Avanissian, V.

Fernique, Xavier

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Sur l'analyticité des distributions harmoniques d'ordre infini

Annales de l’institut Fourier (AIF)

ANNALES DE L’INSTITUT FOURIERV. AVANISSIANXAVIER FERNIQUESur l’analyticité des distributions harmoniquesd’ordre infiniAnnales de l’institut Fourier, tome 18, no 2 (1968), p. 1-9<http://www.numdam.org/item?id=AIF_1968__18_2_1_0>© Annales de l’institut Fourier, 1968, tous droits réservés.L’accès aux archives de la revue « Annales de l’institut Fourier »(http://annalif.ujf-grenoble.fr/) implique l’accord avec les conditions gé-nérales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisa-tion commerciale ou impression systématique est constitutive d’une in-fraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-nir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/Ann. Inst. Fourier, Grenoble18, 2 (1968), 1-9.SUR I/ANALYTICITÉ DES DISTRIBUTIONS« HARMONIQUES D^ORDRE INFINI »par V. AVANISSIAN et X. FERNIQUE1. Introduction.1.1. Une fonction u(o;i, . . . , x^) à valeurs réelles définiedans un domaine D de R^ est dite « harmonique d'ordreinfini » si elle est indéfiniment difîérentiable et si elle vérifieune des conditions équivalentes suivantes : (^p désignant lelaplacien itéré p fois)i) pour tout compact K de D, on a :,. / rl^M^ii^ nhm sup 1 \ / > ==0.P^oo\.»6K L (2p) ! J /ii) pour tout compact K de D, on a :lin.[Xl^)l^1^Q.r/JA^(o;)| dxVL (2p) ! J( )!P->00La condition i) est due à N. Aronszajn [1]. La condition ii)moins restrictive et son équivalence avec i) sont dues àP. Leiong [5]. Toutes les fonctions « harmoniques d'ordreinfini » sont analytiques réelles dans D et sont prolongeablescomme fonctions analytiques complexes dans la cellule d'har-monicité de D. La classe 3^oo(D) des fonctions « harmoniquesd'ordre infini » dans D contient évidemment les fonctionsharmoniques et polyharmoniques d'ordre fini dans D. Si Dest l'espace entier R^, ^(R^ coïncide avec la classe des12 V. AVANISSIAN ET X. FERNIÇUEfonctions analytiques réelles dans tout R4 en vertu del'inégalité :lA^i, • • . , ^)1 < (2p)?(2^)-dr--^M(r),où f est analytique réelle dans tout ^ et M(r) est lemaximum de \f(x^ + iy^ . . ., ^ + M/d)| dans le polydisquede centre a = (ai, . . . , a^) e R^ de rayon r dans l'espacedes d variables complexes. Si D est différent de R^ toutefonction analytique réelle dans D n'est pas nécessairementde la classe 5^(D).Dans ce travail, on étudie la régularité des distributionsqui vérifient une condition analogue à ii), (il en résulterad'ailleurs l'équivalence de i) et ii). Les principaux résultatsont fait l'objet d'une note aux Compte Rendus de l'Académiedes Sciences [2].1.2. Notations.Les notations sont dans une large mesure celles utiliséescouramment en théorie des distributions [6] : on note R^l'espace numérique réel de dimension d, x == (x^ . . . , x^)l'un de ses points, et R^ == R+ — {0}. Pour tout ouvert Gde R^ on note 3)(G) l'espace des fonctions indéfinimentdifférentiables à support compact dans G ; pour toute partiecompacte K de R^, par exemple contenue dans G, onnote ®K la partie de ^(R^ == 3) constituée par les fonctionsdont le support est contenu dans K. La topologie de ®Kétant définie par la famille (Np) indexée par la famille N^des rf-uples d'entiers positifs p = (pi, . . . , pd) des semi-normes définies par :APi+•••+?« mV^®,, N,(9) = sup J ,xeKW . .. ô.rg«®(G) sera muni de la topologie de la limite induetive des3)̂  où K parcourt une suite croissante de parties compactesde G dont les intérieurs K recouvrent G. L'espace desdistributions sur G muni de sa topologie usuelle sera noté3)'(G) (ou 2)' s'il n'y a pas de confusion possible). Rappelonsqu'une distribution T sur G est dite fonction indéfinimentdifférentiable (resp. analytique) dans G s'il existe une fonc-SUR L'ANALYTICITÉ DES DISTRIBUTIONS 3tion f indéfiniment difîérentiable (resp. analytique) dans Gtelle que :Vçe®(G), <T, y)=//9^;une telle fonction est évidemment unique, on identifie alorsT et f.Pour tout élément y de 2), on pose :||<p|L == sup|ç(a-)|,Wv=[fW\^dx]112,A"^ =———ô-———ç ( w e N ) .' ô,»r . . . ôâ " ' ' 'Remarquons que la famille :([fw &]•")..,est une famille de semi-normes continues sur 3) et que lafamille de leurs carrés est une famille de formes quadratiquespositives continues sur 3).1.3. Topologie sur ®K-II sera utile pour la suite de définir la topologie de 3)̂par la suite des semi-normes (llA^Hi^meN- Elle sera eneffet équivalente à la topologie définie par la famille (Np)pgNd,en vertu des inégalités classiques suivantes :LEMME. — Si dans R^ le cube{x^R^ |̂ | <r, / = 1 , . . . , d}contient le compact K, alors pour tout élément y de S^on a:(1) llîIlL^r^llylL,(2) Vl</<rf, ||9L<r ̂  ,^j »(3) llîll^^IJi/Vyl2^]1'2,(4) Vw e N, H A'"9|| v < /•"11 A l̂l v,(5) Vm e N, H A^yll v < (2TC)2m(d-l)ll A'"y| y,4 V. AVANISSIAN ET X. FERNCÇUEDémonstration du lemme. — Toutes ces inégalités sont clas-siques; pour la démonstration des trois premières, nous ren-voyons à ([4], III, 1.2). La quatrième s'en déduit immédiate-ment : il suffit en effet, par substitution de la vérifier dans lecas où m == 0, elle résulte alors de (1) et (3) ; nous démontronsla cinquième : en désignant par 9 la transformation deFourier, on a :J ^2md-, 2 /* ?)2md 2'A"»'1- = <...̂  d x = j 9 <—te»v dy^dd r\ d ~\2m11 ̂ l4" W dy < (2^4m(d-l) S (2^)21 W2y==i ^ U=i^  F  \•• \ II -l4 ^ î^-^ -)  l^?!  dyJ  ty Lj  J= (21T)4CT<d-l) f I^A^I2 dy = (2^l)4m(d-l) J lA^i2 dy= (2^4m<d-l>||Amy||2L.Les inégalités (2) et (3) montrent bien que toute semi-normede la famille (Np)peNd est majorée par une semi-norme continuede la forme ci—^IJA^HL»; la famille de ces semi-normesengendre donc la topologie de 3)^. L'inégalité (4) montre alorsque pour toute famille finie (m», a»), (m^eN, a;eR^), ilexiste un couple (w, a) de N X R^ tel que{9 e ®K| HA^HL. < a} c f̂ l {9 e 3)^1 IIA l̂̂  < aj.lCeci montre que l'ensemble des A-boules :{y e Sf\ HA^HL. < a}^eN, <x>oconstitue une base des voisinages de l'origine dans 2)^Les inégalités (4) et (5) permettent alors d'utiliser commebase les A-boules d'indice pair, puis les A-boules. Ceci dé-montre :PROPOSITION 1. — Pour tout voisinage V de Vorigine dans®K, il existe un couple {m, a) de N X R^ tel que :(6) ^c^lllA^lli^^ cV.2. Distributions « harmoniques d'ordre infini ».2.1. DÉFINITION 1. — Soient G un sous-ensemble ouvertde R^ X = (^)ngN une suite de nombres réels strictement positifsSUR L'ANALYTICITÉ DES DISTRIBUTIONS 5et p un nombre réel positif ou nul', on dira qu'une distribution Tappartient à A^(X, p, G) si elle vérifie la propriété suivante :(7) Vçe2)(G), limsuprK^^lT^p.p->^ L Àp JOn remarquera que A^(X, p, G) est stable par dérivation.DÉFINITION 2. — On dit qu'une distribution T est ((harmo-nique d'ordre infini » dans G si elle est élément deAJ((2p !)),eN, 0, G].On dit qu'une fonction f sur G est (( harmonique d'ordreinfini » dans G au sens des distributions si la distribution Tqui lui est canoniquement associée l'est.On remarquera que toute fonction « harmonique d'ordreinfini » au sens ii) l'est aussi au sens des distributions.2.2. PROPOSITION 2. — Soit T un élément de A^(X, p, G) ;alors pour tout nombre o- strictement supérieur à p, la suite( 4- \—G-^T) est une suite bornée dans 3)'(G); pour tout^n /neNsous-ensemble ouvert Q relativement compact de G, il existeun couple (po, a) de N X R*. tel que :(8) V(9, n) e 3)(Q) x N, |< A-T, 9 >| < aX |̂|A |̂|i,Démonstration. — Pour tout entier positif n, considéronsl'application R<, „ de 3)(G) dans R^ définie par :R^-i——K^T, 9 ) 1 ;p=o Âpî^Pour tout élément 9 de $D(G), la suite (Ro,n(9))neN convergeen croissant vers une limite R<r(9) en vertu de (7). La suite(W y\ ^nn^ / raeNa alors tous ses termes majorés par Rg(9); d'où le premierrésultat ([6], Th. IX, p. 72; [3], Corr. 1. P. 22.). La mêmeréférence montre alors qu'il existe un nombre M et un6 V. AVANISSIAN ET X. FERNIÇUEvoisinage V de 0 dans 3)(G) tels que :V(y, n ) e V X N, [(A-T, y^^M;appliquons la proposition 1 à la trace de V sur S&Q ; il existeun couple (po? a) de N X R^ tel que :y €=3)^ et flA^yIlL^ a = ^ V M e N ,I^T, y^X^M;par homogénéité, on déduit :^î. ^^û X N. K^ Î>1 <\^Ma||A^°y||L<;c'est le deuxième résultat.COROLLAIRE 1. — Soient T un élément de A^(X, p, G), o-un nombre strictement supérieur à p et K un sous-ensemblecompact de G; il existe alors un voisinage V de Voriginedans V^ et un couple (po? a) de N X R^ tels que :V(ç, ^, n) e a)(V) x K X N,(9) KA^y)^)! <aV71|A^||L«Démonstration. — On choisit un voisinage V relativementcompact de l'origine dans R^ tel que (K — V) soit unsous-ensemble ouvert relativement compact de G noté Q.Soient x un élément de K et y un élément de 3) ayant sonsupport dans V; la fonction t\—^^{x — t) a alors son supportdans Q. Appliquons donc la proposition 2 : (8) s'écrit :jA^T . y(^)| = KA"^, y(^ - ())| < a\^\\^(x - ()||i,= OX^IIA^HL.;d'où le résultat.THÉORÈME 1. — Toute distribution T élément de A^(X, p, G)est une fonction {au sens usuel) indéfiniment différentiable.Démonstration. — Soient Œ un nombre strictement supé-rieur à p, û un sous-ensemble ouvert relativement compactde G et T un élément de A^(X, p, G) de sorte qu'on puisseappliquer la formule (8). Soit de plus H le sous-espace deL^R*^ engendré algébriquement par les A^y où y parcourtSUR I/ANALYTICITÉ DES DISTRIBUTIONS 7®(û). La formule (8) appliquée à n == po montre que Test une forme linéaire continue sur H pour la topologieinduite par celle de L^R^). Elle peut donc se prolonger enune forme linéaire T continue sur L^R^; les propriétésélémentaires de cet espace montrent que cette forme linéaire Test définie par une fonction fe. L^R^); pour tout élément yde 3)(û), on a alors :<A^°T, 9>^ = <T, A^?>^ = <T, A^?>H*,H = <t, A^y)î )= ff{x)^[x) dx = </; A^?^,® == (A^f, ï)®^,ceci signifiant que A^T — /*) est nul dans Q au sens desdistributions.Comme l'opérateur A^ est analytique hypoelliptique,T — f est en fait une fonction indéfiniment différentiabledans û et T est une fonction localement de carré sommabledans Q. La stabilité de A^(X, p, G) montrant qu'il en estde même pour toutes les dérivées de T, on en déduit ([6], p. 191,Th. XIX) que T est dans Q une fonction indéfinimentdifférentiable; d'où le résultat en utilisant une suite croissanted'ouverts relativement compacts recouvrant G.THÉORÈME 2. — Soit T une distribution élément de•A-oo(^? p? G) ; pour toute partie compacte K de G et tout a~strictement supérieur à p, il existe un nombre c == c(K, a")et un entier k == /c(K, <r) positifs tels que:(10) V(.r, n) e K X N, |(A»T)(.r)| < ca"{\ + ̂ a")Démonstration. — Soient V un voisinage relativementcompact de l'origine dans R'' et {po, a) un couple de N X R^.tels qu'on puisse appliquer aux données de l'énoncé la formule(9). Soient de plus k un entier strictement supérieur à po?y une fonction de 3)(V) et E^ la solution élémentaire del'opérateur A^ un argument élémentaire de prolongementmontre que yE^ qui a son support dans V est assez régulièrepour qu'on puisse la substituer à y dans la formule (9) ;comme par ailleurs la différence (A^yE^) — à) est une fonc-tion Ç indéfiniment différentiable à support compact contenudans V à laquelle on peut aussi appliquer la formule (9),8 V. AVANISSIAN ET X. FERNIÇUEon obtient :1(A-T)(^| = KAT*^)! = KA-T.A^E,))^) - (A»T:)(;r)|< ̂ T * YE,)Qr) + |(A»T * r)(.r)|< a[À„+,a'>+fc[|A^(YE,)||I. + X^IIA^HL.]< sup (IIA^YEJl)i,, ||A |̂l,,)a(X^» + X^^)^(T'-^+W^);c'est le résultat.THÉORÈME 3. — Soient \ == (XJneN une suite de nombresréels strictement positifs tels que :[ ~\ ii/"(11) limsup -2±1 <1 ;n->ao An JalorSy pour tout sous-ensemble ouvert G de Rd 6( (OM^ nombrepositif p, pour qu^ une distribution T appartienne à A^(X, p, G)lî /au( et iî 5U^î( quelle possède les deux propriétés suivantes :a) T est une fonction indéfiniment différentiable.b) Pour toute partie compacte K de G, on a :,. r KA^K^II^hm sup sup ^———— \ ^ p.n->ao L.»€K À^ JDémonstration. — Si T est un élément de A^(X, p, G),la propriété a) résulte du théorème 1 ; la propriété b) résulte duthéorème 2 puisque la relation (11) montre que :/ ^ \1^limsup(l+ -^±k} <1°̂° \ Àn /la réciproque est immédiate.COROLLAIRE 2. — Pour quune distribution soit « harmonique£ ordre infini » sur un ouvert G de R^, il faut et il suffitquelle coïncide {au sens des distributions) avec une fonctionharmonique (K ordre infini au sens usuel dans G.Remarque. — Soit dans l'ouvert D de R'^ une fonction uindéfiniment difîérentiable vérifiant la condition ii). Onvérifie immédiatement que la distribution associée vérifiela définition 2. Le théorème 3 montre alors que la fonction uSUR L'ANALYTICITÉ DES DISTRIBUTIONS 9vérifie la condition i); d'où une nouvelle démonstration deVéquivalence i) ^=^ ii).COROLLAIRE 3. — Soit T une distribution sur R^; pourque la fonctiond2) î̂ p FIXAIT'"n>oo | ^n) \ Jsoit bornée sur ^(R^, il faut et il suffit qu'elle soit identique-ment nulle.En effet, le théorème 3 montre que si la fonction (12) estbornée, la distribution T est une fonction analytique (1) danstout R^; on sait alors que,. f \W^\^n .llm ^P ̂  = °n>oo |_a;€K [^n) ! Jpour tout compact K de R^ on en déduit le résultat.(1) La condition : lim sup———lA'1 /^)! ^ M (a;), sup M(x) < oo, pour toutn^oo [_(2n)\ J œeKcompact K inclus dans G caractérise en effet les fonctions analytiques dans G.BIBLIOGRAPHIE[1] N. ARONSZAJN, Sur un théorème de la théorie des fonctions analytiquesde plusieurs variables, C.J?., 205 (1937).[2] V. AVANISSIAN et X. FERNIQUE, Sur les distributions harmoniquesd'ordre infini, C.J?., 204 (1967), p. 1056.[3] N. BOURBAKI, Espaces vectoriels topologiques, Ch. III, Hermann, (1964).[4] X. FERNIÇUE, Processus linéaires, processus généralisés, Ann. Inst,Fourier, 17, 1 (1967).[5] P. LELONG, Sur la définition des fonctions harmoniques d'ordre infini,C.R., 223 (1946), p. 372.[6] L. SCHWARTZ, Théorie des distributions, édition 1966, Hermann, Paris.Manuscrit reçu le 11 octobre 1967V. AVANISSIAN et X. FERNIQUEInstitut de Recherche Mathématique Avancée,Université de Strasbourg67-Strasbourg.

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