En este artículo se presenta una aplicación del método de expansiones holomorfas desarrollado en [6] para sistemas de ecuaciones diferencial parcial lineal de orden dos en varias variables a la solución del problema elástico en tres dimensiones conocido como solución del sistema de Lamé

Escobar Callejas, Carlos Mario

Gonzalez Granada, José Rodrigo

Posso Agudelo, Abel Enrique

Spanish

Revistas UTP

Scientia et Technica Año XIV, No 39, Septiembre de 2008. Universidad Tecnológica de Pereira. ISSN 0122-1701                                                           348  Fecha de Recepción: 4 de Julio de 2008. Fecha de Aceptación: 15 de Julio de 2008. SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE LAMÉ UTILIZANDO EXPANSIÓN HOLOMORFA  Lamé system solution by holomorphic expansion  RESUMEN En este artículo se presenta una aplicación del método de expansiones holomorfas  desarrollado en [6]  para sistemas de ecuaciones diferencial parcial lineal de orden dos en varias  variables a la solución del problema elástico en tres dimensiones conocido como solución del sistema de Lamé.   PALABRAS CLAVES: Análogo complejo, expansión holomorfa,, operador de Cauchy.  ABSTRACT In this article appears  an application of the method of Holomorphic xpansions developed in [ 6 ]   for systems of equations linear partial differential of order two in several variables to the solution of the elastic problem in three dimensions known like of the solution of the system of Lamé.    KEYWORDS: Cauchy’s operator, complex analog , finite solutions , Holomorphic expansion.  CARLOS MARIO ESCOBAR CALLEJAS Profesor Asistente, MsC Ingeniero Civil Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Básicas Universidad Tecnológica de Pereira  ccescobar@utp.edu.co  ABEL ENRIQUE POSSO AGUDELO Profesor Titular, Ph.D Matemático Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Básicas Universidad Tecnológica de Pereira  possoa@utp.edu.co   JOSÉ RODRIGO GONZALEZ GRANADA Profesor Asistente, Ph.D Matemático Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Básicas Universidad Tecnológica de Pereira  jorodryy@utp.edu.co    1. Introducción  El análisis complejo ha permitido el estudio de problemas de la física-matemática, en particular, problemas que conducen a EDPs de tipo elíptico que tienen especial aplicación en la teoría de elasticidad. Si en la ecuación de Laplace 0f∆ =  en dos dimensiones  utilizamos coordenadas complejas, ésta puede ser transformada a la forma:                                 20fz z∂=∂ ∂.                                 (1.1)                                La solución general de (1.1) es de la forma  1 2( ) ( ),f F z F z= +  donde 1( )F z  y 2 ( )F z  son funciones holomorfas arbitrarias de las variables z y z respectivamente. Esto significa que cualquier función armónica se puede representar mediante la suma de dos funciones complejas de z  y z . Aprovechando este hecho G. V. Kolosoff y N. I. Mushelishvili desarrollaron los llamados “métodos de Kolosoff” [1], que tienen aplicación en la teoría de elasticidad. Siguiendo la misma idea de Kolosoff se halla la solución general del problema plano de elasticidad lineal mediante la solución del sistema de Lamé, de tal forma que permite en forma que permite la integración por cuadraturas. En este trabajo se halla la solución general del problema tridimensional de elasticidad, también conocido como el problema de Lamé, mediante la serie 0( )n nnW z W z∞== ∑ conocida como expansión holomorfa que fué aplicada en [2] para resolver EDPs. Aplicamos una extensión de este método a la solución del  sistema de Lamé el cual es un sistema de ecuaciones en derivadas parciales de la siguiente forma:   ( ) 0, 1, 2,3jjjxθλ µ µ∂+ + ∆ = =∂                    (1.2)  con  31jj juxθ=∂=∂∑ , Scientia et Technica Año XIV, No 39, Septiembre de 2008. Universidad Tecnológica de Pereira.  349 ,λ µ , son constantes de Lamé 31 2 3( , , )x x x D R∈ ⊂ . Donde D  es un conjunto simplemente conexo que incluye el origen. En este artículo se usan siguientes notaciones: ( )1 2, , , mx x x x= K  ∈ mR . ( )H Ω : es el conjunto de funciones holomorfas en Ω . ( )1 2, , , mz z z z= K  ∈ mC . ( )1 2, , , mn n n n= K ; { }0jn ∈ ∪N . 1miin n==∑ . 1imnniiz z==∏ . 1! !miin n==∏ . 1 20 0 0mn nn n n nf f∞ ∞ ∞ ∞= = ==∑ ∑∑ ∑K .  Consideremos las siguientes variables complejas  1 1 2 2 3 1, ,z x ix z x iy= + = +            (1.3) en un dominio G  del espacio complejo 2 , simplemente conexo que incluye a D  como la proyección 4 0x = . El sistema (1.2) es equivalente al siguiente sistema en el dominio G.  1( ) 0, 1, 2,30.jjjjxuyθλ µ µ∂+ + ∆ = =∂∂=∂      (1.4)  2. Construcción del análogo complejo El análogo complejo del sistema (1.4) se construye intercambiando la derivación parcial por los  operadores de Cauchy 1,zd 1zd y el operador 2zd los cuales están dados por  1121 21 231 ,21 ,21 .2zzzd ix xd ix xdx⎛ ⎞∂ ∂= −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂= +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞∂= ⎜ ⎟⎝ ⎠                                 (2.1) Tal análogo complejo del sistema (1.4) viene dado por el siguiente conjunto de ecuaciones            1 1 12 11 12 1 121 1 2 32 2 2 21 23 (2.2)( , , ) [( ) 2( 3 )( ) 4 ] ( )( )2( ) ( ) ] 0.z zz z zz zz z zL u u u d d dd d u i d d ud d d uλ µ λ µλ µ µ λ µλ µ= + + ++ + + + + −+ + − = 1 12 1 1 1 212 1 12 22 1 2 3 12 2 223 (2.3)( , , ) [( ) ( )] [2( 3 )( ) [( ) 4 ][2 ( ) ( )] 0.zzzz z z z zz z zL u u u i d d ud d d d d ui d d d uλ µ λ µλ µ λ µ µλ µ= + − + +− + − + ++ + − = 2 1 12 1 12 1 13 1 2 3 1222 (2.4)( , , ) [2( )[ ( )][2 ( ) ( )] [4( 2 )4 ( )] 0.z z zz z zz z zL u u u d d d ui d d d ud d d uλ µλ µ λ µµ= + ++ + − + ++ = 2 22 22 24 1 2 3 15 1 2 3 26 1 2 3 3 (2.5)( , , ) ( )( , , ) ( )( , , ) ( ) 0.z zz zz zL u u u d d uL u u u d d uL u u u d d u= −= = −= = − =   3. Solución del análogo complejo Se definen las siguientes funciones de variable compleja 1 1 12 2 23 3 3,,.W u v iW u v iW u v i= == += +                                               (3.1) Si las partes reales de las funciones complejas 1 2 3, ,W W W  satisfacen el análogo complejo entonces 1 2,u u  y 3u  satisfacen el sistema de Lamé (1.2). La afirmación inversa también es verdadera por lo que podemos considerar al análogo complejo y al sistema (1.2) como equivalentes. A continuación expresamos la solución del análogo complejo de la forma: 1 21 22 11 1 , 1 20 0( , ), 1, 2,3.n n jj n nn nW z z W z z j∞ ∞= == =∑∑   ( 3.2) Utilizando los operadores (2.1) sobre (3.2) se obtiene 1 21 1 22 11 21 1 22 11 21 1 1 1 22 121 1 ,0 021 1 1 2 2,0 01 1 2 1,0 0( ) ,( ) ( 2)( 1) ,( ) ( 1) ,n n jz j n nn nn n jz j n nn nn n jz z j z n nn nd W z z Wd W n n z z Wd d W n z z d W∞ ∞= =∞ ∞+= =∞ ∞+= === + += +∑∑∑∑∑∑ Scientia et Technica Año XIV, No 39, Septiembre de 2008. Universidad Tecnológica de Pereira.   3501 22 1 22 11 22 1 2 1 1 22 11 22 1 2 1 22 112 2 2 1 2 1 22 1221 1 ,20 0 21 2 1,0 01 1 2 1,0 0, , 1 1 20 0(3.3)( ) ,( ) ,( ) ( 1) ,( )( ) [ ]n n jz j n nn nn n jz z j z z n nn nn n jz z j z n nn nn nj jz z j z n n n nn nd W z z Wzd d W z z d d Wd d W n z z d Wd d W d W W z z∞ ∞= =∞ ∞+= =∞ ∞+= =∞ ∞+= =∂=∂== +− = −∑∑∑∑∑∑∑∑ 2 .Sustituyendo (3.3) en el análogo complejo e igualando los coeficientes de la serie se tiene  1 21 21 1 2 2 1 21 1 2 2 1 21 1 2 2 1 1 211 1 2,21 1 2, 11 31, 1 1,2 1 2 1, ,2 2 3, 1, 1 2(3.4)[( )( 2)( 1) ( )( 2)( 1) 2( 3 )( 1)2 ( ) ( 1)( ) 4 ( )( 2( ) )]( , )0,n nn nz n n z n nz n n z n nz n n z z n nn n W in n W nd W n d Wd W d W id W d d W z zλ µ λ µλ µλ µλ µ µ λ µλ µ+++ +++ + + − ++ + + + ++ + ++ + + + ++ +=1 21 21 1 2 2 1 21 1 2 2 1 21 1 2 2 1 1 211 1 2,21 1 2, 12 31, 1 1,2 1 2 1, ,2 2 3, 1, 1 2(3.5)[ ( ) ( 2)( 1) ( )( 2)( 1) 2( 3 )( 1)2 ( ) ( 1)( ) 4 ( )( 2 ( ) )]( , )0,n nn nz n n z n nz n n z n nz n n z z n ni n n Wn n W nd W i n d Wid W d Wd W i d d W z zλ µ λ µλ µλ µλ µ µ λ µλ µ+++ ++− + + + − ++ + + + +− + ++ + + − ++ +=2 1 22 1 2 1 1 22 1 1 2 2 11 2 2 1 211 1,2 31 1, 1 1,1,2 2 3, , 1 2(3.6)[2( )( 1) 2 ( )( 1) 4 ( 1)2( ) 2 ( )4( 2 ) ]( , ) 0,z n nz n n z n nz z n n z zn n z n nn d W in d W n d Wd d W i d dW d W z zλ µ λ µµλ µ λ µλ µ++ ++ + − ++ + ++ + + ++ + =2 1 2 1 22 1 2 1 22 1 2 21 1, 2 , 1 1 22 2, 2 , 1 1 23 3, 2 , 1 1 2(3.7)[ ( 1) ]( , ) 0,[ ( 1) ]( , ) 0,[ ( 1) ]( , ) 0.z n n n nz n n n nz n n n nd W n W z zd W n W z zd W n W z z+++− + =− + =− + =Con el fin de reducir el sistema se realizan las siguientes operaciones. Derivando parcialmente con respecto a 2z la diferencia de la ecuación (3.5) y la (3.4) multiplicada por el imaginario i  se obtiene 2 1 1 22 1 1 2 2 11 2 2 1 2 2 1 22 1 1 2 2 1 1 211 1,2 21 1, 11 3 1 3 2, , ,2 2 2 3, , 1 2(3.8)[ 2( 3 )( 1) 2 ( 3 )( 1) 2( ) ( 1)4 4 2 ( )4( ) ]( , ) 0.z z n nz z n n z zn n z n n z n nz z n n z z n nn d d W in d d W d d nW d W i d W id d W d d W z zλ µ λ µλ µµ µ λ µλ µ++− + + − ++ − + +− + − ++ − + =De igual modo, derivando parcialmente con respecto a 1z  la ecuación (3.6) multiplicada por la constante 3λ µλ µ++ se tiene 2 1 1 22 1 1 2 1 1 22 1 1 2 2 1 1 22 1 1 211 1, 12 3 31, 1 1,2 1 2 2, ,2 3, 1 2(3.9)[2( 3 )( 1) 2 ( 3 )( 1)( 3 )4 ( 1)( )2( 3 ) 2 ( 3 )( 2 )( 3 )4 ]( , ) 0.( )z z n nz z n n z n nz z n n z z n nz z n nn d d W i nd d W n d Wd d W i d d Wd d W z zλ µ λ µλ µµλ µλ µ λ µλ µ λ µµλ µ++ ++ + − + +++ +++ + + ++ ++ =+De (3.8) y (3.9) mediante suma se obtiene  1 1 2 2 1 1 22 1 2 2 1 2 2 1 1 22 1 1 23 3 2 11 1, ,3 1 3 2 2 2, , ,2 3, 1 2 (3.10)( 3 )[4 ( 1) 4( )4 4 4(3 5 )4 ]( , ) 0.( )z n n z z n nz n n z n n z z n nz z n nn d W d d Wid W i d W i d d Wd d W z zλ µµ µλ µµ µ µλ µµλ µ+++ ++− + +++ =+Aprovechando la simetría de las ecuaciones y considerando la siguiente transformación de coordenadas 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 21 2 1 21 1 2, , ,2 1 2, , ,3 3, ,(3.11),n n n n n nn n n n n nn n n nV W iWV W iWV W= += −= o equivalentemente,   1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 21 2 1 21 2 1 2, , , ,1 2, ,3 3, ,(3.12),2 2,n n n n n n n nn n n nn n n nV V V VW VW V+ −= ==de (3.4)-(3.6) y (3.10) se obtiene 1 21 1 2 1 1 2 2 1 21 1 2 2 1 2 2 1 22 1 1 221 1 2, 11 2 31, 1, 1 1,2 1 2 1 2 2, , ,2 3, 1 2 (3.13)[( ) ( 2) ( 1) ( 3 )( 1)( ) 2( ) ( 1)( ) 2 ( ) 2( )]( , ) 0.n nz n n z n n z n nz n n z n n z n nz z n nn n V nd V d V n d Vd V d V d Vd d V z zλ µ λ µλ µλ µ µ λ µ++ + ++ + + + + ++ + + ++ + + + + += Scientia et Technica Año XIV, No 39, Septiembre de 2008. Universidad Tecnológica de Pereira.  351 1 21 1 2 1 1 22 1 2 1 1 22 1 2 2 1 2 2 1 1 221 1 2,1 21 1, 1,3 11 1, ,2 1 2 2 3, , , 1 2(3.14)1 1[ ( )( 2)( 1) ( 3 )( 1) ( ) 2 ( )1( 1) ( ) 2( ) 2 ( ) ]( , ) 0.n nz n n z n nz n n z n nz n n z n n z z n nn n Vi in d V d V in d V d Vi id V d V i d d V z zλ µ λ µλ µµλ µλ µ++ +++ + + + ++ − − ++ − + +− + + = 2 1 2 1 1 22 1 1 2 2 1 22 31 1, 1 1,1 2 3, , 1 2(3.15)[2( )( 1) 4 ( 1)2( ) 4( 2 ) ]( , ) 0.z n n z n nz z n n z n nn d V n d Vd d V d V z zλ µ µλ µ λ µ+ ++ + ++ + + + = 1 1 2 2 11 2 2 1 2 21 1 22 3 21 1,1 3 2 2, ,3, 1 2 (3.16)( 3 )[4 ( 1) 4( )(3 5 )4 4( )]( , ) 0.z n n z zn n z n n zz n nn d V d dV d V dd V z zλ µµ µλ µλ µµ µλ µ+++ +++− ++=Derivando parcialmente respecto de 1z  la ecuación (3.15) y al multiplicar por 3λ µλ µ++ se obtiene 1 2 1 21 1 2 2 1 1 21 2 1 221 1, 12 3 2 11, ,2 3, 1 2(3.17)[2( ) ( 1) 4 ( 1)( 3 ) 2( 3 )( )4( 2 )( 3 ) ]( , ) 0.( )z z n nz n n z z n nz z n nn d d V nd V d d Vd d V z zλ µ µλ µ λ µλ µλ µ λ µλ µ+++ + + +++ +++ ++ =+De (3.16) y (3.17) e integrando con respecto a 2z  se obtiene 1 1 2 1 1 22 1 2 1 2 1 22 2 11 1, 1 2 ,2 2 3, , 1 2 (3.18)[( 3 ) ( 1) ( , ) [( )2 2( ) ]( , ).z n n z n nz n n z z n nn d V z z d Vd V d d V z zλ µ λ µµ λ µ++ + = − +− − +De manera análoga de (3.13) y (3.14) se tiene 1 22 1 2 2 1 21 1 221 1 2, 13 2 11, , 111, 1 2 (3.19)[( )( 2)( 1) 2( )( 1)( 2 ) ( 3 )( 1)]( , ) 0.n nz n n z n nz n nn n V nd V d V nd V z zλ µ λ µµ λ µ++++ + + + + ++ + + +=Aumentando el índice de 1n  a 1 1n + en la ecuación (3.18) se llega a 1 1 2 1 1 22 1 2 1 2 1 22 2 11 2, ,2 2 31, 1, 1 2 (3.20)[( 3 )( 2) ( ) 22( ) ]( , ) 0.z n n z n nz n n z z n nn d V d Vd V d d V z zλ µ λ µ µλ µ++ ++ + + + ++ + =De (3.19) y (3.20) se obtiene 2 1 21 2 1 2 1 2 1 21 1 22 21 1, 13 2 11, ,2 11 1, 1 2 (3.21)[( )( 1) 2 ( )( 1)( 3 ) 2( 2 )( 1) ]( , ) 0.z n nz z n n z z n nz n nn d V nd d V d d Vn d V z zλ µ µ λ µµ λ µ µλ µ++++ + − + +− + −+ + =Derivando parcialmente dos veces con respecto a 2z  la ecuación (3.19) y una vez con respecto a 1z  la ecuación (3.21) e igualándolas, se obtiene el siguiente resultado 2 1 2 12 1 2 2 1 21 2 1 23 2 21 1, 1 22 1 4 2, ,3 3, 1 2 (3.22)[( 3 )( 1) ]( , ) [ 2( ) ( ) 2( )]( , ).z n n zz n n z n nz z n nn d V z z dd V d Vd d V z zλ µ µλ µ λ µ λ µ++ + = −+ − + + +  Las ecuaciones (3.7) con las transformaciones de coordenadas (3.11) toman la forma 2 1 2 1 22 1 2 1 22 1 2 21 1, 2 , 1 1 22 2, 2 , 1 1 23 3, 2 , 1 1 2(3.23)[ ( 1) ]( , ) 0,[ ( 1) ]( , ) 0,[ ( 1) ]( , ) 0.z n n n nz n n n nz n n n nd V n V z zd V n V z zd V n V z z+++− + =− + =− + = De (3.16), (3.18), (3.22) y (3.23) se obtiene 1 2 2 1 22 1 2 2 1 21 2 11, 1 2 ,13 4 2 2 3 3, , 1 2(3.24)1( , ) [2( 3 )( 1)( ) 2( ) ]( , )n n z n nz n n z n nV z z Jd VnJ d V J d V z zµλ µλ µ λ µ+ = − + ++ + − +1 2 1 1 22 2 2 1 22 11, 1 2 ,12 2 3, , 1 2 (3.25)1( , ) [2 ( )( 3 )( 1)2 2( ) ]( , )n n z n nz n n z n nV z z d VnJd V d V z zµ λ µλ µµ λ µ+ = ++ ++ + +  1 1 22 1 2 2 1 22 1 22 311, 1 21 2 3 2, ,12 3, 1 2 (3.26)( 3 )( 1) 14 ( , )( ) ( 3 )1 [( ) ( )( 1)( 5 ) ]( , )z n nz n n z n nz n nn d V z zd V J d VnJd V z zλ µµλ µ λ µλ µ λ µλ µ++ += −+ ++ − +++ + 1 2 2 1 21 2 2 1 21 2 2 1 21 1, 1 1 2 , 1 222 2, 1 1 2 , 1 223 3, 1 1 2 , 1 22(3.27)1( , ) ( , )( 1)1( , ) ( , )( 1)1( , ) ( , ),( 1)n n z n nn n z n nn n z n nV z z d V z znV z z d V z znV z z d V z zn+++=+=+=+ donde 10( ) ( , )zJ z dφ φ ξ ζ ξ= ∫ .  Representando el sistema de ecuaciones (3.6), (3.25) y (3.26) en forma matricial se obtiene  Scientia et Technica Año XIV, No 39, Septiembre de 2008. Universidad Tecnológica de Pereira.   3521 11, ,1 2 1 22 3 2 3 2 2[ ] ,51, 1 2 3 42 2 1 2 1 21 233,1, 1 21 2, (3.28)V Vn n n nV J A J d A Jd A d A d A Vz z z z n nn nVV n nn n++ + + +++⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦donde las matrices iA vienen dadas por 1 ,0 0310 0 011 0 0 0nAλ µλ µ+++⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦2 ,20 0( 3 )10 0 0110 03nAλ µλ µλ µ−+−+ +−+⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 3120 0320 0320 031 ,1Anµλ µµλ µµλ µ+++⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦410 0 01 0 0 ,1 30 0 0Anλ µλ µ⎡ ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥= −⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦510 0 02( )0 030 031 .1Anλ µλ µλ µλ µ++++⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Resolviendo (3.27) y (3.28) se obtiene finalmente la siguiente expresión explícita para 1 2, 1 2( , )jn nV z z : 1 21 21 21,2,3,1( 1) 3 4 2 3 22 [ 1 2 32 2 2 2! !1 2n nn nn nnnd J d A J d A Jd Az z z zn nVVV−+ +⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 10,02]54 0,01 2 30,0Vd A d A Vz zV+ +⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦                         (3.29)   Nota. Para obtener (3.29) se asume que 1 1 2 1 1 2 1 22 22 , , ,j j jz n n z n n n nJ d A V Jd V V= = . Esta afirmación restringe la clase de funciones iniciales a aquellas que satisfacen: 1 2 1 1 2, 2 , 2(0, ) (0, ) 0.j jn n z n nV z d V z≡ ≡  La convergencia en expansiones holomorfas de la solución del sistema (3.29) se deduce de los resultados obtenidos en [2,3].  4. CONCLUSIÓN GENERAL El hallar  soluciones analíticas del problema tridimensional elástico tiene múltiples aplicaciones al campo de la investigación del modelamiento real de los sólidos sometidos a cargas y deformaciones, basta recordar el gran aporte realizado por la elasticidad plana en la resistencia de materiales y al diseño de estructuras sometidas tensiones y deformaciones. Se ha construido un procedimiento para hallar soluciones generales y exactas al sistema de Lamé por el método de las expansiones holomorfas las cuales vienen dadas en forma explícita del sistema (3.29). También es posible una generalización de la solución del sistema de Lamé para tratar problemas no homogéneos [4].  Los resultados expuestos son comparables con los que se presentan en [5,6].  5. BIBLIOGRAFÍA [1] V.I Vasov, S.L Skorokhodov, On the development of Trefftz method, Dokl.-Akad.-Nauk, 337(6) (1994), 713-717.  [2]  A. Rodionov, Explicit Solutions for linear partial differential equations, J.-Math, Vol 2, No 2. December (2000), 34-42.  [3] C. M. Escobar, Solución al sistema de Lamé utilizando la variable compleja, tesis de grado, Universidad Nacional de Colombia. (2003).  [4] A.I Alexandrovich, Application of two complex variables to the theory of elasticity, Dokl.-Akad.-Nauk 232(3) (1977), 542-544.  [5] K. Rectorys, V. Zahradnik, Solution of he first biharmonic problem by the method of leat squares on the boundary, Aplikace Matematiky, 19(2) (1974), 101-131.  [6] A. Turbiner, On polynomial solutions of differential equations, J.-Math.-Phys. 33(12) (1992), 3989-3993.  [7] P.S. Pedersen, A basis for polynomial solutions to systems of linear constants coefficient PDEs, Adv.-Math 117 (1) (1996), 157-163.  

Solución del sistema de lamé utilizando expansión holomorfa

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Solución del sistema de lamé utilizando expansión holomorfa

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