Article信州大学教養部紀要. 第二部, 自然科学 9: 1-5(1975)departmental bulletin pape

NISHIKAWA,  Akira

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NISHIKAWA  Akira

Shinshu University Institutional Repository

ON THE GROUP  ISOMORPHISLI OF E(C, A)WITH  H1(G,  HOMK (C, A))Akira NISHIKAWA   § 1. Introduction    In this paper, we assume that K is a field, G is a finite group, and A, C are KG-modules.    In Chapter 10 of  [4], it is proved that there is a  one-to-one correspondence between the set of all equivalence classes of extentions of A by C and the 1-st cohomology group  111(G, HomK(C, A)).    The same fact appears in Chapter 8 of  [2]. On  the other hand, in Chapter 3 of  [3], it is proved that the former set E(C, A) has the group structure with the Baer sum. In this paper, we shall prove with the direct computation that the one-to-one correspondence in  [4] is a group isomorphism, which can be proved homologically by connecting the result of Chapter 11, § 8, and Chapter 14, § 1 in  [1].    § 2. The  one-to-one correspondence    For an extension          Afg  ,    : 0- 0,        0f.KHomK (C, A)HomK (C, B) HomK (C , C) 0 is an exact sequence of KG-modules and  KG-  homomorphisms.    Thus we have the following exact cohomology sequence                                            "     0 HomKG (C, A) HomKG (C, HomKG (C,HomK (C, A))  H1  (G, HomK (C,  B))  - where A is the connecting homomorphism.    To the equivalence class ( ) of  e  , associate A  (1G), then we have the  one-to-one correspondence in [41:         E  (C, A) <—>  (G  , HomK (C, A)).2　　　　1n　the　extension　29，　let　ip　be　a　K－splitting　，gf　g．　Then，．．．ip　is　iq　．　HomK（C，　B），and　if　6　：　HomK　（C，　B）　＝Ce　（G，　HomK　（C，　B））　一　C’　（G，　HomK　’（C，　B））　’　is　the　differentialmap，　then　o“奄吹@is　actually　in　Zi（G，　HomK（C，．e〈t）），　and　the　cehomology　class　of　6di　is　A（lc）’　　　　Conversely　for　any　element　of　Hi（G，　HomK（C，　A）），　iet　¢　be　the　representativel－cocycle．　　　　Take　for　B　the　set　of　all　pairs　（a，　c），　where　a　E　A　and　c　E　C，　and　regard　it　asthe　direct　sum　of　A　and　C　considered　simply　as　K－spaces．　Next　define　a（a，　c）　by　　　　　　　　　a　（a，　c）　＝　（6a　＋　¢．（ac），　ac）．　　　　This　makes　B　into　a　KG－module　as　is　easily　verified．　　　　With　the　mappings　f：a　1一一　（a，　O）　and　g：（a，　c）　1一　c，　the　sequence　　　　　　　　g：　o－A　1：一．BLc一・，ois　an　exact　sequence　of　KG－modules　and　KG－homomorphisms，　i．　e．　，・　an　extension　of　Aby　C．　　　　　　　Moreover　K－homomorphism　¢：C－B　such　that　ip　（c）　＝＝　（O，　c）　is　a　K－splittingof　g’and　if　we　construct　A　（lc）　through　ip，　then　it　coincides　with　ip．g　3． 圃ke　Beser　s配魏　　　　Let（ep　l）and（92）are　in　E（C，∠4），　i．　e．，　　　　　　　　9、；O＿→盆ムB1一載C＿→0　　　　　　　　豹。＿践ム8，皇C．。，andφ1　andφ2　be　Kl－splittings　of　9’1　and　92，　respectively．　　　　First　we　describe　the　Baei　sum　of（cif　1）and（ぎ2）．　　　　Let∠9：C一一→C∈）C　be　the　diagonal　map　and．1et　X　be　KG　一　submodu1e　of　Bl（∋B2（∋Cwhich　is　the　set｛：（ろ、，ろ2，　c）∈B、（｛），B2（∋Cifi（b、）＝・．ん（う2）＝c｝，　then　we　havethe　c・mmutative　diag・am．Ef・・w　exact：　　　　　　　　　0＿A㊦君五㊦桑B、㊦B，9塾2C㊦c＿→O　　　　　　　　　　　　　　　　　　l　　　　　　↑　　　　　　↑　　　　　　　　　　　　　　　　　　ト　　　　　　　　　。。錨A7．x　α9　＿c4．．。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　where　f（al，　a2）＝伍（al），　f2（a2），）0，9（ろ1，ろ2，　c）竿。，　α（bl，う2，　c）＝（b1，ろ2）l　　　　Corresponding　to　the　K－space　structure　of　　　　　　　　　　　　On　the　group　isomorphism　of　E（C，　A）with　H1（G，　HomK（C，　A））　　　　　　3　　　　　　　　　B、㊦B2＝（Aec）㊦（A㊦C），we　have　　　　　　　　　（A（ヨ）C）㊥（A㊦C）⊃X＝｛（（al，の，（α2，　c），　o）1　ai，　a2∈A，ご∈C｝．　　　Next　Iet　V：A（D∠9一一一→A　　be　the　map　（al，　a2）ト吟al十a2，　and　let　B　be　the　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　factor　module　of　A㊦Xby　N　where　N＝｛（一F（α1，a2），f（a1，a2））Ia1，a2∈A｝，　then　wehave　the　commutative　d量agram　of　row　exact：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。沼㊥A．ムXゑC。。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4　　　　β　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓　f　↓　9　　　　　　　　　　　　0　→A一→B一→C一→0，where∫（a）＝＠0）＋N，9（（a，　x）＋N）＝9（x），β（x）＝（0，　x）＋N．　　　The　lower　row　of　this　diagram三s　the　Baer　secm　of（if　l　and　92．　　　Corresponding　to　the　K－space　structure　of　　　　　　　　　x漏｛（（a、，・），（aL7，・），・）la、，a2∈A，c∈c｝，we　have　　　　　　　　　N＝＝｛（一a、　一・a2，（a、，0），（a2，0），0）｝⊂A①（A㊥C）㊦（A㊦C）㊦C，SO　　　　　　　　　．B＝｛（a，（0，0），（0，c），‘）十N｝．　　　Now　letφ：C一→Bbe　the　K－homomorphism　such　that　　　　　　　　　φ（・）＝（0，（0，c），（0，ご），c）÷N＝（0，φ、（c），φ2（・），c）＋N，thenφis　a　K－splitting　of　g．On　the　other　hand，　let　us　observe　the　K－module－structure　of　G．　　　For　anyσin　G，　and（a，（0，　c），（0，　c），　c）十エ▽in　B，　　　　　　　　　σ（（a，（0，ご），（0，c），c）＋N）＝（σα，σ（0，・），σ（0，・），σ・）＋N　，＝（σa，（ψ、。（σ・），σ・），（ψ2。（σ‘），σc），σ・）＋N，whereψ1，　andψ2　are　1－cocycles　correspon（五ng　to　the　extensions　2f　l　and　cif　2，　whichare　cOnstructed　throughφ1　andφ2，　respectively．g　4． A醗ec重proef　ef　the　group重so欝r麟量S職E（C，　A）｛≧翼1（G，　9eEKeK（C，　A））Let　｛17　i　and　C8　g“　be　the　following　extensions：4　　　　　　　　　　g’i：o－AL’．B，一EL’．c－o，　　　　　　　　　　9，、。一＿AムB、・・、C＿。．　　　　Then　Bi　＝　A　e　C，　B2　＝＝AeC　as　K－spaces，　and　K－splittin．as　ei　and　Q2　of　giand　g2　are　．criven　as　　　　　　　　　pi　（c）　＝＝　（g，　c）　E　Bi，　o，7　（c）　＝　（o，　c）　e　B，．　　　Let　¢i　and　gr　2　be　a－cocycles　G－F｝｛omic（C，　A）　which　are　obtained　throu．crh　Qiand　di2，　respectixr・ely，　then　　　　　　　　　ψ∫。（c）＝（σφf一φi）（c）漏σφ（σ一1の一φi（‘）（σ∈G，c∈C，　i＝エ，2）．　　　　E｛ere　27　i十　Elg’2is　the　extenslon　　　　　　　　　　cif　：　o－A　一）　B　E　c一．　odescribed　in　S　3．　　　　Our　purpose　is　to　prove　thac　t　the　1－cocycle　corresponding　to　3　is　cohomolo．crous　togbi　＋　gf　2・　　　　If　gf　is　the　1－coey．　cle　correspondlng　to　21S’　through　Q　which　is　described　in　g　3，　thenfor　any　a　in　G，　ahd　any　c　in　C，　　　　　　　　　¢．　（c）　＝＝　（adi　一　O）　（c）　＝　oe　（a－ic）　一　¢　（c）　　　　　　　　　　　　　　＝　a　（0，　ei　（amic），　Q2　（a－ic），　a’ic）　一　（O，　Oi　（c），　di2　（c），　c）　＋　N　　　　　　　　　　　　　　＝＝　a　（O，　（O，　o’ic），　（O，　a－ic），　a－ic）　一　（0，　（O，　c），　（0，　c），　c）　＋　N　　　　　　　　　　　　　　＝＝　（O，　（¢ia　（c），　c），　（¢2a　（c），　c），　c）　一　（0，　（O，　c），　（e，　c），　c）　＋　N　　　　　　　　　　　　　　＝　（O，　（¢ia　（c），　O），　（¢2a　（c），　O），　O）　＋　N　　　　　　　　　　　　　　＝　（（gr　i　a　＋　sr，2a）　（c），　（0，　O），　（¢，　O），　O）　十　N，hence　　　　　　　　　¢a　（c）　＝　（¢，i　＋　¢2）o　（c）　（a　e　G，　c　（gi　C）．　　　　So　we　have　prosred　that　di　is　actually　equal　to　¢i十¢2，　and　the　proof　of　the　groupisomorphism　　　　　　　　　　E（c，　A）　＝一一・　Eri　（G，　｝lomK　（C，　A））is　completed．　　　　Now　．Efi（G，　HomK（C，　A））　is　a　blfunctor　in　variables　C　and　A　（［2］），　and　E（C，　A）　isalso　a　bifunctor　in　variables　C　and　A　（［1］）．　　　　We　can　easily　verify　that　the　isornorphism　above　is　an　equivalence　of　functors．　Thuswe　have，　with　direct　computations：　　　　　　　　　　　　　On　the　．crroup　isomorphism　of　E（C，A）　with　Hi　（G，　HomK　（C，A））　s　　　　甑eo亙e磁．　Z’et　Gろeα．伽髭8　group，　Kろe　a　field，　ana　A，　C　be　left　1（G－modzales．　Moreower　let　E（C，　A）　be　the　set　of　equiwalence　classes　of　extensions　ofA　by　C，　and　obser－ue　it　as　an　abelian　grouP　xuith　the　Baer　sunz．　Then　we　hawe　thenatural　equivalance　of　bifunctors　　　　　　　　　　　　　E　（C，　A）　2i1　ff　i　（G，　HomK　（C，　A））．亙ζefere亙亘ces1．　CARTAN，　H．　＆　EILENBERG，　S．：　Homological　．glLlgebra；　？rinceton　Unlversity　Press　　（1965）．2．　HATToRI，　A．　＆　NAKAyAMA，　T．　：　Homological　Algebra　（Japanese）；　Kyoritsu　Shuppan　　（1961）．3．　IN（EAcLANE，　S．：　Hornology；　Springer－Verlag　（1967）．4．　NoRTHcoTT，　D．　G．：　An　lntroduction　to　Homological　Algebra；　Cambridge　Universtty　　Press　（1961）．

ON THE GROUP ISOMORPHISM OF E(C,A) WITH H¹(G,HOM_K(C,A))

ON THE GROUP  ISOMORPHISLI OF E(C, A)WITH  H1(G,  HOMK (C, A))Akira NISHIKAWA   § 1. Introduction    In this paper, we assume that K is a field, G is a finite group, and A, C are KG-modules.    In Chapter 10 of  [4], it is proved that there is a  one-to-one correspondence between the set of all equivalence classes of extentions of A by C and the 1-st cohomology group  111(G, HomK(C, A)).    The same fact appears in Chapter 8 of  [2]. On  the other hand, in Chapter 3 of  [3], it is proved that the former set E(C, A) has the group structure with the Baer sum. In this paper, we shall prove with the direct computation that the one-to-one correspondence in  [4] is a group isomorphism, which can be proved homologically by connecting the result of Chapter 11, § 8, and Chapter 14, § 1 in  [1].    § 2. The  one-to-one correspondence    For an extension          Afg  ,    : 0- 0,        0f.KHomK (C, A)HomK (C, B) HomK (C , C) 0 is an exact sequence of KG-modules and  KG-  homomorphisms.    Thus we have the following exact cohomology sequence                                            "     0 HomKG (C, A) HomKG (C, HomKG (C,HomK (C, A))  H1  (G, HomK (C,  B))  - where A is the connecting homomorphism.    To the equivalence class ( ) of  e  , associate A  (1G), then we have the  one-to-one correspondence in [41:         E  (C, A) <—>  (G  , HomK (C, A)).2　　　　1n　the　extension　29，　let　ip　be　a　K－splitting　，gf　g．　Then，．．．ip　is　iq　．　HomK（C，　B），and　if　6　：　HomK　（C，　B）　＝Ce　（G，　HomK　（C，　B））　一　C’　（G，　HomK　’（C，　B））　’　is　the　differentialmap，　then　o“ 奄吹@is　actually　in　Zi（G，　HomK（C，．e〈t）），　and　the　cehomology　class　of　6di　is　A（lc）’　　　　Conversely　for　any　element　of　Hi（G，　HomK（C，　A）），　iet　¢　be　the　representativel－cocycle．　　　　Take　for　B　the　set　of　all　pairs　（a，　c），　where　a　E　A　and　c　E　C，　and　regard　it　asthe　direct　sum　of　A　and　C　considered　simply　as　K－spaces．　Next　define　a（a，　c）　by　　　　　　　　　a　（a，　c）　＝　（6a　＋　¢．（ac），　ac）．　　　　This　makes　B　into　a　KG－module　as　is　easily　verified．　　　　With　the　mappings　f：a　1一一　（a，　O）　and　g：（a，　c）　1一　c，　the　sequence　　　　　　　　g：　o－A　1：一．BLc一・，ois　an　exact　sequence　of　KG－modules　and　KG－homomorphisms，　i．　e．　，・　an　extension　of　Aby　C．　　　　　　　Moreover　K－homomorphism　¢：C－B　such　that　ip　（c）　＝＝　（O，　c）　is　a　K－splittingof　g’and　if　we　construct　A　（lc）　through　ip，　then　it　coincides　with　ip．g　3． 圃ke　Beser　s配魏　　　　Let（ep　l）and（92）are　in　E（C，∠4），　i．　e．，　　　　　　　　9、；O＿→盆ムB1一載C＿→0　　　　　　　　豹。＿践ム8，皇C．。，andφ1　andφ2　be　Kl－splittings　of　9’1　and　92，　respectively．　　　　First　we　describe　the　Baei　sum　of（cif　1）and（ぎ2）．　　　　Let∠9：C一一→C∈）C　be　the　diagonal　map　and．1et　X　be　KG　一　submodu1e　of　Bl（∋B2（∋Cwhich　is　the　set｛：（ろ、，ろ2，　c）∈B、（｛），B2（∋Cifi（b、）＝・．ん（う2）＝c｝，　then　we　havethe　c・mmutative　diag・am． Ef・・w　exact：　　　　　　　　　0＿A㊦君五㊦桑B、㊦B，9塾2C㊦c＿→O　　　　　　　　　　　　　　　　　　l　　　　　　↑　　　　　　↑　　　　　　　　　　　　　　　　　　ト　　　　　　　　　。。錨A7．x　α9　＿c4．．。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　where　f（al，　a2）＝伍（al），　f2（a2），）0，9（ろ1，ろ2，　c）竿。，　α（bl，う2，　c）＝（b1，ろ2）l　　　　Corresponding　to　the　K－space　structure　of　　　　　　　　　　　　On　the　group　isomorphism　of　E（C，　A）with　H1（G，　HomK（C，　A））　　　　　　3　　　　　　　　　B、㊦B2＝（Aec）㊦（A㊦C），we　have　　　　　　　　　（A（ヨ）C）㊥（A㊦C）⊃X＝｛（（al，の，（α2，　c），　o）1　ai，　a2∈A，ご∈C｝．　　　Next　Iet　V：A（D∠9一一一→A　　be　the　map　（al，　a2）ト吟al十a2，　and　let　B　be　the　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　factor　module　of　A㊦Xby　N　where　N＝｛（一F（α1，a2），f（a1，a2））Ia1，a2∈A｝，　then　wehave　the　commutative　d量agram　of　row　exact：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。沼㊥A．ムXゑC。。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4　　　　β　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓　f　↓　9　　　　　　　　　　　　0　→A一→B一→C一→0，where∫（a）＝＠0）＋N，9（（a，　x）＋N）＝9（x），β（x）＝（0，　x）＋N．　　　The　lower　row　of　this　diagram三s　the　Baer　secm　of（if　l　and　92．　　　Corresponding　to　the　K－space　structure　of　　　　　　　　　x漏｛（（a、，・），（aL7，・），・）la、，a2∈A，c∈c｝，we　have　　　　　　　　　N＝＝｛（一a、　一・a2，（a、，0），（a2，0），0）｝⊂A①（A㊥C）㊦（A㊦C）㊦C，SO　　　　　　　　　．B＝｛（a，（0，0），（0，c），‘）十N｝．　　　Now　letφ：C一→Bbe　the　K－homomorphism　such　that　　　　　　　　　φ（・）＝（0，（0，c），（0，ご），c）÷N＝（0，φ、（c），φ2（・），c）＋N，thenφis　a　K－splitting　of　g．On　the　other　hand，　let　us　observe　the　K－module－structure　of　G．　　　For　anyσin　G，　and（a，（0，　c），（0，　c），　c）十エ▽in　B，　　　　　　　　　σ（（a，（0，ご），（0，c），c）＋N）＝（σα，σ（0，・），σ（0，・），σ・）＋N　，＝（σa，（ψ、。（σ・），σ・），（ψ2。（σ‘），σc），σ・）＋N，whereψ1，　andψ2　are　1－cocycles　correspon（五ng　to　the　extensions　2f　l　and　cif　2，　whichare　cOnstructed　throughφ1　andφ2，　respectively．g　4． A醗ec重proef　ef　the　group重so欝r麟量S職E（C，　A）｛≧翼1（G，　9eEKeK（C，　A））Let　｛17　i　and　C8　g“　be　the　following　extensions：4　　　　　　　　　　g’i：o－AL’．B，一EL’．c－o，　　　　　　　　　　9，、。一＿AムB、・・、C＿。．　　　　Then　Bi　＝　A　e　C，　B2　＝＝AeC　as　K－spaces，　and　K－splittin．as　ei　and　Q2　of　giand　g2　are　．criven　as　　　　　　　　　pi　（c）　＝＝　（g，　c）　E　Bi，　o，7　（c）　＝　（o，　c）　e　B，．　　　Let　¢i　and　gr　2　be　a－cocycles　G－F｝｛omic（C，　A）　which　are　obtained　throu．crh　Qiand　di2，　respectixr・ely，　then　　　　　　　　　ψ∫。（c）＝（σφf一φi）（c）漏σφ（σ一1の一φi（‘）（σ∈G，c∈C，　i＝エ，2）．　　　　E｛ere　27　i十　Elg’2is　the　extenslon　　　　　　　　　　cif　：　o－A　一）　B　E　c一．　odescribed　in　S　3．　　　　Our　purpose　is　to　prove　thac　t　the　1－cocycle　corresponding　to　3　is　cohomolo．crous　togbi　＋　gf　2・　　　　If　gf　is　the　1－coey．　cle　correspondlng　to　21S’　through　Q　which　is　described　in　g　3，　thenfor　any　a　in　G，　ahd　any　c　in　C，　　　　　　　　　¢．　（c）　＝＝　（adi　一　O）　（c）　＝　oe　（a－ic）　一　¢　（c）　　　　　　　　　　　　　　＝　a　（0，　ei　（amic），　Q2　（a－ic），　a’ic）　一　（O，　Oi　（c），　di2　（c），　c）　＋　N　　　　　　　　　　　　　　＝＝　a　（O，　（O，　o’ic），　（O，　a－ic），　a－ic）　一　（0，　（O，　c），　（0，　c），　c）　＋　N　　　　　　　　　　　　　　＝＝　（O，　（¢ia　（c），　c），　（¢2a　（c），　c），　c）　一　（0，　（O，　c），　（e，　c），　c）　＋　N　　　　　　　　　　　　　　＝　（O，　（¢ia　（c），　O），　（¢2a　（c），　O），　O）　＋　N　　　　　　　　　　　　　　＝　（（gr　i　a　＋　sr，2a）　（c），　（0，　O），　（¢，　O），　O）　十　N，hence　　　　　　　　　¢a　（c）　＝　（¢，i　＋　¢2）o　（c）　（a　e　G，　c　（gi　C）．　　　　So　we　have　prosred　that　di　is　actually　equal　to　¢i十¢2，　and　the　proof　of　the　groupisomorphism　　　　　　　　　　E（c，　A）　＝一一・　Eri　（G，　｝lomK　（C，　A））is　completed．　　　　Now　．Efi（G，　HomK（C，　A））　is　a　blfunctor　in　variables　C　and　A　（［2］），　and　E（C，　A）　isalso　a　bifunctor　in　variables　C　and　A　（［1］）．　　　　We　can　easily　verify　that　the　isornorphism　above　is　an　equivalence　of　functors．　Thuswe　have，　with　direct　computations：　　　　　　　　　　　　　On　the　．crroup　isomorphism　of　E（C，A）　with　Hi　（G，　HomK　（C，A））　s　　　　甑eo亙e磁．　Z’et　Gろeα．伽髭8　group，　Kろe　a　field，　ana　A，　C　be　left　1（G－modzales．　Moreower　let　E（C，　A）　be　the　set　of　equiwalence　classes　of　extensions　ofA　by　C，　and　obser－ue　it　as　an　abelian　grouP　xuith　the　Baer　sunz．　Then　we　hawe　thenatural　equivalance　of　bifunctors　　　　　　　　　　　　　E　（C，　A）　2i1　ff　i　（G，　HomK　（C，　A））．亙ζefere亙亘ces1．　CARTAN，　H．　＆　EILENBERG，　S．：　Homological　．glLlgebra；　？rinceton　Unlversity　Press　　（1965）．2．　HATToRI，　A．　＆　NAKAyAMA，　T．　：　Homological　Algebra　（Japanese）；　Kyoritsu　Shuppan　　（1961）．3．　IN（EAcLANE，　S．：　Hornology；　Springer－Verlag　（1967）．4．　NoRTHcoTT，　D．　G．：　An　lntroduction　to　Homological　Algebra；　Cambridge　Universtty　　Press　（1961）．

ON THE GROUP ISOMORPHISM OF E(C, A) WITH H¹(G,HOM_K(C,A))

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ON THE GROUP ISOMORPHISM OF E(C,A) WITH H¹(G,HOM_K(C,A))

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