Ilias, Saïd

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques

Constantes explicites pour les inégalités de Sobolev sur les variétés riemanniennes compactes

Annales de l’institut Fourier (AIF)

ANNALES DE L’INSTITUT FOURIERSAÏD ILIASConstantes explicites pour les inégalités de Sobolevsur les variétés riemanniennes compactesAnnales de l’institut Fourier, tome 33, no 2 (1983), p. 151-165<http://www.numdam.org/item?id=AIF_1983__33_2_151_0>© Annales de l’institut Fourier, 1983, tous droits réservés.L’accès aux archives de la revue « Annales de l’institut Fourier »(http://annalif.ujf-grenoble.fr/) implique l’accord avec les conditions gé-nérales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisa-tion commerciale ou impression systématique est constitutive d’une in-fraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-nir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/Ann. Inst. Fourier, Grenoble33, 2 (1983), 151-165.CONSTANTES EXPLICITESPOUR LES INÉGALITÉS DE SOBOLEVSUR LES VARIÉTÉS RIEMANNIENNESCOMPACTESpar Saïd ILIASINTRODUCTIONConsidérons une inégalité de Sobolev du type :(*) 11/llp ^ AUV/II, + BH/II,où1 î$ q < n et - = = - — - .p q nDans une première partie, nous nous intéresserons à de telles inégalitéssur des variétés riemanniennes à courbure de Ricci strictement positive.Nous obtenons alors l'inégalité suivante où les coefficients sontextrêmement simples (théorème 3) :Si R(M,^) ^ R(SS,can) = 8(n-l) > 0, alors:V/eH?(M) : ||/||2^ ^ , 4 ^V-^HV/llj + V-^H/Jlj.n-i n(n — Z)ôPuis pour le cas limite HÏ , nous retrouverons dans ce même cadre desinégalités du type ([5]) :(* *) f ^ dv, < C exp [nllV/ll; + vll/113.JMPour la valeur exacte des constantes qu'on trouve, voir le théorème 4.152 SAÏD ILIASDans la deuxième partie, nous traiterons le cas général (sans restrictionsur le signe de la courbure de Ricci où les coefficients sont plus compliquésmais ne font intervenir que la courbure de Ricci, le diamètre et le volume).Nous montrerons que la recherche de toute inégalité de Sobolevquantitative sur une variété riemannienne compacte se ramène à la mêmeinégalité sur une boule euclidienne, nous retrouverons ainsi des inégalitésdu type (^) (voir le théorème 5), et du type (^ ^) (voir le théorème 6) etpour finir nous traiterons le cas de l'inclusion de HI dans L°° pour q > n(voir le théorème 7).Notre travail, par rapport à ceux de S. Gallot et de P. Li, est nouveaud'abord par l'extrême simplicité des coefficients dans le cas à courbure deRicci positive, ensuite par une simplification importante dans ladémonstration dans le cas général (courbure de Ricci de signe quelconque),où seule est utilisée une symétrisation convenable et où en particulierl'inégalité de Bombieri (voir [12]) n'est plus nécessaire, ni la constanteisopérimétrique C\ (voir [6], [7], [11] et [12]) mais seulement la constante hde Cheeger pour laquelle la borne inférieure donnée par S. Gallot estparticulièrement simple.Afin d'être honnête vis-à-vis du lecteur, nous avons dû alourdir quelquepeu notre rédaction en citant intégralement les résultats de M. Gromov etde S. Gallot; en effet celui de M. Gromov n'existe actuellement que sousforme de prépublication et celui de S. Gallot n'est pas encore disponible.Rappelons enfin qu'il existe de nombreuses motivations de géométriepour des bornes explicites riemanniennes dans les inégalités de Sobolev;voir par exemple les travaux de P. Li [12], S. Gallot ([6] et [7]), D. Hulin [10]et D.Meyer[13].Je tiens à remercier vivement S. Gallot pour ses indications et sonencouragement qui m'ont permis de faire ce travail.I. PRÉLIMINAIRESSoient (M,g) une variété riemannienne compacte à bord ÔM (8M = 0si M est sans bord), de dimension n (n ̂  2), dVg son élément de volumeriemannien, V son volume, d son diamètre, r sa courbure de Ricci,INÉGALITÉS DE SOBOLEV 153R(M,^) = mf{r(u,u) : u e UM} où UM est le fibre tangent unitaire;(^(M) l'espace des fonctions numériques (£°° sur M,£y(M) le sous-espace constitué par les fonctions à support compact inclus dans M\8M (siôM^0), LP(M) (pour p réel ^1) l'espace des fonctions numériquesmesurables / sur M telles que :11/11?== f 1/1^< oo.JMSi / e £°°(M), |V/|2 le carré du module du gradient de /, est la fonctionnumérique d'expression locale :|v/|2=vl/v../=^^4^,ôx1 ôxJHKM) est le complété de (£°°(M) pour la norme :ll/lli.,= Il/Il,+IIV/H,,et HÎ(M) est l'adhérence de £y(M) dans H^M) (si 8M^0). Soit9Wo(M) le sous-espace de C(?(M) constitué des fonctions ayant des pointscritiques non dégénérés et en nombre fini à l'intérieur de leur support (on lenotera TO(M) si 3M=0). Dans la suite œ^ désignera le volumeeuclidien de la sphère canonique S", et K(n,q) la meilleure constantedans l'inégalité de Sobolev euclidienne (cas d'inclusion de H^(R") dansL^R"), où 1 ^ q < n et 1 = l - ̂  i.e.p q n)K(,,,,)-S.p[W1./eHî(R")|_||V/||jPour sa valeur exacte voir [2].1.1. Symétrisation et inégalité isopérimétrique de Gromov.1.1.1. Inégalité isopérimétrique de Gromov [9].Soient (M,g) une variété riemannienne complète sans bord, dedimension n, et N une sous-variété compacte à bord de M (de bord154 SAÏD ILIAS5N) de dimension n (munie de la métrique induite). On suppose queR(M,^) est minoré par une constante strictement positive (donc, par lethéorème de Myers M est compacte); module une normalisation on sevol f1M i?)ramène au cas : R(M,^) ^ R^can) = n - 1. Soit P = , ,,, ,'vol (S ,can)Considérons alors une boule géodésique N* de (S^can) de mêmevolNvolume relatif que N, i.e. B = —,—;-.-• Alors :vol N*(1) vol,_^N)^pvol^(5N*),et l'égalité a lieu si et seulement si les triplets (M,N,^) et (S^N^can) sontisométriques.1.1.2. Symétrisation associée à (1) (voir aussi [4]).Les hypothèses sur (M,g) étant celles de 1.1.1., soit / une fonction^ 0 de ÏW(M), et notons :A^voU/^Gr.ooD)L^vol^CT^))(ceci pour presque tout (, par le théorème de Sard).Définissons une fonction /* : S" -^ R, ne dépendant que de la distancegéodésique à un point de S", par la relation A(r) = PA*^), où nousposons :A^O^oUr-^ooD) et L^O^ol,,-^/*-^)).Nous avons alors :r^rr da~}^-J, [Ld"'(où da est la mesure induite sur f~l(s) par g; pour plus de détails voir[2] et [4]). Donc :A'(t)= - f IV/I-1^.Jr'wINÉGALITÉS DE SOBOLEV 155D'autre part pour q réel > 1, on a par l'inégalité de Hôlder :f ,vfi.-i ̂  > (L^9 _ (L(̂Jr^) ^ (-AW-1 ~ ̂ (-A^y-1 'Or l'inégalité (1) nous donne : L(s) > pL*(5). Par suite, comme |V/*| estconstant sur (f*)~l(s):f 'v/rl do ^ ( p^̂ ^̂ ^̂ ^̂ ^̂ ^̂  = p f l̂ l"1 da*'Jf-^s) ("  ) W ) J^)-1^)Et, en intégrant par rapport à 5, on obtient :(2) iiv/ii^piivniî.D'autre part, pour p réel ^ 1 on a :fSup/ FSdp/*Il/Il? == - t^^dt = - P ^(A^'^AJo Jod'où :(3) Il/Il? =PII/Ï.De même :(4) f ^=p[ e^dv^.JM Js"Et par construction :(5) ll/IL^I/'Iloo.1.1.3. Sur une autre symétrisation.Le résultat fondamental de ce paragraphe est un résultat non publié deS. Gallot exposé au séminaire « Géométrie et théorie spectrale »(Chambéry-Grenoble, décembre 1981).Soit (M,g) une variété riemannienne compacte à bord 8M, dedimension n. M* la boule euclidienne de même volume que (M,^).Définissons la constante isopérimétrique :C(M) = Inf voln-1^.DCM\aM (vol^ D) n156 SAÏD ILIASPar l'inégalité isopérimétrique classique, on a :C(M*) = C* = ——^"-^ = PW)]-1(vol B(l))~"~(où B(l) est la boule unité de R").Pour tout élément / ^ 0 de 9îlo(M), on obtient par le même procédéqu'en 1.1.2.L^Fr^<M/•Sup/ A(f.\ \ " 1-A ̂ A-*Sur M* on définit /* en posant :B*(Q : boule de volume A*(Q = A(Q,et /*(w) = t si weaB*(r) .On reprend les calculs précédents pour /*, mais les inégalités deviennentdes égalités sur M* car |V/*| est constant sur 8B*(t). On obtient :^M(\*(t\\ \ n )f rsupf* v—1 y " ) )IVf*!4^* — (C*V 1 __________dfJM.' j ' -( ) Jo (-WW-1 -et comme A*(î) = A(t), on a donc :(6) f Wdv^^^.f |V/*|W.JM v ' JM*D'autre part on a :(7) II/IL = ILTIloo(8) Il/Il? = 11/ *11? (p^l)et(9) ^/ dvg = '̂ rfî;*.JM JM*INÉGALITÉS DE SOBOLEV 1571.2. Constantes isopérimétriques et leurs minorations ([6] et [7]).Soit (M,^) une variété riemannienne compacte sans bord, dedimension n, de volume V et de diamètre à.Nous nous intéressons aux deux constantes isopérimétriques suivantescar elles interviendront de manière systématique dans les inégalités quenous allons prouver dans la IIP partie :MM) = M,n r̂ lvL v01^vol n ̂etC,(M) - M,n -<^>1,voIQ^^VO^O)^ -1où Q varie parmi les domaines non vides à bord de M.Les récents travaux de S. Gallot ([6] et [7]) nous donnent desminorations optimales de ces constantes.Pour /i(M) il trouve :THÉORÈME 1 (S. Gallot). -(1) Si R(M,g) ̂  - (n-1), alors h(M) ̂  \ | (ch Q"-1 dt\LJo J(ii) Si R(M,g) ̂  0, alors h(M) ̂  2d[ c i "l-i(iii) Si R(M,^) ^ (n-1), alors h(M) ̂  (cost)"-1 dtLJo JQuant à Ci (M) :THÉORÈME 2 (S. Gallot). -(i) Si R(M,g) ̂  - (n-1), alors :i r r^ / rb t 1 \n~l "ic,v-"^ ( ^—+13^) dt\LJo \hW n ) . |(ii) Si R(M,^)^0, alors: CiV^ = 2~^(M)158 SAÏD ILIAS(iii) Si R(M,^) > (n-1), alors :i i r r ^ "i-1CiV-n-^ 2-q (cosry1-1^ .II. INÉGALITÉS DE SOBOLEVSUR LES VARIÉTÉS RIEMANNIENNES M à R(M,g) > 0L'idée principale est de ramener la recherche de telles inégalités à cellesur la sphère canonique, ceci par le biais de la symétrisation adaptée àl'inégalité isopérimétrique de Gromov.2.1. Cas d'inclusion de Hî(M)(n>2).Le fait que WoÇM) (resp. a»(M)) est dense dans ftî(M)(resp. H^(M)) et que |V/| = |V|/|| presque partout, nous restreignonsnos preuves aux fonctions positives ou nulles de ÏBo(M) (resp. SW(M)).Dans son étude du problème de Yamabe sur (S^can), T. Aubin ([1]corollaire 4, p. 294) prouve l'inégalité :V(p e Hî(S") : HçH2^ ^ [K^pllVcpllj + œ |̂|(p||j.n-2En appliquant cette inégalité et les résultats de 1.1.2 à la symétrisée /*d'une fonction /eH^(M), on obtient le :THÉORÈMES. - Si R(M,g) ^ R(SS,can) = 5(yi-l) > 0, alors :V/ e H?(M) : 11/11^ ^ [K(n,2)]2^v^^"F||V/||j + V |̂|/||j.Remarques. — Pour S^( = ( Sn,-can ) ) les deux meilleures constantes\ \ ô //dans l'inégalité (^) sont atteintes (pour le meilleur A, voir [2] et [3];pour le meilleur B, voir [11]).— un autre problème se pose : pour B fixé (en particulier la valeuroptimale de B), quel est le meilleur A tel qu'une inégalité du type (^)INÉGALITÉS DE SOBOLEV 159ait lieu pour tout /eH^(M)? Pour H2 le théorème 3 nous donne uneréponse partielle : sur l'espace projectif réel P"(R), la première constantedans l'inégalité du théorème 3 vaut 2^K(n;2)2 et est assez proche donc dela meilleure constante possible K(n,2)2 pour n assez grand (pour desprécisions sur cette constante voir [2] et [3]).— Cette inégalité nous permet d'améliorer les applicationsgéométriques de [6], [7] et [12] si R(M,^) > 0, nous signalons queD. Hulin en a trouvé une autre application (voir [10]).2.2. Cas limite Hï(n=dimJM).Nous partons dans ce cas d'un résultat de P. Cherrier [5] (amélioré parT. Aubin [3], p. 156) :V/ € HÏ(S") : f ef dv^ ^ c(n).exp L||V/||; + ^-1|/||,1où ^ = (n—iy'W1"2^^-1! est la meilleure possible (voir [5],2 i rthéorème 2, p. 357). T.Aubin a amélioré —||/||i en — fdv^.œn œn JyEt en procédant alors de la même manière que pour le théorème 3, onobtient :THÉORÈME 4. - Si R(M,g) ^ R(SS,can) = ô(n-l) > 0, alors :V/eHï(M): 1 ^^^cM.V.expLJ'^ViV/II^TlJM L \ v / Joù c(n) est une constante ne dépendant que de n et où f est la moyenne def, i.e. /=-[ fdv,.v JMIII. LE CAS GÉNÉRAL(SANS RESTRICTION SUR LE SIGNE DE R(M,^))Précisons quelques notations ultérieures : B(r) est la boule euclidiennede R" de rayon r; si Q est un ouvert de M, Q* est la boule euclidiennede même volume; nous notons \\f\\pn = WdVg, de même pourl|V/||,,o. ' Jn160 SAÏD ILIAS3.1. Cas de ïîf[(l^q<n).THÉORÈME 5. — Si M est une variété riemannienne compacte, sans bord,de dimension n et de volume V, alors pour toute fonction/ eHKM)( l^<n) :n/iip ̂ c^(^\m, + 2v ̂ 11/11,^i. i i iou - = - — - .p q nMontrons d'abord le :1 1 1LEMME. — Si - = - — - :p q n,nf r^t. M r"wi,K(»,,,,-../eHl(B(r)) L \\f\\P J /eHÎ(B(l)) L \\f\\P JW f^OCe lemme résulte d'une part de l'invariance du rapport ||V/[|^/[[/||p sousl'effet d'une homothétie et d'autre part de la détermination de la meilleureconstante dans l'inégalité de Sobolev euclidienne (voir [2] et [3]).Si/eHï(B(r))nCo(B(r)) (où Co(B(r)) est l'ensemble des fonctionscontinues variété f) nulles sur <5B(r)), alors fe H^(B(r)) (ceci est valablepour tout ouvert borné de R", voir [8], p. 147); on déduit alors dulemme que :(10) Inf TTO1iq\=[^n,q)]-l./eH^V|^=oL||/UWPreuve du théorème 5. — On se restreint à des éléments ^ 0 de 3M(M).Soit / e SOÎ(M) (positive ou nulle). Il existe un réel a ^ 0 tel que les sous-ensemblesM^ ^-^ooD et M_ ^/- 'G-oo^Dv vaient un volume égal à — » et soit M* la boule euclidienne de volume — •Appliquons à la fonction / — a et aux sous-ensembles M + et M - deINÉGALITÉS DE SOBOLEV 161M, les résultats de la symétrisation du paragraphe 1.1.3 et (10) pourobtenir :mM± > C(M.) IIV ÎI.M. C(MJilT^M^ c* î^^^-^"^ •Or, Min(C(M+),C(M_)) ^Ci(M); donc:11^ - < f0^)'^ (»''?))-p < IIW.-̂  + IIW.M- ^ IIW\ ^ /On peut alors écrire :11/llp ^ H/ - < + avi ̂  c*K(n^) IIV/H, + avi.^iOn majore la constante a, en remarquant que :a1^ f /. l̂l/lli,z JM^.et on conclut par l'inégalité de Hôlder.Remarque. — Si on part dans la preuve précédente d'une fonction / àmoyenne nulle, on a une meilleure estimation pour le réel a, à savoir :HV^H/lli.Et on a donc pour de telles fonctions :(il) 11/llp ^ ̂ y^.liv/ll, + v^~'il/il,.^iComme corollaire, nous nous intéressons au problème suivant :considérons l'inégalité de Sobolev (^), quelle est la meilleure constante Bdans (*) (i.e. la plus petite constante B telle que (^K) ait lieu pour aumoins une valeur A et pour tout f € H^ (M)) ? En appliquant (^) auneconstante, on voit que : B ^ V ".-lCOROLLAIRE. — La meilleure constante B dans ( ̂  ) est V ". Et on a :V/ e HKM) : 11/11, ^ P*^^ + i——1 IIV/11, + V-^II/H,1 1 1ou 1^ q<n et - = - — - .p q n162 SAÏD ILIASPreuve. — Nous avons déjà prouvé ce résultat mais par d'autresconsidérations (voir [11] proposition 2.1).Appliquons l'inégalité (11) à / — /:II/ - 7llp < [̂ ^ ĵliv/ll, + v^n/ - 711,.Or d'après un résultat de S. T. Yau rectifié par S. Gallot (voir [11])ll/-711i^^liv/|li,d'où : ^11/llp ^ ll/-/llp + 11/llp ^ P^ l̂ ITO + ̂ —— IIV/lli + 11/llp;et l'inégalité de Hôlder nous permet de conclure.3.2. Cas de Hï(M)(n = dimM).THÉORÈME 6. — Si (M,g) est une variété riemannienne compacte, sansbord, de dimension n et de volume V, alors pour toute fonction/eHï(M):f ef dv, ̂  c(n).V.exp [^(^ IIV/11; + ̂  ll/llil.Preuve. — On va utiliser les mêmes techniques que pour prouver lethéorème 5. Soit /e9îl(M)(^ 0) : d'une part à partir des résultats de1.1.3, on peut écrire :| e^^Vg = [ ef~adv.JM^ JM*/ V\D'autre part, sur la boule euclidienne M* ( de volume — j le théorème 1de [5] nous donne : N /f ^ -a dv^ < c(n) .v exp [HjlVnî .]JM* z(où c(n) est une constante ne dépendant que de n).INÉGALITÉS DE SOBOLEV 163D'où par (9) :f e^-dv, ̂  c(n).V.exp[Hj|V/*||^].JMOr d'après (6) on a :"^"-^(c^b)"'17^.-Donc, puisque C(M±) ^ Ci (M) :f ^-fl dv, < c(n).V.exp L(§*Y IIV/II;] ;a.Vet la majoration —— ^ ||/||i permet de conclure.3.3. Cas de îî\(M)(q > n).Si q > n l'inclusion H^ c L°° est continue, et alors il existe un couplede constantes (A,B) tel que : V/eHï(M)(^>n) :(***) II/HOO^AHV/II.+BII/II,.Il est naturel de s'intéresser, comme au cas q < n à la meilleure constanteA :KI = Inf{A tel que B(A) existe}.K2 = Inf{B tel que A(B) existe}.On va donner une majoration de K ^ , et on va voir que K^ = V ï (parles mêmes méthodes qu'avant).THÉORÈME 7. — Soit (M,^) une variété riemannienne compacte, sansbord, de dimension n et de volume V. Pour toute fonctionfeîî<[(M)(q>n):n/ii. < (t̂ )"̂ )̂ - ""/n.+ ̂ ii/ii.-Pour la démonstration nous aurons besoin d'un résultat semblable sur uneboule euclidienne. Considérons, comme précédemment (théorème 5 et 6) la164 SAÏD ILIASvaleur a, les domaines M + et M _ , et la boule euclidienne de mêmevolume M*.LEMME. — Soit /eH^(M^) telle que f\^ = 0. Alors sa symétrisée/* (qui appartient à H*} (M*) et est telle que f*\^=0) vérifie l'inégalité :II/*IL,M- ^ (^Y^fn^y'^^livrii^.Preuve du lemme. — Soit R le rayon de la boule M*, alors :liv/*ll^=^-i f^rywr"-1^.JoLe changement de variable r = ^ - l^-w et l'inégalité de Hôlder donnent :IIV/+11,ÎM.>»„-.(^)<-1R"-<{J" ' J^ l̂ ̂ -Et compte tenu de la décroissance de /*, on a :IIVf*ll^ > <r» [CLZn.\ R"""^!!/'*!^ 1II^J ll^M* ^ "-H^ZTl/ "•/ "oo,!^*^d'où le lemme.Preuve du théorème 7. — II suffit d'appliquer le lemme à la fonctionf — a sur M + ou M - . On obtient :11/*-^IL,M- ^ (^)L-i<^"(n^)ïï-<il^^et les résultats de 1.1.3 sur la symétrisation nous permettent deconclure. La détermination de K^ se fait de la même manière qu'aucorollaire du théorème 5.Remarque. — Nous avons prouvé implicitement que si (M,^) est àbord :1) V/eftî(M) (\^q<n):11̂  ^ r^-^^ITO °ù 1- = 1- - LC(M) - q q n2)V/eHï (M) :f e^dv, ̂  c^.V.expL.f^^yilV/ll;'].JM L \^\ïyi)/ JINÉGALITÉS DE SOBOLEV 1653) V/eftUM) (q>n):lml^(^)l-i•(n•v)"i•(o^-l{"(^))"v/"-•Mais pour préciser ces inégalités, il conviendrait de savoir minorer laconstante isopérimétrique C(M).BIBLIOGRAPHIE[I] T. AUBIN, Equations différentielles non linéaires et problème de Yamabeconcernant la courbure scalaire, J . Math. Pures Appl., 55 (1976), 269-296.[2] T. AUBIN, Problèmes isopérimétriques et espaces de Sobolev, J. Diff. Géom., 11(1976), 573-598.[3] T. AUBIN, Meilleures constantes dans le théorème d'inclusion de Sobolev et unthéorème de Fredholm non linéaire pour la transformation conforme de lacourbure scalaire, /„ Funct. Anal., 32 (1979), 148-174.[4] P. BÉRARD et D. MEYER, Inégalités isopérimétriques et applications, à paraîtreaux A nn. Se. Ec. Norm. Sup.[5] P. CHERRIER, Une inégalité de Sobolev sur les variétés riemanniennes, Bull. Sci.Math., 103 (1979), 353-374.[6] S. GALLOT, A Sobolev inequality and some géométrie applications (à paraître).[7] S. GALLOT, Inégalités isopérimétriques sur les variétés riemanniennescompactes sans bord (à paraître).[8] D. GILBARG et N. S. TRUDINGER, Elliptic partial differential équations of secondorder, Grundiehren der Math., 224, Springer, 1977.[9] M. GROMOV, Paul Levy's isoperimetric inequality. Publications I.H.E.S.[10] D. HULIN, Le second nombre de Betti d'une variété riemannienne ^ — e pincéede dimension 4 (à paraître).[II] S. ILIAS, Sur une inégalité de Sobolev, C.R.A.S., Paris, t. 294, Sériel (1982),731-734.[12] P. Li, On thé Sobolev constant and thé p-spectrum of a compact riemannianmanifold, Ann. Se. Ec. Norm. Sup., 4e série, 13, fasc. A (1980), 451-469.[13] D. MEYER, Un lemme de géométrie hilbertienne et des applications à lagéométrie riemannienne, à paraître aux C.R.A.S., Paris.Manuscrit reçu le 1er septembre 1982.Saïd ILIAS,22, rue M. Le Prince75006 Paris• etLaboratoire associé C.N.R.S. n° 212.

https://aif.centre-mersenne.org/item/10.5802/aif.921.pdf

Constantes explicites pour les inégalités de Sobolev sur les variétés riemanniennes compactes

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques

Annales de l’institut Fourier (AIF)