Conditions initiales et réactions inverses en cosmologie quantique

Abstract

The present thesis addresses the cosmological backreaction problem, i.e., the question of whether and to which extent cosmological inhomogeneities affect the global evolution of the Universe. We will thereby focus on, but not restrict to, backreaction in a purely quantum theoretical framework which is adapted to describe situations during the earliest phases of the Universe. Our approach to evaluating backreaction uses a perturbative and constructive mathematical formalism, denoted space adiabatic perturbation theory, that is inspired by but which extends the well--known Born--Oppenheimer approximation to molecular systems.The underlying idea of this scheme is to separate the system into an adiabatically slow and a fast part, similar to the separation of nuclear and electronic subsystems in a molecular setting. Such a distinction is reasonable if a corresponding perturbation parameter can be identified. In case of molecular systems, such a parameter arises as the ratio of the light electron and heavy nuclear masses. In the case of the here considered cosmological systems, we identify the ratio of the gravitational and the matter coupling constants as a suitable perturbative parameter. In a first step, we apply the space adiabatic formalism to a toy model and compute the backreation of a homogeneous scalar field on a homogeneous and isotropic geometry. We restrict the computations to second order in the adiabatic perturbations and obtain an effective Hamilton operator for the geometry.In the sequel, we apply space adiabatic perturbation theory to an inhomogeneous cosmology and calculate backreaction effects of the inhomogeneous quantum cosmological fields on the global quantum degrees of freedom. Therefore, it is necessary to first extend the scheme adequately for an application to infinite dimensional field theories. In fact, the violation of the Hilbert--Schmidt condition for quantum field theories prevents a direct application of the scheme. A solution is obtained by a transformation of variables which is canonical up to second order in the cosmological perturbations. This allows us to compute an effective Hamilton operator for a cosmological field theory previously deparametrized by a timelike dust field, as well as the identification of an effective Hamilton constraint for a system with gauge--invariant cosmological perturbations. Both objects act on the global degrees of freedom and include the backreaction of the inhomogeneities up to second order in the adiabatic perturbation theory.We conclude that it is a priori inadmissible to neglect cosmological backreaction. However, due to the general difficulties associated with finding solutions for coupled gravitational systems, the concrete evaluation of the operators found here must remain the subject of future research. One obstacle is the occurrence of indefinite mass squares associated with the perturbation fields which are the result of the previous transformations (which however, already appear in independent problems, for example in the use of Mukhanov--Sasaki variables) . A further complication in the final quantization and search for appropriate solutions arises from the non--polynomial dependence on the global degrees of freedom. We discuss these obstacles in detail and point to possible solutions.Cette thèse aborde le problème des réactions inverses en cosmologie. Plus précisément, elle cherche à donner une réponse à la question de la signification et de la forme des effets excercés par les inhomogénéités cosmologiques sur l'évolution globale de l'Univers et cela dans un cadre purement quantique. Nous nous concentrerons donc, mais sans nous y limiter, sur les réactions inverses quantiques adaptées pour décrire les premières phases de l'Univers. Notre approche se sert d'un formalisme perturbatif et constructif nommé théorie des perturbations spatio--adiabatiques et qui s'inspire de l'approximation de Born--Oppenheimer bien connue de l'analyse spectrale des systèmes moléculaires. Cette théorie développe l'approche de Born--Oppenheimer de plusieurs façons.L'idée sous--jacente de cette approche consiste à séparer le système en une partie adiabatiquement lente et en une partie rapide, similaire à la séparation des sous--systèmes nucléaires et électroniques dans un molécule. Une telle distinction est raisonnable si un paramètre perturbatif correspondant peut être identifié. Dans le cas des systèmes moléculaires, un tel paramètre provient de la fraction des masses des électrons légers et des noyaux lourds. En cosmologie par contre, nous identifions le rapport des constantes de couplage de la gravitation et de la matière comme un paramètre perturbatif susceptible. Dans une première étape, nous appliquons ce formalisme spatio--adiabatique à un modèle d'oscillateurs simples ainsi qu'à un modèle cosmologique réduit de symétries comprenant un champ scalaire couplé à la géométrie d'espace--temps. Nous réussissons à dériver des opérateurs hamiltonien effectifs dans les deux cas qui comprennent les réactions inverses du système rapide exercés au système lent. Nous nous limitons à des calculs au second ordre dans les perturbations adiabatiques.Par la suite, nous appliquons la théorie des perturbations spatio--adiabatiques à des modèles de cosmologie inhomogène et calculons les effets des réactions inverses des champs cosmologiques quantiques et inhomogènes sur les degrés de liberté quantiques globaux (par exemple sur le taux d'expansion de l'Univers). Pour cela, il est nécessaire d'étendre le schéma de manière adéquate pour permettre son application aux théories des champs de dimension infinie. Plus précisément, la violation de la condition de Hilbert--Schmidt dans le contexte des théories quantiques des champs empêche l'application directe du schéma. Il s'avère qu'une transformation des variables (au niveau classique) qui est canonique jusqu'au second ordre dans les perturbations cosmologiques offre une solution à ce dilemme. Ces transformations nous permettent de calculer un opérateur hamiltonien effectif pour une théorie cosmologique des champs quantiques, préalablement déparamétrisée par un champ de poussière, ainsi que l'identification d'une contrainte hamiltonienne effective pour un système comprenant des perturbations cosmologiques invariantes de jauge. Les deux objets agissent sur les degrés de liberté globaux et incluent les effets des réactions inverses des inhomogénéités jusqu'au second ordre spatio--adiabatique.Nous concluons par souligner qu'il est a priori inadmissible de négliger les effets de réaction inverse en cosmologie selon nos résultats. Cependant, en raison des difficultés générales associées à la recherche de solutions pour les systèmes gravitationnels couplés à la matière, l'évaluation concrète des opérateurs trouvés ici reste le sujet de recherches futures. Un obstacle est l'apparition de carrés de masse indéfinis associés aux champs perturbatifs qui sont le résultat des transformations mentionnées ci--dessus. Une autre complication dans la quantification finale et la recherche de solutions appropriées provient de la dépendance non--polynomiale des degrés de liberté globaux. Nous discutons ces obstacles en détail et indiquons des solutions possibles