Khalifa Trimèche

Léonard Gallardo

Gallardo, Léonard

Trimèche, Khalifa

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C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 849–854Analyse mathématique/Mathematical AnalysisUn analogue d’un théorème de Hardypour la transformation de DunklLéonard Gallardo a, Khalifa Trimèche ba Faculté des sciences, Département de mathématiques, parc de Grandmont, 37200 Tours, Franceb Faculté des sciences de Tunis, Département de mathématiques, campus Universitaire, 1060 Tunis, TunisieReçu le 8 mars 2002 ; accepté le 15 mars 2002Note présentée par Jean-Michel Bony.Résumé On donne dans cette Note une généralisation d’un théorème de Hardy pour la transforma-tion de DunklFD sur Rd . Plus précisément, pour toutes les valeurs dea > 0, b > 0 etp,q ∈ [1,+∞], on détermine les fonctions mesurablesf telles que ea||x||2f ∈ Lpk (Rd) eteb||y||2FD(f ) ∈ Lqk (Rd), où les Lpk (Rd) sont les espaces Lp associés à la transformationde Dunkl.Pour citer cet article : L. Gallardo, K. Trimèche, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I334 (2002) 849–854.  2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicalesElsevier SASAn analogue of Hardy’s theorem for the Dunkl transformAbstract In this Note we give a generalization of Hardy’s theorem for the Dunkl transformFD onRd . More precisely, for alla > 0, b > 0 andp,q ∈ [1,+∞], we determine the measurablefunctionsf such that ea||x||2f ∈ Lpk (Rd) and eb||y||2FD(f ) ∈ Lqk (Rd), where Lpk (Rd)are the Lp spaces associated with the Dunkl transform.To cite this article: L. Gallardo,K. Trimèche, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 849–854.  2002 Académie dessciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SASAbridged English versionWe considerRd provided with the usual scalar product〈·, ·〉 and the Euclidian norm‖x‖ = √〈x, x〉.Let R+ be a positive root system inRd\{0} andk a multiplicity function in the sense of Dunkl’s theory.The associated weight function is given byωk(x) =∏α∈R+∣∣〈α,x〉∣∣2k(α).The space of pth-integrable(1  p < +∞) (resp. essentially bounded) functions onRd with respect tothe measureωk(x)dx, is denoted by Lpk (Rd) (resp. L∞k (Rd )) and the associated norms by‖ · ‖k,p (resp.‖ · ‖k,∞). The Dunkl transform of a functionf ∈ L1k(Rd) is given by∀y ∈ Rd, FD(f )(y)=∫Rdf (x)K(x,−iy)ωk(x)dx,Adresses e-mail : gallardo@univ-tours.fr (L. Gallardo); Khlifa.Trimeche@fst.rnu.tn (K. Trimèche). 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservésS1631-073X(02)02361-0/FLA 849L. Gallardo, K. Trimèche / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 849–854whereK is the Dunkl kernel. We obtain the following results.THEOREM 0.1. –Suppose 1  p,q  +∞ and at least one of them is finite and let f be a measurablefunction on Rd such that∥∥ea‖x‖2f∥∥k,p< +∞ and ∥∥eb‖y‖2FD(f )∥∥k,q < +∞,for some constants a > 0 and b > 0. Then if ab  14 , we have f = 0 almost everywhere. If ab < 14 , forall δ ∈ ]a, 14b [, the functions of the form f (x) = P(x)e−δ‖x‖2, where P is an arbitrary polynomial on Rdsatisfy the precedent conditions.THEOREM 0.2. –Let f be a measurable function on Rd such that∣∣f (x)∣∣ M e−a‖x‖2 a.e. and ∣∣FD(f )(y)∣∣ M e−b||y||2 a.e.,for some constants a > 0, b > 0 and M > 0. Then if ab > 14 , f = 0 a.e. If ab = 14 , f is a constant multipleof e−a‖x‖2 . If ab < 14 , there are infinitely many functions f satisfying the precedent conditions.1. IntroductionUn théorème célèbre de Hardy [7] montre qu’une fonctionf sur R mesurable et sa transformée deFourierf̂ ne peuvent pas être simultanément à « décroissance très rapide ». Plus précisement si|f (x)| C e−ax2 et |f̂ (y)|  C e−by2 pour des constantesC > 0, a > 0 et b > 0, alorsf = 0 presque partout siab > 14 et il existe desf non nulles siab 14. Une version Lp de ce résultat obtenue par Cowling et Price[3] affirme que pourp et q dans[1,+∞], l’un des deux étant fini, si‖eax2f ‖p < +∞ et‖eby2f̂ ‖q < +∞alorsf = 0 presque partout siab  14. Des généralisations de ce résultat au cas du groupe d’Heisenberg etdu groupe des déplacements ont été établies dans [1] et [6]. Le but de cette Note est de donner un analoguedu théorème de Cowling et Price pour la transformation de Dunkl surRd . Cette transformation est associéeà des opérateurs aux dérivées partielles et aux différences correspondant à un groupe fini de réflexionsde l’espace euclidienRd . Ces opérateurs se sont révélés être un outil très utile dans l’étude des fonctionsspéciales associées à un système de racines [5,8] et ils jouent un rôle important dans la description enMécanique quantique des modèles exactement résolubles de Calogero–Moser–Sutherland [9,10].2. GénéralitésOn munitRd du produit scalaire usuel〈·, ·〉 et de la norme euclidienne‖x‖ = √〈x, x〉. Pourα ∈ Rd\{0}on noteHα l’hyperplan orthogonal àα etσα la réflexion par rapport àHα .On appelle système de racines un sous-ensembleR d Rd\{0} tel queR ∩ Rα = {±α} etσαR = R pourtoutα ∈ R. On noteW le groupe fini engendré par les réflexionsσα,α ∈ R, et pourβ ∈ Rd\⋃α∈R Hα , onfixe un sous-système positifR+ = {α ∈ R; 〈α,β〉 > 0}.Une fonctionk : R → C invariante parW est appelée fonction de multiplicité. L’indice du système deracinesR est alors défini parγ =∑α∈R+ k(α) et la fonction poids est la fonctionW -invariante et homogènede degré 2γ définie surRd parωk(x) =∏α∈R+∣∣〈α,x〉∣∣2k(α). (1)850Pour citer cet article : L. Gallardo, K. Trimèche, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 849–854Les opérateurs de DunklTj , j = 1, . . . , d , surRd associés àW etk sont définis pour toute fonctionf declasse C1 surRd parTjf (x) = ∂∂xjf (x)+∑α∈R+k(α)αjf (x)− f (σα(x))〈α,x〉 . (2)Dans le cas oùk ≡ 0, lesTj se réduisent aux opérateurs dérivées partielles par rapport àxj . Dans ce quisuit on suppose quek  0.Pour touty ∈ Rd , le systèmeTju(x) = yju(x), j = 1, . . . , d , avecu(0) = 1, admet une unique solutionnotéeK(x,y) qui est appelée noyau de Dunkl. Ce noyau est symétrique, invariant parW , admet un uniqueprolongement holomorphe àCd × Cd [4,5] et vérifie∣∣DνzK(x, z)∣∣ ‖x‖|ν| exp(‖x‖‖Rez‖), (3)pour toutx ∈ Rd , z ∈ Cd , ν ∈ Nd et oùDνz désigne la dérivée partielle par rapport àz = (z1, . . . , zd)correspondant au multiindiceν. On note Lpk (Rd ), p ∈ [1,+∞], l’espace des fonctions mesurables surRdtelles que‖f ‖k,p =(∫Rd∣∣f (x)∣∣pωk(x)dx)1/p < +∞ si 1 p < +∞,(4)‖f ‖k,∞ = sup essx∈Rd∣∣f (x)∣∣< +∞.La transformée de Dunkl d’une fonctionf ∈ L1k(R) est définie par :FD(f )(y) =∫Rdf (x)K(x,−iy)ωk(x)dx. (5)On notera qu’elle coïncide avec la transformation de Fourier classique sik ≡ 0. Nous renvoyons à [4] et[5] pour les propriétés complètes de cette transformation. En particulier sif ∈ L1k(Rd) etFD(f ) ∈ L1k(Rd),on a la formule d’inversionf (x) = C2k22γ+d∫RdFD(f )(y)K(x, iy)ωk(y)dy p.p., (6)oùCk = (∫Rd exp(−‖x‖2)ωk(x)dx)−1.3. L’opérateur de transmutation dual de DunklOn considère l’opérateur de transmutation dual de DunkltV vérifiant pour touty ∈ Rd et toutf ∈ D(Rd)(espace des fonctions de classe C∞ surRd à support compact),tV (Tjf )(y)= ∂∂yjtV (f )(y), j = 1, . . . , d(voir [14]). Cet opérateur qui est un isomorphisme topologique deD(Rd) sur lui même est donné partV (f )(y)=∫Rdf (x)dνy(x), f ∈D(Rd ), (7)où pour touty ∈ Rd , νy est une mesure positive surRd dont le support est inclus dans{x ∈ Rd ; ‖x‖  ‖y‖}(voir [14]).PROPOSITION 3.1. –Soit f ∈ L1k(Rd). La fonction donnée par (7) est définie pour presque tout y ∈ Rd(par rapport à la mesure de Lebesgue), appartient à L1(Rd,dx) et on aFD(f ) =FotV (f ), (8)851L. Gallardo, K. Trimèche / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 849–854oùF est la transformation de Fourier classique surRd donnée parF(g)(ξ) =∫Rdg(x)e−i〈x,ξ 〉 dx, pourg ∈ L1(Rd ,dx).Démonstration. – On montre que la famille de mesures(νy)y∈Rd est vaguement continue et est intégrablepour la mesure de Lebesgue. Le résultat découle alors du théorème d’intégration des mesures de Bourbaki([2], p. 26).4. Une version Lp des théorèmes de Phragmén–LindelöfLa démonstration du théorème principal donné au paragraphe cinq, utilise les deux lemmes suivants devariable complexe qu’on démontre à partir de [13], p. 578.LEMME 4.1. –Soit h une fonction entière sur Cd telle que∀z ∈ Cd, ∣∣h(z)∣∣ C d∏j=1ea(Rezj )2, (9)∀x ∈ Rd, ∣∣h(x)∣∣ C, (10)pour certaines constantes a > 0 et C > 0. Alors h est constante sur Cd .LEMME 4.2. –Soit p ∈ [1,+∞[ et h une fonction entière sur Cd . On suppose(i) il existe j ∈ {1, . . . , d}, tels que∀z ∈ Cd , ∣∣h(z)∣∣ M(z1, . . . , zj−1, zj+1, . . . , zd )ea(Rezj )2; (11)(ii) ‖h|Rd ‖k,p < +∞,pour une certaine constante a > 0 et M une fonction positive sur Cd . Alors h ≡ 0.5. Une version Lp du théorème de HardyLe lemme qui suit donne des propriétés de la transformation de Dunkl utiles dans la preuve du théorèmede Hardy.LEMME 5.1. –Soit p ∈ [1,+∞] et f une fonction mesurable sur Rd telle que ‖ea‖x‖2f ‖k,p < +∞,pour un certain a > 0. Alors la fonction FD(f ) sur Cd définie parFD(f )(z) =∫Rdf (x)K(x,−iz)ωk(x)dx (12)est bien définie, entière sur Cd et pour tous ξ ∈ Rd et η ∈ Rd on a∣∣FD(f )(ξ + iη)∣∣ C exp(‖η‖24a)(13)pour une constante C > 0.Démonstration. – Le résultat découle de l’inégalité de Hölder, des relations (3), (8) et des propriétés del’opérateurt V .THÉORÈME 5.2. –On suppose 1  p,q  +∞ dont l’un au moins est fini et soit f une fonctionmesurable sur Rd telle que∥∥ea‖x‖2f ∥∥k,p< +∞ et ∥∥eb‖y‖2FD(f )∥∥k,q < +∞, (14)pour des constantes a > 0 et b > 0.852To cite this article: L. Gallardo, K. Trimèche, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 849–854Alors si ab  14 , on a f = 0 presque partout. Si ab < 14 , pour tout δ ∈ ]a, 14b [, les fonctions de la formef (x) = P(x)e−δ‖x‖2 , où P est un polynôme arbitraire sur Rd , satisfont les conditions (14).Démonstration. – On considère la fonctionh définie surCd parh(z) =(d∏j=1exp(z2j4a))FD(f )(z). (15)D’après le Lemme 5.1, cette fonction est entière et vérifie∣∣h(ξ + iη)∣∣ C exp(‖ξ‖24a) (ξ, η ∈ Rd). (16)Pour toutq ∈ [1,+∞], la conditionab > 14 implique‖h|Rd‖k,q ∥∥eb‖y‖2FD(f )∥∥k,q < +∞. (17)Si ab > 14 etp,q ∈ [1,+∞] ou siab = 14 etp ∈ [1,+∞] etq ∈ [1,+∞[ les Lemmes 4.1 et 4.2 donnentle résultat. Siab = 14, p ∈ [1,+∞[ etq = +∞, la relation (8), les propriétés detV et [6], p. 66, impliquentle résultat. Siab < 14 et sif (x) = P(x)e−δ‖x‖2oùP est un polynôme, en utilisant les polynômes d’Hermitegénéralisés associés aux opérateurs de Dunkl (voir [11]), on montre queFD(f )(y) = Q(y)exp(− 14δ‖y‖2)oùQ est un autre polynôme surRd et le résultat en découle.6. L’analogue du Théorème de Hardy classiqueTHÉORÈME 6.1. –Soit f une fonction mesurable sur Rd telle que∣∣f (x)∣∣ M e−a‖x‖2 et ∣∣FD(f )(y)∣∣ M e−b‖y‖2, (18)pour presque tout x, y ∈ Rd et pour certaines constantes a > 0, b > 0 et M > 0. Alors si ab > 14 , f = 0presque partout, si ab = 14 alors f est égale à e−a‖x‖2à une constante multiplicative près et si ab < 14 , ilexiste une infinité de fonctions non nulles vérifiant les conditions (18).Démonstration. – Si ab = 14, la démonstration du Théorème 5.2 qui est valable aussi pourp = q = +∞donne le résultat. Siab = 14 on obtient le résultat en utilisant la relation (8), les propriétés de l’opérateurt Vet [12], p. 137.Références bibliographiques[1] K.R. Bagchi, S.C. Swagato, Uncertainty principles like Hardy’s theorem on some Lie groups, J. Austral. Math.Soc. Ser. A 65 (1999) 239–302.[2] N. Bourbaki, Éléments de mathématiques, Fascicule XXI. Intégration des mesures, Chapitre 5, Hermann, Paris,1967.[3] M.G. Cowling, J.F. Price, Generalizations of Heisenberg inequality, in: Lecture Notes in Math., Vol. 992, Springer,Berlin, 1983, pp. 443–449.[4] M.F.E. De Jeu, The Dunkl transform, Invent. Math. 113 (1993) 147–162.[5] C.F. 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Thangavelu, Uncertainty principles on certain Lie groups, Proc. Indian Acad. Sci.Math. Sci. 105 (1995) 135–151.[13] E.C. Titchmarsh, The Theory of Functions, 2nd edn., Oxford University Press, 1939.[14] K. Trimèche, The Dunkl intertwining operator on spaces of functions and distributions and integral representationof its dual, Integral transforms and special functions, a paraître.854

Un analogue d'un théorème de Hardy pour la transformation de Dunkl

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