Novaković, Predrag

Croatian

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia

Aerosoli, kapljice i virusiPredrag Novaković1U proteklom pandemijskom razdoblju glavni je cilj bio suzbijanje širenja koronavirusa,nositelja bolesti COVID-19. Jedna od važnih zadaća na tom putu upravo je bila proučitiširenje virusa i njegovo zadržavanje u prostoru što je rezultiralo stvaranjem raznihznanstvenih, a prije svega matematičkih i fizikalnih modela.Uz važne parametre, brzinu širenja i koncentraciju virusa, uz zahvaćeni prostor valjaistaći i vrijeme ekspozicije kako bi se raspolagalo potpunim informacijama. Kako sevirusi prenose putem kapljica i aerosola, očito je kako se do ozbiljnijih podataka nemože doći bez osnova fizike fluida.Zadatak. Odrediti vrijeme zadržavanja kapljica i aerosola (kao nositelja virusa) uzraku.Rješenje. Aerosoli i kapljice su suspenzije čestica krutih tvari ili kapljica u plinuodre -denih svojim promjerom.0.2m1m5mSlika 1.Red veličine2 i njihove mase prikazani su slijedom i uz sliku 1:veličina virusa, promjer: 50 − 200 nm = (5 − 20) · 10−8 mmasa3 virusa: 103 MDa = 103 · 106 · 1.6605 · 10−27 kg = 1.661 · 10−18 kgveličina bioaerosola, promjer: < 1μm = 10−6 mdAS = 1 μm = 10−6 m; ρAS = 1gcm3= 103kgm3; mAS = 5.236 · 10−16 kgveličina kapljica, promjer: > 5 μm = 5 · 10−6 mdKAP = 20 μm = 2·10−5 m; ρKAP = 1.1 gcm3 = 1.1·103 kgm3; mKAP = 3.686·10−14 kg1 Autor je profesor matematike u Tehničkoj školi Nikole Tesle u Vukovaru;e-pošta predrag.novakovic1507@gmail.com.2 https://myweb.uiowa.edu/tpeters/IH1/Aerosols/AerosolFormulae.pdf3 1 Da (Dalton) mjerna jedinica mase definirana kao112nevezanog neutralnog atoma ugljika 12C u svomosnovnom stanju i stanju mirovanja.90 Matematičko-fizički list, LXXIII 2 (2022. – 2023.)gustoća zraka pri 20 ◦C: ρZ = 1.2041 kg/m3brzina slobodnog pada aerosol/kapljica: vAK ∼ 1 cms = 10−2 ms.U temeljna razmatranja navedenoga zadatka ugra -dene su sljedeće fizikalne pojavnosti:1) uzgon: FU = ρVg ,2) aerodinamička sila otpora: FD =12ρv2CDA ,3) Stokesova sila: FS = 6πηrv .Polazna pretpostavka je da se aerosol/kapljica sfernog oblika nalazi na visini 1.75 mod razine zemlje (približno prosječna visina čovjeka) i bez početne brzine.Slobodni padNajjednostavniji je slučaj slobodni pad čestice aerosola/kapljice u početnom stanjumirovanja. Za dane podatke jet =√2hg=√2 · 1.759.81= 0.597 s.UzgonKada se promatrano tijelo nalazi u sredini gustoće ρ , na njega djeluje sila uzgonaproporcionalna gustoći sredine i svome obujmu. Smjer sile uzgona je suprotan smjerusile teže pa je uvjet ravnoteže sila:−−→G + −→U = 0, −mg + ρZVg = 0.Može li i pod kojim uvjetima aerosol/kapljica uravnoteženo lebdjeti? Za naše uvjete spočetka zadatka je:aerosol−mAS · g + ρ · 43r3AS · π · g = 0−5.236 · 10−16 · 9.81 + 1.2041 · 43·(1210−6)3· π · 9.81 = 0−5.1303 · 10−15 = 0kapljica−mKAP · g + ρ · 43r3KAP · π · g = 0−3.686 · 10−14 · 9.81 + 1.2041 · 43·(2 · 10−52)3· π · 9.81 = 0−3.121 · 10−13 = 0Matematičko-fizički list, LXXIII 2 (2022. – 2023.) 91Oba rezultata pokazuju kako i aerosoli i kapljice, nisu u ravnoteži, dakle ne lebde. Čakuzimajući u obzir negativan predznak (isti kao i predznak sile teže), zaključak je kakoje dokazano gibanje aerosoli/kapljice smjera djelovanja sile teže što mi doživljavamoprema dolje.Sada valja istražiti koja tijela i pod kakvim uvjetima lebde. Iz jednakosti ravnotežesila slijedimV= ρZ.Ako je promjer veličina koja odre -duje aerosol, odnosno kapljicu, tada treba potražitimasu koja zadovoljava uvjet lebdenja:mAS0 = ρZV = 1.2041 ·43·(1210−6)3· π = 6.305 · 10−19 kg < 5.236 · 10−16 kg= mAS,mKAP0 = ρZV = 1.2041 ·43·(2 · 10−52)3· π = 5.044 · 10−15 kg < 3.686 · 10−14 kg= mKAP.GvU FD→→→ →Slika 2.Očito je kako je potrebna manja masa aerosol/kapljica da bi došlodo njihovog lebdjenja. Uključi li se u ovo razmatranje i virus(njegovi su nositelji aerosol/kapljica), čija je gustoća nešto manjaod 400 kg/m3 , ali znatno veća od gustoće zraka, zaključak je kakose sustav aerosol/kapljica-virus sigurno giba, kako je navedeno, usmjeru djelovanja sile teže. Primijeni li se 1. Newtonov zakon nagornji rezultat ravnoteže sila, zaključak je kako brzina gibanja ovogsustava nije stalna već je promjenjiva, što uvodi i pojam akceleracijeu ovo razmatranje.Prema 2. Newtonovom zakonu, djelovanje sile mijenja količinugibanja, odnosno brzinu uz uvjet nepromijenjene mase, što je slučaj saerosolima/kapljicama. Kako bi se što potpunije istražilo ponašanjepromatranih tijela valja u obzir uzeti sve sile čiji doprinos nijezanemariv.Uzgon i aerodinamički otporPrilikom gibanja u sredstvu, uz uzgon tijelo mase m nailazi na otpor sredstva kojiovisi o gustoći sredine ρ , kvadratu brzine gibanja tijela v2 , poprečnom presjeku tijela4A (uzima se najveća površina okomita na smjer gibanja) i koeficijentu sile otpora CD(ovisi o obliku tijela). Sila otpora smjerom je suprotna smjeru sile teže, tako je:F = mdvdt= −G + U + FD,mdvdt= −mg + ρZVg + 12ρv2CDA,gdje je diferencijalni5 člandvdtmjera promjene brzine u odnosu na promjenu vremena,a predstavlja promjenjivi član ukupne sile.4 Pretpostavljen je sferni kao najbliži oblik.5 Dio infinitezimalnog računa s kojim se učenici susreću u nastavi matematike tek sredinom 4. razreda srednjihškola.92 Matematičko-fizički list, LXXIII 2 (2022. – 2023.)Fizikalni pokusi pokazuju kako je ubrzanje aerosola/kapljice vrlo malo, opadajućegtrenda i vremenom iščezava, što ukazuje da je diferencijalni član približno jednaknuli te se može i izjednačiti s nulom. Ova aproksimacija je opravdana obzirom nafenomenološko promatranje ove fizikalne pojave, a kako će se kasnije vidjeti, i zbograznih drugih značajnih utjecaja. Izdvdt= 0 slijedi − mg + ρZVg + 12ρv2CDA = 0.Jednostavnim postupkom za brzinu v dobiva sev =√√√√√√√√2g(m − ρZ · 43 · r3 · π)ρZCD(d2)2π,odnosno, slijedom za čestice aerosola/kapljice jevAS =√√√√√√√√2g(mAS − ρZ · 43r3ASπ)ρZCD(dAS2)2π=√√√√√√√√√2 · 9.81 ·(5.236 · 10−16 − 1.2041 · 43·(10−62)3· π)1.2041 · 0.47 ·(10−62)2· π= 0.1519ms,vKAP =√√√√√√√√2g(mKAP − ρZ · 43r3KAPπ)ρZCD(dKAP2)2π=√√√√√√√√√2 · 9.81 ·(3.686 · 10−14 − 1.2041 · 43·(2 · 10−52)3· π)1.2041 · 0.47 ·(2 · 10−52)2· π= 0.0593ms,a vrijeme njihova zadržavanja na putu h = 1.75 m bit ćetAS =sv=hv=1.750.1519= 11.52 s,tKAP =sv=hv=1.750.059254= 29.53 s.Iz dobivenih podataka moguće je saznati i nešto više o samom gibanju aerosola/kapljiceu naznačenim uvjetima. Prema veličini Reynoldsovog6 broja izvodi se zaključak,6 Radi se o bezdimezijskoj veličini.Matematičko-fizički list, LXXIII 2 (2022. – 2023.) 93radi li se o laminarnom ili turbulentnom strujanju fluida. Za promatrane slučajeveaerosola/kapljice pri l = h = 1.75 m jeReA =ρ · vA · lη= 17.78,ReK =ρ · vK · lη= 6.94,gdje je η dinamička viskoznost fluida (za zrak na temperaturi T = 20 ◦C je η = 0.018).Očito, radi se o izrazito laminarnom gibanju jer je uvjet za ovu vrstu gibanja Re < 2320.U izrazu za silu aerodinamičkog otpora, sila ovisi o kvadratu brzine. Pri malimbrzinama, vrijednost sile otpora još je manja te u jednom trenutku može postati tolikomala da je zanemariva. Naravno, sila otpora postoji i u ovom slučaju kada su brzineznatno manje.Stokesov zakon gibanja čestica u fluidu najbolje opisuje laminarno gibanje malihčestica pri malim brzinama uz mali Reynoldsov broj Re < 1 što najviše odgovarauvjetima gibanja aerosola/kapljica. Ipak, za vrijednosti Reynoldsova broja Re > 1potrebno je uvesti korekciju poznatu kao Cunninghamov faktor korekcijeCC = 1 +2λd⎛⎝1.257 + 0.4e−0.55 dλ⎞⎠ ,koji ovisi o λ , srednjem slobodnom putu7 i d , promjeru čestice. Opravdanost uvo -denjanavedenog korekcijskog faktora potvr -dena je rezultatima brojnih pokusa kojima jepokazano kako je upravo omjer Kn =λd, poznat kao Knudsenov broj, bitan uproučavanju mehanike fluida, a za aerosole je Kn > 100, odnosno CC = 331.96. Naneki način, Knudsenov broj i Cunninghamova ispravka neizravno upućuju na važnuznačajku mikroprirode i čovjekovu intuicijsku slutnju: srednji slobodan put mikročesticeznatno je veći od njezine veličine (u ovom slučaju i preko 100 puta) odnosno, većimdijelom plin čini prazan prostor.Uzgon i Stokesova silaUz izbor primjerenije sile otpora, primjenu Stokesovog zakona uz Cunninghamovfaktor korekcije CC , jednadžba gibanja ima oblikmdvASdt=3πηdASCC(vZ − vAS) + mg,gdje je η dinamička viskoznost fluida (za zrak na temperaturi T = 20 ◦C je η = 0.018),dAS promjer čestice aerosola vZ brzina fluida, odnosno zraka (u promatranom slučajujednaka nuli) i vAS brzina čestice (u zadatku aerosol). Brzina aerosola/kapljice u zraku7 Srednja udaljenost koju prije -de čestica bez promjene smjera gibanja ili energije.94 Matematičko-fizički list, LXXIII 2 (2022. – 2023.)jevAS =d2ASρASCCg18η=(10−6)2 · 103 · 331.96 · 9.8118 · 1.824 · 10−5 = 9.919 · 10−3 ms,vKAP =d2KAP(ρKAP − ρ)g18η=(2 · 10−5)2 · (1.1 · 103 − 1.2041) · 9.8118 · 1.824 · 10−5 = 1.313 · 10−2 ms,pa je vrijeme potrebno da aerosol/kapljica padne na zemljutAS =sv=hv=1.759.919 · 10−3 = 176.43 s,tKAP =sv=hv=1.751.313 · 10−2 = 133.28 sili izraženo, bliže čovjekovu poimanju vremena, u minutama tAS = 2.94 min, odnosnotKAP = 2.22 min. Usporedbe radi, u poznatom pokusu odre -divanja elementarnognaboja, znanog i kao Millikanov pokus s kapi ulja, za terminalnu brzinu8 kapi uljadobivene su vrijednosti 3.2 · 10−4 ms−1 < v < 1.17 · 10−3 ms−1 . Kap ulja veličine jedulje = 2 μm = 2 · 10−6 m i gustoće ρulje = 800 kg/m3 na sobnoj temperaturi.Fizička realnost uključuje, prije svega, mnoštvo čestica gdje nije zanemariv doprinosbližih čestica i njihova me -dusobna interakcija. Pojedini znanstvenici polaze upravood proučavanja mnoštva čestica i Brownova gibanja pretpostavljajući potpuni kaosme -du česticama. Ipak, usmjereni oblaci nositelja virusa nastalih disanjem, kašljanjemi kihanjem upućuju na relativno usmjereno, ali vrlo složeno gibanje, mnoštva česticas početnim brzinama (disanje 1 ms−1 , kašljanje 10 ms−1 , a kihanje čak 50 ms−1 )i smjerom različitim od smjera slobodnog pada. Različiti dinamički modeli uzimaju uobzir i temperaturu, tlak, vanjsko strujanje, elektrostatski utjecaj itd.Na kraju, valja podsjetiti kako je dobiveni rezultat približan uz značajna ograničenjaili pojednostavnjenja jer predstavlja model gibanja jedne čestice aerosol/kapljica bezpočetne brzine i raznih vanjskih utjecaja. I takav pojednostavnjen model jasno ukazujena mehanizam kapljičnog prijenosa i moguće načine suzbijanja zaraze, od kojih npr.distanciranje na udaljenosti 2 m djeluje opravdano. Pokazalo se kako slobodan pad spočetka razmatranja i nije baš tako slobodan, najviše zahvaljujući zakonitostima fizikefluida.Literatura[1] KEVIN P. FENNELLY, Particle sizes of infectious aerosols: implications for infection control,The Lancet Respiratory Medicine; volume 8, issue 9, p. 914–924, 2020.[2] LUIS A. ANCHORDOQUI, EUGENE M. CHUDNOVSKY, A physicist view of COVID-19 airborneinfection through convective airflow in indoor spaces,https://arxiv.org/pdf/2003.13689.pdf[3] https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC7224694/[4] https://doi.org/10.1175/1520-0450(1968)007%3C0944:FSOAP%3E2.0.CO;2[5] https://webspace.clarkson.edu/projects/crcd/public_html/me537/downloads/slides/1_Introduction.pdf[6] https://aip.scitation.org/doi/10.1063/5.00429528 https://studylib.net/doc/25370448/millikan-s-oil-drop-experimentMatematičko-fizički list, LXXIII 2 (2022. – 2023.) 95

Aerosoli, kapljice i virusi

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia