Η αλγεβρικοποίηση καμπυλών και επιφανειών είναι μία θεμελιώδης μετατροπή στην
αναπαράσταση γεωμετρικών αντικειμένων από παραμετρική μορφή ή αναπαράσταση
νέφους σημείων σε μία αλγεβρική αναπαράσταση, και ειδικότερα ως το μηδενοσύνολο
ενός (ή περισσότερων) πολυωνυμικών εξισώσεων. Αυτή η διπλωματική εργασία ερευνά
τρία ερωτήματα σχετικά με την έκφραση αυτής της αλγεβρικής αναπαράστασης
καμπύλης ή επιφάνειας.
Αρχικά, θεωρούμε τη μέθοδο της αραιής παρεμβολής για την αλγεβρικοποίηση: Όταν
η βάση του πυρήνα του πίνακα παρεμβολής είναι σε ανοιγμένη κλιμακωτή μορφή, η
αναλυτική εξίσωση μπορεί να ληφθεί άμεσα, χωρίς να απαιτούμε υπολογισμούς όπως
ΜΚΔ πολυωνύμων πολλών μεταβλητών ή παραγοντοποίηση. Ως δεύτερη συνεισφορά,
εξετάζουμε και αξιολογούμε μία αριθμητική μέθοδο που υπολογίζει ένα πολλαπλάσιο
της αναλυτικής εξίσωσης, η οποία βασίζεται στη μέθοδο των δυνάμεων.
Η τρίτη συνεισφορά αυτής της διπλωματικής εργασίας είναι να προσφέρουμε μία
μέθοδο για τον υπολογισμό μίας αναπαράστασης μητρώου μίας ρητής δισδιάστατης ή
τρισδιάστατης καμπύλης, ή μίας τρισδιάστατης επιφάνειας, όταν μας δίνεται μόνο
ένα επαρκές σύνολο σημείων (νέφος σημείων) πάνω στο αντικείμενο με τέτοιον
τρόπο ώστε η τιμή της παραμέτρου να είναι γνωστή ανά σημείο. Η μέθοδός μας
επεκτείνει την προσέγγιση των αλγεβρικών συζυγιών για το πρόβλημα της
αλγεβρικοποίησης επιφανειών και καμπυλών στην περίπτωση που η παραμετροποίηση
δεν δίνεται αλλά υποτίθεται.Implicitization is a fundamental change of representation of geometric objects
from a parametric or point cloud representation to an implicit form, namely as
the zero set of one (or more) polynomial equation. This thesis examines three
questions related to expressing the implicit equation of a curve or a surface.
First, we consider a sparse interpolation method for implicitization: When the
basis of the kernel of the interpolation matrix is in reduced row echelon form,
the implicit equation can be readily obtained, without demanding computations
such as multivariate polynomial GCD or factoring. As a second contribution, a
numeric method that computes a multiple of the implicit equation based on the
power method is tested and evaluated.
The third contribution of this thesis is to provide a method for computing a
matrix representation of a rational planar or space curve, or a rational
surface, when we are only given a sufficiently large sample of points (point
cloud) on the object in such a way that the value of the parameter is known per
point. Our method extends the approach of algebraic syzygies for
implicitization to the case where the parameterization is not given but only
assumed
