Estimation in credibility models using Bayesian hierarchical models

Abstract

Kredibilitetsteori gir både fundamentet og den originale modellen for hvordan forsikringsbransjen predikerer forventet tap og prisnivåer (Bühlmann & Gisler, 2005). I moderne statistikk ser vi at kredibilitetsteori gir en metode for estimering av tilfeldige effekter i generaliserte miksede lineære modeller. I denne oppgaven foreslår vi to alternative modeller som begge utvider den originale modellen. De foreslåtte modellene utvider også strukturen til en generalisert mikset lineær modell og betraktes som Bayesianske hierarkiske modeller. Den første modellen vi foreslår antar en normalfordeling på de tilfeldige effektene. Dette går lenger enn den originale modellen som kun gjør antakelser på det første og andre momentet til de tilfeldige effektene. Den andre foreslåtte modellen tar med seg antakelsene til den første modellen og bygger igjen videre på denne ved å anta at de faste effektene også har en sannsynlighetsfordeling. I likhet med de tilfeldige effektene, antar vi at de faste effektene er normalfordelte. I tillegg antar også denne modellen en apriorifordeling på variansen til de tilfeldige og faste effektene. Kredibilitetsteori alene er ikke nok til å estimere parametere i de foreslåtte modellene. For den første foreslåtte modellen implementerer en variant av Monte Carlo expectation-maximization-algoritmen som er beskrevet i Levine and Casella (2001). For den andre modellen foreslås en implementering av Markov Chain Monte Carlo-algoritmen. Ved rangering av resultater fra den originale modellen, den første og den andre foreslåtte modellen, viser vi at den andre modellen kan slå den originale. Med andre ord, vi ser at en Bayesiansk hierarkisk modell med fordelinger på både de faste og tilfeldige effektene kan gjøre det bedre enn den originale modellen. Markov Chain Monte Carlo-algoritmen gir en beregningstung metode, og sammenlignet med den originale modellen, og dens metode, opplever vi treg konvergens. Avslutningsvis ser vi på alternativer for estimering og implementering som kan gi en metode som slår den originale modellen på resultater og samtidig tar hensyn til beregningstid