Dragoş Iftimie

Fabrice Planchon

Isabelle Gallagher

Gallagher, Isabelle

Iftimie, Dragoş

Planchon, Fabrice

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques

C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 289–292Équations aux dérivées partielles/Partial Differential EquationsNon-explosion en temps grand et stabilité de solutionsglobales des équations de Navier–StokesIsabelle Gallagher a, Dragoş Iftimie a,b, Fabrice Planchon ca Centre de mathématiques, UMR 7640, École polytechnique, 91128 Palaiseau, Franceb IRMAR, UMR 6625, Université de Rennes 1, campus de Beaulieu, 35042 Rennes, Francec Laboratoire d’analyse numérique, UMR 7598, boîte 187, Université Paris-VI, 4, place Jussieu,75252 Paris cedex 05, FranceReçu et accepté le 17 décembre 2001Note présentée par Jean-Michel Bony.Résumé Nous nous donnons a priori une solution globale des équations de Navier–Stokesincompressibles dansR3, dans la classe Ct (Ḣ1/2). Nous montrons successivement que lanormeḢ1/2 tend vers 0 à l’infini, que cette norme contrôle la norme L2t (Ḣ3/2), et qu’unetelle solution globale est stable.Pour citer cet article : I. Gallagher et al., C. R. Acad. Sci.Paris, Ser. I 334 (2002) 289–292.  2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques etmédicales Elsevier SASNon-blowup at large times and stability for global solutions to theNavier–Stokes equationsAbstract Suppose there exists a global solutionu to the incompressible Navier–Stokes equations,such thatu ∈ Ct (Ḣ1/2). We prove that itṡH1/2 norm goes to 0 at infinity. We next use thisfact to control the L2t (Ḣ3/2) norm ofu, and finally we prove that such a solution is stable.To cite this article: I. Gallagher et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 289–292. 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SASIntroduction. – Nous nous intéressons aux équations de Navier–Stokes incompressibles dans l’espaceentier, ∂u∂t= u − ∇ · (u ⊗ u) − ∇p,∇ · u = 0,u(x,0) = u0(x), x ∈ R3, t  0.(1)Il est bien connu qu’il existe deux théories distinctes pour le problème de Cauchy : les solutions faiblesde Leray [8], pour des données initialesu0 ∈ L2, qui sont globales mais pour lesquelles l’unicité (ou lapropagation de la régularité) est un problème ouvert ; et les solutions « fortes » de Fujita et Kato [4] pour desdonnées initialesu0 ∈ Ḣ1/2, qui sont uniques et locales en temps, c’est-à-dire queu ∈ C([0, T ), Ḣ1/2). LeAdresses e-mail : Isabelle.Gallagher@math.polytechnique.fr (I. Gallagher); Dragos.Iftimie@math.polytechnique.fr(D. Iftimie); fabrice.planchon@ann.jussieu.fr (F. Planchon). 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservésS1631-073X(02)02255-0/FLA 289I. Gallagher et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 289–292but de cette Note est d’étudier une solution pour laquelle on suppose a priori queT  = +∞. Remarquonsque si l’on suppose la donnée petite alors la solution est effectivement globale. Nous montrons qu’unesolution globale « grande » devient nécessairement petite après un certain temps, ce qui induit en particulierqu’elle est stable. Plus précisément, nous obtenons le résultat suivant.THÉORÈME 1. –Soit u ∈ C([0,+∞[, Ḣ1/2) une solution de (1). Alors,– il ne peut y avoir explosion à t = +∞, et plus précisément limt→+∞ ‖u(t)‖Ḣ1/2 = 0.– la solution u appartient à L2(0,+∞; Ḣ3/2).Remarque. – Une version L3 de la première partie du théorème 1 est implicite dans [7], où il est montréqu’une solutionu ∈ Ct (L3) est telle que limt→+∞ √t‖u(t)‖∞ = 0.Insistons bien sur le fait qu’aucune hypothèse n’est faite sur le taux de croissance de la normeḢ1/2 de lasolution. La seconde partie du théorème peut se voir comme une conséquence de la première partie et duthéorème qui suit. Celui-là est un résultat de persistance, pour lequel il ne semble pas exister de référence,bien qu’il fasse partie du folklore des solutions fortes. Il s’agit de la réciproque du résultat bien connu [3]suivant : si une solutionu ∈ C([0, T ); Ḣ1/2) appartient à L2((0, T ), Ḣ3/2) alors elle est prolongeable dansḢ1/2 au-delà deT .THÉORÈME 2. –Soit T  < +∞ et soit u ∈ C([0, T ]; Ḣ1/2) une solution de (1). Alors ∫ T 0 ‖u‖2Ḣ3/2 ds <+∞.Nous obtenons donc la seconde propriété du théorème 1 de la manière suivante. Il existeT tel queu(T )soit petit en normėH1/2 ; par la théorie des solutions à données petitesu ∈ L2((T ,∞); Ḣ3/2) et par lethéorème 2 (casT ∗ fini), u ∈ L2((0, T ); Ḣ3/2) d’où l’on conclut queu ∈ L2((0,∞); Ḣ3/2).Une conséquence importante du théorème 1 est qu’il permet de démontrer un théorème de stabilitésous l’hypothèse générique∈ Ct (Ḣ1/2). Remarquons que si l’on suppose que la solution est légèrementplus régulière,u ∈ L∞t,loc(H1) ∩ L2t,loc(H2), alors un théorème de stabilité a été démontré dans [10] sousl’hypothèse d’intégrabilité à l’infini∇u ∈ L4t (L2x), qui peut être éliminée grâce au théorème 1.THÉORÈME 3. –Soit u ∈ Ct (Ḣ1/2) une solution a priori globale de (1). Alors cette solution est stable,c’est-à-dire qu’il existe ε(u) tel que si ‖u0 − v0‖Ḣ1/2 < ε(u) alors v, la solution de condition initiale v0, estglobale et∥∥(u − v)(t)∥∥2Ḣ1/2 +∫ t0∥∥∇(u − v)(s)∥∥2Ḣ1/2 ds  C‖u0 − v0‖Ḣ1/2 eC(∫ t0‖u‖2Ḣ3/2ds+∫ t0‖u‖4Ḣ1ds).Nous renvoyons à [6] pour les preuves complètes et étendues au cadre des espaces de Besov, qui incluenten particulier le casu ∈ Ct (L3). Remarquons que la stabilité des solutions L3 a été récemment obtenuepar Tchamitchian [11] par des techniques complètement différentes, avec une hypothèse supplémentairede petitesse à temps grand, qui peut être éliminée en prenant en compte les résultats de Lemarié [7]. Nousdonnons maintenant une idée des preuves, qui s’adaptent au cas des espaces de Besov modelés sur Lp nutilisant une combinaison des techniques introduites dans [2] et [5].Démonstration du théorème 1. – La remarque importante est la suivante : siu0 ∈ H1/2, l’espace deSobolev inhomogène, alors par unicité fort-faible [12] la solutionu reste dans L2 et vérifie l’inégalitéd’énergie∀t  0, E(u) déf= ‖u(t)‖2L2 + 2∫ t0 ‖∇u(s)‖2L2 ds  ‖u0‖2L2. Par suite,u ∈ L∞t (L2) ∩ L2t (Ḣ1), etpar interpolationu est dans L4t (Ḣ1/2). Pour toutε0 > 0, il existe donc un tempst0 tel que‖u(t0)‖Ḣ1/2  ε0,et à partir de ce temps on peut appliquer la théorie des petites solutions, donc la solution reste petite ettend vers zéro à l’infini en normėH1/2 (voir par exemple [9]). Pour réduire le cas général à ce cas, onutilise la procédure de séparation hautes fréquences/basses fréquences introduite dans [1] dans le contextede Navier–Stokes, et réutilisée avec succès dans [5] pour obtenir des solutions globales d’énergie infinieen dimension 2. Plus précisément, on décomposeu0 = v0 + w0 où w0 ∈ Ḣ1/2 avec une petite normeetv0 ∈ H1/2 avec une grande norme. On résout l’équation∂w/∂t = w−∇ ·(w⊗w)−∇p, avec∇ ·w = 0,290Pour citer cet article : I. Gallagher et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 289–292w(x,0) = w0(x), par la théorie des données petites, pour obtenir une solutionw ∈ Ct (Ḣ1/2) ∩ L2t (Ḣ3/2)avec une petite norme (voir par exemple [3]) et qui tend vers zéro à l’infini ; on a en particulier∥∥w(t)∥∥2Ḣ1/2 +∫ t0∥∥w(s)∥∥2Ḣ3/2 ds  ‖w0‖2Ḣ1/2. (2)Ensuite,v déf= u − w vérifie l’équation∂v∂t= v − ∇ · (v ⊗ v) − ∇ · (w ⊗ v) − ∇ · (v ⊗ w) − ∇p, avec∇ · v = 0, v(x,0) = v0(x), (3)et v appartient à l’espace Ct (Ḣ1/2) ∩ L2t,loc(Ḣ3/2), carw appartient à cet espace, de même queu grâce authéorème 2. Ainsi, à partir de l’équation dev, on obtient∂t v ∈ L2t,loc(Ḣ−1/2). En se souvenant quev0 ∈ L2et v ∈ L∞t,loc(Ḣ1/2) ⊂ L2t,loc(Ḣ1/2), on en déduit quev ∈ Ct (L2). Nous pouvons donc écrire une inégalitéd’énergie pourv : multiplions l’équation dev parv et intégrons en temps et espace pour obtenir∥∥v(t)∥∥2L2 + 2∫ t0‖v‖2Ḣ1 ds  ‖v0‖2L2 + 2∣∣∣∣∫ t0∫R3(v · ∇w) · v dx ds∣∣∣∣. (4)On estime maintenant par des théorèmes de produit classiques∣∣∣∣∫ t0∫R3(v · ∇w) · v dx ds∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫ t0∫R3(v ⊗ w) · ∇v dx ds∣∣∣∣  C∫ t0‖w‖Ḣ1/2‖v‖2Ḣ1 ds C‖w0‖Ḣ1/2∫ t0‖v‖2Ḣ1 ds,où la dernière inégalité est une conséquence de (2). En supposant queC‖w0‖Ḣ1/2  12 on peut simplifierle terme ci-dessus dans la partie gauche de (4) ce qui permet de conclure que l’énergie dev, E(v) restebornée. On obtient alors par le raisonnement précédent qu’il existeT tel que‖v(T )‖Ḣ1/2  ‖w0‖Ḣ1/2. Onen déduit que‖u(T )‖Ḣ1/2  2‖w0‖Ḣ1/2 et par la théorie des solutions petites que limt→∞ ‖u(t)‖Ḣ1/2 = 0.Remarquons qu’il n’est en fait pas nécessaire d’invoquer ce résultat issu de la théorie des solutions petites :un argument auto-contenu consiste simplement à remarquer qu’à partir de‖u(T )‖Ḣ1/2  2‖w0‖Ḣ1/2 et dela relation (2) appliquée àu|[T ,∞[ on peut déduire que lim supt→∞ ‖u(t)‖Ḣ1/2  ‖u(T )‖Ḣ1/2  2‖w0‖Ḣ1/2,ce qui conclut la démonstration de la première partie du théorème 1 puisque‖w0‖Ḣ1/2 peut être choisiarbitrairement petit. Nous avons déjà montré la seconde partie à partir de la première et du théorème 2, lethéorème 1 est donc démontré.Démonstration du théorème 2. – On commence par remarquer que la norme L2t (Ḣ3/2) est finie pour unpetit intervalle de temps après l’instant initial (par unicité). Il s’agit donc de montrer qu’elle ne peut exploserjusqu’àT  inclus. On écrit donc l’inégalité d’énergie pour le produit scalaireḢ1/2, noté(·|·)Ḣ1/2. Il vient∥∥u(t)∥∥2Ḣ1/2 + 2∫ t0‖u‖2Ḣ3/2 ds  ‖u0‖2Ḣ1/2 + 2∣∣∣∣∫ t0(∇(u ⊗ u)|u)Ḣ1/2 ds∣∣∣∣. (5)Par densité des fonctions régulières dans Ct (Ḣ1/2) on peut séparer de nouveauu en deux parties : unepartiew ∈ Ct (Ḣ1/2) petite et une partiev grande et régulière. Par les théorèmes de produit classiques, onpeut estimer ∣∣(∇(u ⊗ u)|u)Ḣ1/2∣∣  ∣∣(w · ∇u|u)Ḣ1/2∣∣ + ∣∣(v · ∇u|u)Ḣ1/2∣∣ C‖w‖Ḣ1/2‖u‖2Ḣ3/2 + C‖v‖Ḣ3/2∩L∞‖u‖Ḣ3/2‖u‖Ḣ1/2(C‖w‖Ḣ1/2 +12)‖u‖2Ḣ3/2 + C‖v‖2Ḣ3/2∩L∞‖u‖2Ḣ1/2.En choisissant‖w‖Ḣ1/2 assez petit, on peut simplifier le premier terme du membre de droite de cetteinégalité dans la partie gauche de (5). Le résultat suit par application du lemme de Gronwall, puisquev ∈ L2((0, T ∗), Ḣ3/2 ∩ L∞).291I. Gallagher et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 289–292Remarque 1. – La démonstration s’applique également directement au casT  = +∞, compte-tenu dela première partie du théorème 1 qui assure lim+∞ ‖u‖Ḣ1/2 = 0.Remarque 2. – La démonstration précédente procède d’un argument de séparation qui est au cœur dechacun des résultats énoncés ici. On peut aussi obtenir le théorème 2 de la façon suivante, qui nous aété indiquée par J.-Y. Chemin : en examinant la démonstration de l’existence locale de solutionsḢ1/2, ilest facile de voir que le temps d’existence est uniformément minoré pour des données initiales dans uncompact dėH1/2. Alors le théorème 2 est une simple conséquence de l’unicité des solutionsḢ1/2, puisquel’ensemble de données initialesvt (x) = u(x, t) pourt ∈ [0, T ] est compact (comme image d’un compact).Démonstration du théorème 3. – Comme il l’a été remarqué, la solution a priori globaleu ∈ Ct (Ḣ1/2)est automatiquement dans L2t (Ḣ3/2). On considère donc l’équation vérifiée par la différencewdéf= u − v,c’est-à-dire∂w∂t= w − ∇ · (w ⊗ w) − ∇ · (w ⊗ u) − ∇ · (u ⊗ w) − ∇p, avec∇ · w = 0, w(x,0) =w0(x)déf= u0(x) − v0(x), et l’on cherche une estimation a priori pour cette équation. On écrit donc denouveau l’inégalité d’énergie dansḢ1/2, pour obtenir∥∥w(t)∥∥2Ḣ1/2 + 2∫ t0‖w‖2Ḣ3/2 ds  ‖w0‖2Ḣ1/2 +C∣∣∣∣∫ t0(w · ∇w|w)Ḣ1/2 + (w · ∇u|w)Ḣ1/2 + (u · ∇w|w)Ḣ1/2 ds∣∣∣∣.Les deux premiers termes s’estiment facilement : le premier qui est non-linéaire enw p ut être absorbé àgauche si l’on suppose a priori que le membre de gauche est petit, puisque l’on a∣∣∫ t0(w · ∇w|w)Ḣ1/2 ds∣∣ ∫ t0 ‖w(s)‖Ḣ1/2‖w(s)‖2Ḣ3/2 ds. Le second se majore simplement en utilisant les mêmes règles de produit etle fait que∇u ∈ L2t (Ḣ1/2). Le dernier terme est un peu plus délicat, puisqu’à priori il n’est pas possibled’estimer (les basses fréquences de)u à l’aide de la norme L2t (Ḣ3/2). On fait alors appel à la norme L4t (Ḣ1)en estimant par les lois de produits∣∣(u · ∇w|w)Ḣ1/2∣∣  C‖u‖Ḣ1‖w‖Ḣ1‖w‖Ḣ3/2  C‖u‖Ḣ1‖w‖1/2Ḣ1/2‖w‖3/2Ḣ3/2  14‖w‖2Ḣ3/2 + C‖u‖4Ḣ1‖w‖2Ḣ1/2.Ceci permet de traiter ce terme comme le second. Remarquons que le second terme devient similaire auterme ci-dessus à la différence près que la norme‖u‖4Ḣ1est remplacée par la norme‖u‖2Ḣ3/2. Notons enoutre qu’une utilisation de la théorie de Littlewood–Paley et de commutateurs permet de s’affranchir de laprésence de norme‖u‖4Ḣ1dans la majoration (et donc dans l’estimation finale), au prix d’un peu plus detechnique. On termine ensuite classiquement en appliquant le lemme de Gronwall.Références bibliographiques[1] C.P. Calderón, Existence of weak solutions for the Navier–Stokes equations with initial data in Lp , Trans. Amer.Math. Soc. 318 (1) (1990) 179–200.[2] M. Cannone, F. Planchon, Fonctions de Lyapunov pour les équations de Navier–Stokes, Séminaire sur lesÉquations aux Dérivées Partielles, 1999–2000, Exp. No. XII, 7. École Polytech., Palaiseau, 2000.[3] J.-Y. Chemin, Remarques sur l’existence globale pour le système de Navier–Stokes incompressible, SIAM J. Math.Anal. 23 (1) (1992) 20–28.[4] H. Fujita, T. 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Non-explosion en temps grand et stabilité de solutions globales des équations de Navier–Stokes

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