En este trabajo se muestra un resultado sobre los coeficientes de las funciones polinómicas hacia las cuales convergen cierto tipo de series infinitas. Dicho resultado está relacionado con una expresión para obtener la suma n-ésima de dichos coeficientes y la demostración de su validez

Fernández S., Oscar

Martínez H., Lorenzo

Salas S., Alvaro

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Scientia et Technica Año XVI, No 44, Abril de 2010. Universidad Tecnológica de Pereira. ISSN 0122-1701                                                               211  Fecha de Recepción: Enero 26 de 2010 Fecha de Aceptación: Marzo 25 de 2010 Suma n-ésima de los coeficientes polinomiales en una función generatriz   Nth sum of polynomial coefficients in a generating function  RESUMEN En este trabajo se muestra un resultado sobre los coeficientes de las funciones polinómicas hacia las cuales convergen cierto tipo de series infinitas. Dicho resultado está relacionado con una expresión para obtener la suma n-ésima de dichos coeficientes y la demostración de su validez.   PALABRAS CLAVES: Coeficientes polinomiales, función generatriz, suma n-ésima.  ABSTRACT In this work we show a result about the coefficients of the polynomial functions which converge toward a certain type of infinite series. This result is related to an expression for the nth sum of these coefficients and demonstration of its validity.  KEYWORDS:  Polynomial coefficients, generating function, nth sum. .  OSCAR FERNÁNDEZ S. Licenciado en Matemáticas,  M. Sc. Profesor Asistente Universidad Tecnológica de Pereira oscarf@utp.edu.co  LORENZO MARTÍNEZ H. Licenciado en Matemáticas, Mg. Profesor Asistente Universidad de Caldas ljmarti69@hotmail.com   ALVARO SALAS S. Matemático, M. Sc. Profesor Asistente Universidad de Caldas Profesor Asociado Universidad Nacional de Colombia asalash2002@yahoo.com    1. INTRODUCCIÓN  Se sabe que en el desarrollo del  binomio  se encuentran ciertos coeficientes llamados coeficientes binomiales, los cuales se denotan como , que en realidad es una manera de representar los cocientes  para k = 0, 1,…, n. Este hecho se expresa  simbólicamente como  .   Estos coeficientes forman el llamado Triángulo de Pascal, cuyas primeras filas, aparecen enseguida en lfigura 1.   Fig. 1 Triángulo de Pascal generado por los coeficientes binomiales y la suma de sus filas 1.1 El triangulo de Pascal y la suma de sus filas  Otro detalle que se observa en la columna derecha de lfigura 1 son las sumas de las primeras filas del triangulo de Pascal, por ejemplo la suma de los términos de la fila 7, esto es, 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 +1 = 64 = 26. En general para la fila n, es decir los coeficientes en el desarrollo del binomio a la n,  se puede demostrar que  =2n  simplemente sustituyendo x = 1 y a = 1 en la fórmula del binomio.  1.2 Series de potencias y función generatriz   Sea {an} una sucesión de números reales y sea la serie de potencias g(z) = ∑∞=0nnnza , si resulta que ésta serie converge absolutamente en cierto intervalo (-R, R) y además se conoce la expresión de g(z), entonces se puedevaluar la función y cualquiera de sus derivadas en valores de z que satisfagan |z| < R. A la función g(z) se le conoce como función generatriz de la sucesión {an} y esta función define la transformada geométrica de an denotada Z[an] = g(z). Un ejemplo clásico que sirve de base para obtener otras series de potencias a partir de sus                                                                                             Scient a et Technica Año XVI, No 44, Abril de 2010. Universidad Tecnológica de Pereira.   212 derivadas es la función generatriz o transformada geométrica de la sucesión {an} = {1, 1, 1, 1, 1,...}. Esto es,  g(z) = ∑∞=0nnz = ∑=∞→n0kknzlim = zzz nn −=−−+∞→ 1111lim1, si |z| < 1.  Se tiene entonces el siguiente resultado básico   ∑∞=0nnz = z−11 ; si |z| < 1    (1)  Se puede obtener la función generatriz para otras sucesiones a partir de esta simplemente derivando con respecto a z y luego multiplicando por z a ambos  lados de la igualdad. Así, si se deriva (1) y se multiplican ambos miembros por z, se obtiene,       ∑∞= −=12)1(nnzznz ; si |z| < 1.       (2)   Al derivar (2) y multiplicar por z,   ∑∞= −+=1322)1(nnzzzzn ; si |z| < 1.   (3)  Si se deriva (3) y se multiplica por z,  ∑∞= −++=14233)1(4nnzzzzzn ; si |z| < 1.   (4)  Derivando (4) y multiplicando por z,  ∑∞= −+++=152344)1(1111nnzzzzzzn ; si |z| < 1. (5)  A partir de los resultados (1) a (5) se puede conjeturar una fórmula genérica para las funciones generatrices de la forma {an} = { nk}, es decir una fórmula genérica para la expresión  ∑∞=1nnk zn de la forma:  ∑ ∑∞= =+−=1 11)1(1nkmmkmknk zazzn ; k = 1, 2, ; si |z| < 1.    (6)  Los coeficientes kmkk aaa ,,, 21 L  son constantes a determinar explícitamente. En un trabajo anterior [1], se demuestra la validez de la expresión (6), se obtiene una fórmula para determinar los coeficientes asociados e manera explícita, así mismo se muestra que estos coeficientes forman un triángulo numérico. En este trabajo se demuestra que  la suma de los términos en cada fila del triangulo numérico mencionado arriba es un factorial.  2. CONTENIDO  2.1 Coeficientes Polinomiales y un triangulo numérico   Teorema 1. La serie ∑∞=1nnk znconverge para |z| < 1 a ∑=+−kmmkmkzaz 11)1(1 ; k = 1, 2,… con mkmkkm maamka )1()1)(1()1( −−− ++−= .  Demostración. Ver [1]      Los coeficientes kma  obtenidos mediante la expresión mkmk maamk )1()1)(1()1( −−− ++−  para los polinomios de z en los numeradores del lado derecho de la igualdad cada vez que se deriva y se multiplica por z forman un triángulo numérico como el de la Fig. 2   Fig. 2 Triángulo numérico generado por los coeficientes kma   Cada fila k del triángulo es obtenida con los términos de la fila anterior k–1 así: En la fila k hay k+2 números incluyendo los ceros de los extremos y en la fila k-1 hay k+1 números de la forma kkkkkkk aaaaa )1()1)(1(2)1(1)1(0)1( ,,, −−−−−− L  y se tiene que mkmkkm maamka )1()1)(1()1( −−− ++−=  para m = 1, 2,…, k con 0)1(0)1( == −− kkk aa . Por ejemplo si se quieren obtener los coeficientes de la quinta fila el procedimiento es el siguiente: Los términos de la fila 4 son ,141 =a ,1142 =a  ,1143 =a  .144 =a Con estos se obtiene los términos de la fila 5 considerando que .04540 == aa De modo que    ,11)0(5)115( 414051 =+=++−= aaa  ,26)11(2)1(42)125( 424152 =+=++−= aaa  ,66)11(3)11(33)135( 434253 =+=++−= aaa  ,26)1(4)11(24)145( 444354 =+=++−= aaa.1)0(5)1(15)155( 454455 =+=++−= aaa   2.2 El triangulo numérico y la suma de sus filas Una propiedad interesante de este Triángulo se tienen el siguiente teorema.  Teorema 2. La suma de los términos de la n–sima fila del triángulo numérico anterior es igual a n!, es Scientia et Technica Año XVI, No 44, Abril de 2010. Universidad Tecnológica de Pereira. 213decir, !1nanknk =∑=; donde los términos nka  son de la forma knknnk kaakna )1()1)(1()1( −−− ++−=  con 11 == nnn aa .  Demostración. Para el caso n = 1, se tiene 1 = 1!; para n = 2, 1 + 1 =  2 = 2!; para n = 3, 1 + 4 + 1 = 6 = 3!. Supóngase que se cumple hasta el caso n – 1. Esto es, )!1(11)1( −=∑−=− nankkn . Con esta hipótesis en mente considérese ahora el caso siguiente a n – 1. Para esto, obsérvese que L++−++−+= −−−−−=∑ ]3)2[(]2)1[( 3)1(2)1(2)1(1)1(1)1(1nnnnnnknk aanaanaa )1)(1()1)(1()2)(1( ])1(2[ −−−−−− +−++ nnnnnn aana . Al reagrupar esta expresión se obtiene ])1[(])2(2[])1([ )1)(1()1)(1(2)1(2)1(1)1(1)1(1−−−−−−−−=+−++−++−+=∑ nnnnnnnnnknk aananaanaa L De modo que factorizando los dos sumandos en cada corchete se obtiene  L+−++−+ −−−− ])2(2[])1([ 2)1(2)1(1)1(1)1( nnnn anaana  ∑−=−−−−− =+−+11)1()1)(1()1)(1( ])1[(nkknnnnn anaan                               = n(n-1)!                             = n!  Y se ha demostrado que la suma de los términos de la n–sima fila del triángulo numérico generado con los términos nka  mediante una expresión de la forma knknnk kaakna )1()1)(1()1( −−− ++−=  con 11 == nnn aa  es igual a n!.   3. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES  Se ha logrado hacer una analogía con un hecho ligado al desarrollo de la potencia n-ésima de un binomio. La analogía es el hecho que es posible determinar la sum de los términos en una fila cualquiera del triángulo numérico de la Fig. 2, mediante la expresión !1nanknk =∑=  que involucra los coeficientes polinómicos  nka  generados con la fórmula knknnk kaakna )1()1)(1()1( −−− ++−=  con 11 == nnn aa .     4. BIBLIOGRAFÍA  [1] Fernández, O., Martínez, L., Salas A. Coeficientes Polinomiales para Funciones Límite de Series de Potencias, una Analogía con el Triángulo de Pascal. Revista Scientia et Technica No. 43. Universidad Tecnológica de Pereira. Pereira, 2009.  [2] Apostol T. Calculus volumen I. Editorial Reverté. 1977. [3] Grimaldi R. Matemáticas discreta y combinatoria. Pearson Editores. 1997. [4] Jiménez, R. Gordillo, E., Rubiano, G. Teoría de números para principiantes. Universidad Nacional de Colombia 1999. [5] Luque, C. Mora, L., Torres, J. Una construcción de los números reales positivos. Universidad Pedagógica Nacional. 2004. [6] Ross, K., Wright, R. Matemáticas Discretas. Prentice-Hall. Hispanoamericana S.A. 1990. [7] Spivak, M. Calculus, Cálculo infinitesimal. Editorial Reverté, s.a. 1977. [8] Vinogradov, I. Fundamentos de la teoría de los números. Editorial Mir.1977. 

Suma n-ésima de los coeficientes polinomiales en una función generatriz

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