En este artículo consideramos el problema de la representación de funciones poliarmónicas mediante términos de expansiones holomorfas

ESCOBAR CALLEJAS, CARLOS  MARIO

Gonzalez Granada, José Rodrigo

Posso Agudelo, Abel Enrique

Spanish

Universidad Tecnológica de Pereira: Open Journal Systems

Scientia et Technica Año XIII, No 37, Diciembre 2007. Universidad Tecnológica de Pereira. ISSN 0122-1701                                                                563                             Fecha de Recepción: 24 de Agosto de 2007 Fecha de Aceptación: 07 de Noviembre de 2007 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POLIARMÓNICAS The representation of polyharmonic functions   RESUMEN En este artículo consideramos el problema de la representación de funciones poliarmónicas mediante  términos de expansiones holomorfas.   PALABRAS CLAVES: Expansión holomorfa, función poliarmónica, operador lineal.  ABSTRACT In this article we consider the problem of the representation of polyharmonic functions by holomorphic expantions.  KEYWORDS: Holomorphic expansions, lineal operator, polyharmonic functions.   CARLOS MARIO ESCOBAR CALLEJAS Ingeniero Civil, M. Sc Profesor Auxiliar Universidad Tecnológica de Pereira ccescobar@utp.edu.co  ABEL ENRIQUE POSSO AGUDELO Matemático, Ph.D Profesor Titular Universidad Tecnológica de Pereira possoa@utp.edu.co  JOSÉ RODRIGO GONZALEZ GRANADA Matemático, Ph. D Profesor Asistente Universidad Tecnológica de Pereira jorodryy@utp.edu.co    1. INTRODUCCIÓN Las series 0( )z h zα αα∞=∑  fueron aplicadas en [1-3,5] para hallar soluciones de ecuaciones en derivadas parciales. En el presente artículo se muestra que la parte real de toda función poliarmónica ( , )h z z  de orden n  en un dominio D  simplemente conexo se representa en la forma 10Re ( ).njjjz h z−=∑    2. CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES POLIARMONICAS A continuación se presentan dos proposiciones que caracterizan la representación de las funciones poliarmónicas de orden ,n es decir funciones que son soluciones de la ecuación ( , ) 0.n z zφ∆ =  Proposición 1. Sea h  una función holomorfa en un dominio simplemente conexo D . Entonces la parte real e imaginaria de la función ( )nz h z  son funciones poliarmónicas de orden 1n+ , con n  un entero no negativo.   Considerando el operador 1n+∆  en forma compleja 1 1 1 11 1 1( ( )) 4 ( ( ))4 ( ( )).n n n n n nn n n nz h z dz dz z h zdz z dz h z+ + + ++ + +∆ == (1) Como ( )h z  es holomorfa tiene derivada de cualquier orden. Sea ( )g z  la función holomorfa definida por 1( ) ( ( )).ng z dz h z+=  (2) De (2) y (1) se obtiene 1 1 1( ( )) 4 ( ( ))n n n n nz h z dz z g z+ + +∆ =  1 14 ( ) 0.n n ng z dz z+ += =  (3) Sea ( )nz h z u iv= + . Entonces 1 1 1( ( )) ,n n n nz h z u i v+ + +∆ = ∆ + ∆  por ser ∆  un operador lineal. Además se tiene que 1 1 1Re ( ( )) Re( ( )),n n n n nu z h z z h z+ + +∆ = ∆ = ∆  1 1 1Im( ( ( )) Im( ( )).n n n n nv z h z z h z+ + +∆ = ∆ = ∆  Teniendo en cuenta (3) y las expresiones anteriores se obtiene 1 Re( ( )) 0n nz h z+∆ =   y  1 Im( ( )) 0.n nz h z+∆ =  Proposición 2. La parte real de toda función poliarmónica ( , )h z z  de orden n, se puede expresar de la forma  10Re ( ),njjjz h z−=∑  donde las funciones ( )jh z  son holomorfas  en dominio simplemente conexo D . 564                                                                                     Scientia et Technica Año XIII, No 37, Diciembre 2007. Universidad Tecnológica de Pereira    La demostración de la proposición 2 se obtiene por inducción sobre el orden de .h  Para 0n = , h  es armónica. Por la proposición 1, Re ( , )h u x y=  es armónica en D  y posee su armónica conjugada ( , )v x y  (ver [4], teorema VI.33). Existen varios métodos para hallar 0h h= a partir de ( , )u x y . Hallamos 0h  a partir de ( , )u x y  utilizando las condiciones de Cauchy-Riemann: ( ) ( ),x yv z u z= −  ( ) ( ),y xv z u z=  0( ) ( ) ( ),xyxv z u z dx yϕ= − +∫  (4) ( ) ( ) ( ) ( ).oxy y xxv z u z dx y u zyϕ∂ ′= − + =∂ ∫  (5) Dado que u  es armónica y yyu  es continua se obtiene 000( )( , ) ( , ).ox xy yyx xxxx x xxu z dx u dxyu dx u x y u x y∂− = −∂= = −∫ ∫∫ (6) De (5) y (6) se tiene  0( ) ( , )xy u x yϕ′ = . Integrando esta última expresión y sustituyendo en (4), tenemos 00 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ).oyxy xx yv x y u x y dx u x y dy v x y= − + +∫ ∫  Recíprocamente, la función v  así construida satisface las condiciones de Cauchy-Riemann. Se puede demostrar que 0 ( )h z  asociada ( , )u x y  y ( , )v x y  se expresa de la siguiente manera 0 ( ) ( ,0) ( ,0).h z u z iv z= +  Bajo la hipótesis de que u sea armónica, usando la teoría de series de potencia se demuestra que 0 ( ) 2 , (0,0),2 2z zh z u ui⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ (7) en un entorno suficientemente pequeño del origen. Con el fin de deducir (7) para el caso particular en que 0h  sea racional con 0 (0)h  real, definimos la función racional 1h  dada por 1( ) ( )h z h z= .  Así, 0 0 0 12 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )u x y h z h z h z h z= + = +  1( ) ( ).h x iy h x iy= + + −  Puesto que la igualdad anterior se cumple para el caso de x  e y  complejas, se tiene que 0 12 , ( ) (0).2 2z zu h z hi⎛ ⎞ = +⎜ ⎟⎝ ⎠ Como 0 (0)h es real, 1 0(0) (0) (0,0)h h u= =  de donde se obtiene (7). A continuación realizamos el paso de inducción.  Sea Re h  una función poliarmónica de orden n . Entonces  Re ( , ) 0n h z z∆ = . Luego ( )1 Re ( , ) 0n h z z−∆ ∆ = , esto es Re ( , )h z z∆  es poliarmónica de orden 1n − . Por la hipótesis de inducción se tiene que 20Re ( , ) Re ( )njjjh z z z h z−=∆ = ∑ , donde jh  es holomorfa para 0,1,2, , 2j n= −K . Usando ∆  en forma compleja ( )204 Re ( , ) Re ( ).njjjdzdz h z z z h z−== ∑  Luego ( )2104 Re ( , ) Re ( ) Re ( )njjjdz h z z z h z dz g z−== +∑∫  1210Re ( ) Re ( )1jnjjz h z g zj+−== ++∑  11 11Re ( ) Re ( ).jnjjz h z g zj−−== +∑  11 1 214 Re ( , ) Re [ ( ) ( )] Re ( )jnjjzh z z h z g z dz g zj−−== + +∑∫ 11 1 211Re ( ) Re ( ) Re ( )nj ojjz h z dz z g z dz g zj−−== + +∑ ∫ ∫ 120Re ( ) Re ( ),njjjz h z g z−== +∑ %  donde 11( ) ( )j jh z h z dzj −= ∫%  para 1, 2, , 1j n= −K  y 0 1( ) ( )h z g z dz= ∫% . Como 2 ( )g z  es armónica entonces es poliarmónica de cualquier orden y considerándola poliarmónica de orden 1n −  se puede expresar de la siguiente manera 220( ) ( ),njjjg z z h z−== ∑ %%    Scientia et Technica Año XIII, No 37, Diciembre 2007. Universidad Tecnológica de Pereira 565con ( )jh z%%  holomorfa para 0,1,2, , 2j n= −K . Luego  1 220 0( ) ( ) ( ).n nj jj jj jg z z h z z h z− −= == +∑ ∑ %% %  Por tanto, 1*0( , ) Re ( ),njjjh z z z h z−== ∑    donde ( )* 14j j jh h h= + %% %  para 0,1,2, , 2j n= −K  y *1 114n nh h− −= % . Queda así demostrada la proposición 2.  3. EJEMPLO DE REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN POLIARMÓNICA  A partir de la función poliarmónica 3 2u ax bx cy= + +  construimos la función ( , )h z z  tal que Re ( , )h z z u=  y damos la expansión holomorfa de h . 2Re 6 2 ,Re ( ) 0.h ax bh u∆ = +∆ = ∆ ∆ = Como Re h∆ es armónica, Re ( , ) 6 2 ( , )h x y ax b U x y∆ = + = ; aplicando las condiciones de Cauchy-Riemann se tiene 0,x yV U= − =  ( )V yϕ= , por lo tanto ( ) 6 ,( , ) ( ) 6 ,y aV x y y ay kϕϕ′ == = + Con k  constante. Así que 0 ( ) ( ,0) ( ,0) 6 2 ,h z U z iV z az b ic= + = + +  Además,  1Re ( , ) Re (6 2 ) Re ,4dzdz h z z az b ic= + +  11Re ( , ) Re (6 2 ) Re Re ( ),4dz h z z z az b icz g z= + + +Así, 1 21Re ( , ) Re (6 2 )4( ) ( ) ,h z z z az b dz czzig z dz g z⎡= + +⎢⎣⎤+ + ⎦∫∫ 1 2( , ) Re ( ) ( ) Re ( , )1Re (6 2 ) .4U x y czzi g z dz g z h z zz az b dz⎡ ⎤= + + =⎣ ⎦⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫%  Luego 23 2 3 2 23 3( , ) ,2 4 2 4x bU x y ax bx cy b ax y axy⎛ ⎞= + + − + + +⎜ ⎟⎝ ⎠%con lo cual 1 22 3( ) ( ) 2 ,2 2.2 4z zczzi g z dz g z Uib aczi z z⎛ ⎞⎡ ⎤+ + = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠= − + +∫ % Así, 2 2 33( , ) .4 2 2 4b b ah z z z az z czi z z⎛ ⎞= + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠ Tomando la parte real se tiene que 2 2 3* *1 03 23Re[ ( , )] Re4 2 2 4Re.b b ah z z z az z czi z zzh hax bx cy⎡ ⎤⎛ ⎞= + − + + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤= +⎣ ⎦= + +  4. CONCLUSIONES  En el campo de la aplicación de la teoría hidrodinámica y elasticidad es conocida la eficacia de las funciones armónicas en la representaciones del flujo de un campo de velocidades estacionario y de las funciones biarmónicas en la representación de un campo de tensiones de un sólido sometido a cargas y restricciones  solo por mencionar dos ejemplos. Por ello resulta apenas lógico la importancia de generalizar las propiedades de las funciones armónicas y biarmónicas en el contexto de las expansiones holomorfas como es mostrado en [2-4]. Los teoremas presentados en este artículo muestran que esta generalización es posible a partir de una utilización de las propiedades de las funciones armónicas.  5. BIBLIOGRAFÍA [1] A.I Alexandrovich, Application of two complex variables to the theory of elasticity, Dokl.-Akad.-Nauk 232 (3) (1977), 542-544. [2] C. Escobar, A. Posso, J. 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Representación de funciones poliarmónicas

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