Stabilisation et contrôle des équations aux dérivées partielles non linéaires

Abstract

This thesis is divided into three parts based on results of stabilization and control of dispersive nonlinear PDEs. In the first part, we consider the nonlinear KdV-BBM equation on the torus with a localized damping. We show the global existence of the solution, as well as its convergence in time towards an analytical function. This property of analyticity allows the application of unique continuation results to show that the limit function is a constant. Then, we deduce that the approach we made on KdV-BBM is applicable for the BBM equation for a certain type of damping depending on time. The first part is therefore a result of stabilization by a dissipator localized in space. The second part is through control terms localized in frequencies. We present two controllability results for the nonlinear BBM equation on the torus. We use trigonometric controls taking values in a finite dimensional space to show that the equation is approximately controllable in H^1, and is not exactly controllable in H^s for s between 1 and 2. In the third part, we give an approximate controllability result for the nonlinear KP-I equation on the 2d torus. We use the same type of trigonometric control considered in the second part.Cette thèse se décompose en trois parties basées sur des résultats de stabilisation et de contrôle des EDP non linéaires dispersives. Dans la première partie, nous considérons l'équation de KdV-BBM non-linéaire sur le tore avec un dissipateur localisé en espace. Nous montrons l'existence globale de la solution, ainsi que sa convergence en temps vers une fonction analytique. Cette propriété d'analyticité permet l'application de résultats de prolongement unique pour montrer que la fonction limite est une constante. Ensuite, nous en déduisons que l'approche que nous avons faite sur KdV-BBM est applicable pour l'équation de BBM pour un certain type de dissipateur dépendant du temps. La première partie est donc un résultat de stabilisation par un dissipateur localisé en espace. La deuxième partie présente deux résultats de contrôlabilité en fréquences pour l'équation de BBM non linéaire sur le tore. Nous utilisons des contrôles trigonométriques prenant des valeurs dans un espace de dimension finie pour montrer que l'équation est approximativement contrôlable dans H^1, et n'est pas exactement contrôlable dans H^s pour s compris entre 1 et 2. Dans la troisième partie, nous donnons un résultat de contrôlabilité approchée pour l'équation KP-I non linéaire sur le tore 2d. Nous utilisons le même type de contrôle trigonométrique considéré dans la seconde partie