In this paper, we investigated a new linear integro-differential equation of arbitrary order given on the closed curve located on a complex plane. The coefficients of the equation are variables and have a special form. The characteristic feature is the presence of linear functions in the coefficients. The equation is reduced to the consecutive solution of a Riemann boundary value problem on an initial curve and two linear differential equations. Differential equations are solved for analytic functions in areas into which the initial curve separates a complex plane. The corresponding fundamental systems of solutions are found, after that the arbitrary-constant variation method is applied. To achieve the analyticity of the obtained solutions the restrictions are imposed. All the arising conditions of resolvability of the input equation are written down explicitly, and if they are carried out then the solution is written in an explicit form. We represent the example demonstrating the existence of the cases when all conditions of resolvability are satisfied.Исследовано новое линейное интегро-дифференциальное уравнение произвольного порядка, которое задано на замкнутой кривой, расположенной на комплексной плоскости. Коэффициенты уравнения являются переменными и имеют специальный вид. Характерной особенностью выступает наличие линейных функций в коэффициентах. Уравнение сведено к последовательному решению краевой задачи Римана на исходной кривой и двух линейных дифференциальных уравнений. Возникшая краевая задача Римана относится к случаю хорошо изученных задач. Дифференциальные уравнения решаются для аналитических функций в областях, на которые исходная кривая делит комплексную плоскость. Найдены соответствующие фундаментальные системы решений, после чего применяется метод вариации произвольных постоянных. На полученные решения накладываются ограничения, чтобы добиться их аналитичности. Все возникающие условия разрешимости исходного уравнения записаны явно, а при их выполнении в явном виде записывается само решение. Приведен пример, показывающий наличие случаев, когда выполняются все условия разрешимости
