers) auparavant.3. Réflexion entre diffusions conjuguéesUne solutionY de l’EDS « classique » (sans réflexion)dYt = σ(Yt )dBt + b(Yt )dt (4)est une diffusion de générateur infinitésimalG de coefficientsa et b :Gf (x)= a(x) d2fdx2(x)+ b(x)dfdx(x), (5)1121F. Soucaliuc / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 1119–1124où a := 12σ 2. Supposonsa de classe C1. La diffusionconjuguée(cf. [12]) est alors par définition associéeau générateurG∗ de coefficientsa etb∗, oùb∗(x)= a′(x)− b(x). On désignera parE(σ,b) l’EDS (4), parEy(σ, b) si la position initialeY0 = y était prescrite. Pour simplifier on se limite dorénavant, sans perte degénéralité, au casT = 1.Dans le théorème suivant, on supposera quea ≡ σ 2/2 est de classe C1 et ne s’annule pas surR (i.e.a(x) > 0 pour toutx ∈ R), et queb est continu. On suppose qu’il y a unicité trajectorielle pourRE(σ, b) etresp.RE(σ, b∗), et que pour toutx ∈ R il existe une solution de l’EDS classiqueEx(σ, b), resp.Ex(σ, b∗).Notons que la condition d’unicité trajectorielle pourRE(σ, b) est satisfaite dès lors queb estlipschitzienne (i.e.|b(x)− b(x ′)| K|x − x ′| pour unK > 0 et tousx, x ′ ∈ R) et queσ vérifie∣∣σ(x)− σ(x ′)∣∣2  ρ(|x − x ′|) pour tousx, x ′ ∈ R,où ρ est une fonction borélienne surR+ qui envoye]0,+∞[ dans lui-même et vérifiant∫0+ ρ(u)−1 du= +∞ (par exempleσ höldérienne d’indice supérieur ou égal à 1/2).On peut alors affirmer que les équationsRE(σ, b), et RE(σ, b∗), ainsi queE(σ,b) et E(σ,b∗) sontexactes. 2 On peut donc définir les deux solutions suivantes (x et z désignant deux points fixés deR) :– (X,L) est solution deRE(σ, b) relativement à un certain contexte de condition initiale(x,Z), et parailleursZ est solution rétrograde deEz(σ, b∗) ;– (Z′,L′) est solution rétrograde deRE(σ, b∗) relativement à un certain contexte de condition initiale(z, X̌′), et par ailleursX′ est solution deEx(σ, b).Par solutionrétrogradeon entend tout simplement ler tournementdans le temps d’une solution. Plusprécisément, si(X,L) est solution deRE(σ, b) associée à un contexte (3), alors on dira que(X̌, Ľ) estsolutionrétrogradede la même équation (et relativement au même contexte), ou pour toute fonctionf (t)de C[0,1] on désigne pařf la fonctionf̌ : t → f (1− t). De même siY est solution deEy(σ, b)) alors ondira queY̌ est solutionrétrogradede la même équation.THÉORÈME 3.1. – Sous les hypothèses précédentes, on a l’identité en loi suivante:((Xt ,Zt ), 0  t  1)(en loi)= ((X′t ,Z′t ), 0  t  1). (6)En particulier,X est une diffusion associée à (un générateur de coefficients)a = σ 2/2 etb, etZ′ est unediffusion rétrograde associée àa etb∗.Une motivation pour étudier ces problèmes provient du lien avec certains processus auto-répulsifs quisont limite d’échelle de marches aléatoires renforcées discrètes [12]. Les limites ont alors des propriétésd’invariance par changement d’échelle, et ceci amène naturellement à considérer le cas où les diffusionsen jeu sont descarrés de processus de Bessel(e.g., [5]), c’est-à-dire queσ(x)= 2√x (sur l’espace d’états[0,+∞)) et b(x)= δ, où δ ∈ R correspond à la dimension. À cause de la forme de l’espace des états unecondition de réflexion/absorption au point frontière 0 est maintenant nécessaire. Dans l’enoncé suivant ondésigne par l’abréviation BESQδ un carré de processus de Bessel de dimensionδ ∈ R et on suppose queδ < 2.THÉORÈME 3.2. – Considérons un couple(X,Z) qui est tel queZ est un BESQ2−δ rétrogradeet queXest un BESQδ indépendantréfléchi surZ etabsorbé en 0. Considérons, d’autre part, la situation symétriquequi consisterait à inverser les rôles du BESQδ et resp. du BESQ2−δ : c’est-à-dire, on suppose cette fois quequeX′ est un BESQδ absorbé en 0, et queZ′ est un BESQ2−δ rétrograderéfléchi surX̃. On a alors l’identitéen loi suivante:(X,Z)(en loi)= (X′,Z′). (7)Ci-dessus, les points dont sont issus les processus sont respectivementX0 = X′0 = a et Z1 = Z′1 = a′,aveca, a′ deux points quelconques deR+. En particulier, les diffusions réfléchiesX etZ′ sont elles-mêmesdes carrés de processus de Bessel (X est un BESQδ absorbé en 0, etZ′ est un BESQ2−δ rétrograde).1122To cite this article: F. Soucaliuc, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 1119–1124Avec δ = 1 on retrouve le cas des mouvements browniens de l’introduction (sous une condition deréflexion/absorption en 0,cf. [10]).La notion de conjugaison rejoint celle deualitéau sens de Siegmund [7]. Deux diffusionsX etY sontduales au sens de Siegmund si la relationP(X(T ) > a′ |X(0)= a) = P (Y (T ) < a | Y (0)= a′) (8)est valable pour tousa, a′ ∈ R et T > 0. (En fait, cette notion se réfère chez Siegmund uniquementà des diffusions positives, donca, a′ sont limités àR+ et à (8) correspond alors une condition deréflexion/absorption en 0 ; il en est d’ailleurs de même pour la notion de dualité chez Tóth [12].) L’identité(p.s.) triviale{X(T ) > a′} = {Z(0) < a} dans le Théorème 3.1 montre queX etY = Ž sont nécessairementduales. On constate ainsi l’identificationconjugaison-dualité: on atteint la généralisation « maximale »envisageable pour notre résultat de départ (le cas des mouvements browniens rappelé dans le premierparagraphe).Une observation concernant les preuves des Théorèmes 3.1 et 3.2.– Ces preuves sont basées sur desconstructions comme limites d’approximations discrètes. Pour prouver l’équivalent discret de l’identité enloi (6), l’argument est similaire à celui déjà employé dans le cas des mouvements browniens [10], mais ils’avère qu’il n’est appliquable qu’à des processus discrets du type« marches aléatoires »(i.e. ne faisant quedes sauts de 1 ou−1 modulo changement d’echelle). Les résultats d’approximations discrètes mentionnésdans la section prédédente (qui utilisent des processus discrets faisant des pas de+1, −1, ou 0), doiventdonc être spécialisés de manière à éviter les sauts nuls. Notons que, déjà pour une diffusion (sans réflexion)de générateur (5) « convenable », il est relativement facile de l’approcher par des chaînes de MarkovSNfaisant seulement des pas de+1, −1, ou 0 (il suffit de faire en sorte que(pNx + qNx)/2 → a(x) et √N(pNx − qNx) → b(x) quandN → ∞,oùpNx , qNx et rNx = 1 − pNx − qNx désignent les probabilités d’une transition dex versx + 1√N , x − 1√Net resp.x pourSN , les instants des transitions étanttNi = iN , i = 0, 1, . . . ,N ) ; mais qu’en revanche celaest un peu plus délicat si on souhaite queSN soit unemarche aléatoire, c’est-à-dire, que des transitionsx → x soient exclues. (Si on prend simplementrx = 0 ci-dessus, on constate qu’une telle construction nepeut convenir qu’au cas oùa est constant, à cause depNx + qNx ≡ 1.) Pour dépasser cette restriction onutilise l’expédient suivant. On fait pour les probabilités de transition de la marche aléatoireSN un choixjudicieux,différentsur les tempspairsde celui sur les tempsimpairs. Alors, en regardantSN seulement surles instants pairs, on observe une chaîne de Markov faisant des pas de+1, −1, ou0 (modulo changementsd’échelle) ce qui nous ramène au cas où on sait assurer la convergence faible vers la diffusion souhaitée.1 For any continuous pathf the time-reversedpathf̌ is defined asf̌ : t → f (1− t).2 RE(σ, b∗) est diteexactesi pour tout contexte (3) il existe (à indistinguabilité près) exactementune solutionassociée à ce contexte (cf. [5] pour la notion correspondante dans le cadre classique).Références bibliographiques[1] E. Cépa, Problème de Skorokhod multivoque, Ann. Probab. 26 (2) (1998) 500–532.[2] N. El Karoui, I. Karatzas, A new approach to the Skorokhod problem and its applications, Stochastics StochasticsRep. 34 (1991) 57–82. Correction in 36 (1991) 265.[3] N. Ikeda, S. Watanabe, Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes, North-Holland, Amsterdam,1989.[4] H.P. McKean Jr., Skorokhod’s stochastic integral equation for a reflecting barrier diffusion, J. Math. Kyoto Univ. 3(1963) 85–88.[5] L.C.G. Rogers, D. Williams, Diffusions, Markov Processes, and Martingales, Vol. II, Wiley Ser. Probab. Math.Statist., Wiley, New York, 1987.1123F. Soucaliuc / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 1119–1124[6] D. Revuz, M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer, 1991.[7] D. Siegmund, The equivalence of absorbing and reflecting barrier problems for stochastically monotone Markovprocesses, Ann. Probab. 4 (6) (1976) 914–924.[8] N. Skorohod, Stochastic differential equations in bounded regions, Theory Probab. Appl. VI (1) (1961–1962)264–274; VII (1) 7–23.[9] F. Soucaliuc, W. Werner, Remarks on reflecting Brownian motions, Elec. Comm. Probab. (2002), à paraître.[10] F. Soucaliuc, B. Tóth, W. Werner, Reflection and coalescence between one-dimensional Brownian paths, Ann.Inst. H. Poincaré 36 (2000) 509–536.[11] F. Soucaliuc, Réflexion, coalescence et retournement du temps pour certaines familles de diffusions, Thèse dedoctorat, Université Paris-Sud, 2001.[12] B. Tóth, Generalized Ray–Knight theory and limit theorems for self-interacting walks onZ, Ann. Probab. 24(1996) 1324–1367.1124

Réflexion entre deux diffusions conjuguées

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