Hasselmann, K.

Leipold, G.

German

MPG.PuRe

ANNALEN DER METEOROLOGIE(Neue Folge)Nr.12Die Meteorologen-Tagungin Garmisch-Partenkirchenvom 13. bis 16. April 1977Offenbach a. M. 1977Selbstverlag des Deutschen WetterdienstesLÖSUNG VON BEWEGUNGSGLEICHUNGEN DURCH PROJEKTION AUF PARAMETERGLEICHUNGEN,DARGESTELLT AN DER OZEANISCHEN DECKSCHICHTG. Leipold und K. HasselmannMax-Planck-Institut für Meteorologie, HamburgKurzfassung: Es wird ein dreidimensionales Modell der durchmischtep ozeanischen Deckschicht be-trachtet, mit dem die langperiodische und jahreszeitliche Variabilität des Oberflächentemperatur-feldes im Äquatorgebiet in Abhängigkeit von den atmosphärischen Anfachungsfunktionen untersuchtwerden kann. Tiefe und Dichte der Schicht werden prognostisch, die Strömung diagnostisch betrach-tet. Die tatsächlichen Felder werden durch vorgegebene Felder mit variablen, zeitabhängigen Para-metern approximiert, die Bewegungsgleichungen werden auf Gleichungen für diese Parameter proje-ziert.PARAMETRISCHE LÖSUNG VON BEWEGUNGS-GLEICHUNGEN(4)Das Vektorfeld u~(~, t) genüge den Be-wegungsgleichungen:Variiert man nun u~ nach der Zeit, so ist dieVariation SU4 mit einer Variation baj derParameter verknüpft und es gilt (über doppeltvorkommende Indizes wird summiert):Für u J. wird ein Näherungsfeld uJ; (x, a., , an)angesetzt, das von n Parametern a.f(t), an(t)abhängt. Die Parameter aj werden so bestimmt,daß u~ sich möglichst wenig von u~ unterschei-det. Das Anpassungsverfahren definiert einFunktionalBisherige Untersuchungen der ozeanischenDeckschicht beschränken sich größtenteils aufeindimensionale Modelle (Pollard, Rhines,Thompson (1973); Kraus, Turner (1967); Niiler(1975)). Für viele Langzeit-Wechselwirkungenzwischen Ozean und Atmosphäre sind jedoch diehorizontale Advektion und der Auftrieb nichtvernachlässigbar (z.B. am Äquator). Wir be-trachten daher ein dreidimensionales Modelleiner. Deckschicht der Tiefe h und der (verti-kal homogenen) Dichte S . Salzgehaltseffektewerden vernachlässigt (also ist d~ .= ~ dT).Eine Skalenanalysis zeigt, daß im1rergleich zuhund g die Strömung praktisch trägheitslos deratmosphärischen Anfachung folgt und deshalbdurch die stationären Ekmangleichungen2 EIN MODELL DER OZEANISCHEN DECKSCHICHTWählt man insbesondere als Anpassungsverfahrendie Bedingung des kleinsten Fehlerquadrats:fru-<.-~ )( Uo/. - ~ ) ~~ ... ""oi..... )so kann man den Operator ~J~ explizit angeben:dd..( ) H-i Jd~ F("" 3y.t~ '5.(~) = ~ ?j'J. Vlß)·Ax. (6)Dabei ist Mk~ die Inverse der MatrixJ '" .'\S b ? lA.t,.3 (7)Hk' .". J.:l' ~ ce. l( •J ~ JDie Gleichungen (5), (6) und (7) stellen eingeschlossenes System von Vorhersagegleichungenfür die Parameter aj dar.Wenn nun u~ eine hinreichend gute Approxima-tion für U ot ist, so kann man in (I) u"t durchu~ ersetzen und erhält nach Anwendung desOperators ~~ unter Berücksichtigung von (4):Q~ = rP~~(~t~)). (5)(I)(2)Die numerische Lösung von Bewegungsglei-chungen für geophysikalische Felder nach denüblichen Gitterpunkt- oder Spektralmethodenist im allgemeinen zwar hinreichend genau,aber recht rechenaufwendig. Bei Anwendungen,in denen man auf hohe Genauigkeit verzichtenmöchte zugunsten längerer Integrationszeiten- z.B. bei Klimamodellen - kann es zweckmäßi-ger sein, die tatsächlichen Felder durch para-metrisch dargestellte Felder zu approximieren.Die Zeitentwicklung der Näherungsfelder erhältman dann durch Projektion der Bewegungsglei-chungen auf entsprechende prognostische Glei-chungen für die Parameter. Für ein Skalarfeldist diese Methode in Hasselmann (1976) ange-wandt worden; wir skizzieren sie hier für einVektorfeld.bClj = cj; (&u",) I (3)A,tI.. d</J·wobei lf/j:':: .~ die Funktionalableitung yonrl..ao ist. (3) gil t insbesondere auch für 60.« ,'1-"". c ..... ~un mit 0t<.t :. d"iSAI{ folgt daher \-legen derLinearität von ~~- 50 -beschrieben werden darf. Dabei ist (lx' t:'1)der Windstress und (?!, ~) die Neigun~ ~rMeeresoberfläche, die aus der Annahme, daßunter der durchmischten Schicht eine "layerof no motion" ist, bestimmt wird. Die Randbe-dingungen an der unteren Grenze stellen denImpulsfluß infolge der Deckschichtzunahme.~ot durch Vermischung (Entrainment) an derDeckschichtuntergrenze dar.mit den Randbedingungen'dlA ( t"'l< 'JlJ"1 1!I< ~... -= Q 1.( ~ ::4-0 .J' t;>o(8)(9)3 LITERATURVERZEICHNISHasselmann, K.; Ross, D.B.; Müller, P.;SeIl, W.: A Parametrie Wave Prediction Model.J.Phys. Oceangr. 6 (1976) Nr. 2, S.200-228.Kraus, E.B.; Turner, J.S.: A one-dimensionalModel of the seasonal thermocline, Part 11.Tellus 19 (1967), S.98-105.Niiler, P.P.: Deepening of the wind-mixedlayer. J.Mar.Res. 33- (1975) Nr. 3, S.405-422.Pollard, R.T.; Rhines, P.B.; Thompson, R.O.R.~:The Deepening of the Wind-Mixed Layer. Geophys.Fl.Dyn. 3 (1973), S.381-404.(11 )( 12)Die Wärmebilanz liefert die Gleichung'4 - 'Ao - '2e.'dt: :: - V\ ~ - ~ 7J- .i:... . ..1. SQ.c1~ .... 1...~{)', ?~c.·S /n_J. "" J d-t-·ACS ist der Dichtesprung an der_unteren Grenzeder durchmischten Schicht, ü, v sind die ver-tikal gemittelten Horizontalgeschwindigkeiten,Q die äußeren Wärmequellen.Zur Schließung des Problems wird nachKraus-Turner (1967) angenommen, daß ein Bruch-teil hn der Windenergie, die in die durch-mischte Schicht geht, dazu verwendet wird, diefür die Vertiefung der Schicht notwendige po-tentielle Energie aufzubringen:~ ....~ .-=e. Li'(H: lAg ..t. 10 •(U "0 ist die Windgeschwindigkeit in 10 m Höhe.)Unter Berücksichtigung der zusätzlich durchhorizontale Advektion und Auftrieb bewirktenÄnderung der Deckschichtdicke ergibt sich dannfür h die prognostische Gleichung:~~ ~-h (;~ ~ ~;) - \Ä ;: - V';~ ( 13)+ ~.~ lt . =e .~t) ,Das System wird somit durch die beiden prog-nostischen Gleichungen (11) und (13) für dieDichte g und Tiefe h der durchmischtenSchicht beschrieben, wobei ü und v aus den(diagnostischen) Ekmangleichungen (8) - (10)bestimmt werden. Wir wählen dann für j und heine parametrische Darstellung ihrer Horizon-talabhängigkeit und erhalten dann nach deroben beschriebenen Methode prognostischeGleichungen für die Parameter. Für verschie-dene idealisierte Anregungen eines Ozeans imÄquatorgebiet werden diese Gleichungennumerisch gelöst.'- 51 -

Lösung von Bewegungsgleichungen durch Projektion auf Parametergleichungen, dargestellt an der ozeanischen Deckschicht

http://hdl.handle.net/21.11116/0000-0008-839D-3

Lösung von Bewegungsgleichungen durch Projektion auf Parametergleichungen, dargestellt an der ozeanischen Deckschicht

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