En el presente trabajo se da una solución de una ecuación diferencial lineal ordinaria no homogénea con coeficientes variables, caso Cauchy – Euler, haciendo uso de la técnica de las transformadas integrales. La técnica mas apropiada para la solución de la ecuación en mención es la Transformada de Mellin

Gonzalez G., Jose Rodrigo

Plaza Galvez, Luis Fernando

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Universidad Tecnológica de Pereira: Open Journal Systems

Scientia et Technica Año XV, No 42, Agosto de 2009. Universidad Tecnológica de Pereira. ISSN 0122-1701                                                            300 Fecha de Recepción: 8 de junio de 2009 Fecha de Aceptación: 28 de julio de 2009 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE CAUCHY - EULER POR MEDIO  DE LA TRANSFORMADA DE MELLIN.  Solution of the equation Cauchy – Euler by the Mellin Transform     RESUMEN En el presente trabajo  se da una solución de una ecuación diferencial lineal ordinaria no homogénea con coeficientes variables, ca o Cauchy – Euler, haciendo uso de la técnica de las transformadas integrales. La técnica mas apropiada para la solución de la ecuación en mención es la  Transformada de Mellin.  PALABRAS CLAVES: Ecuación Diferencial, Cauchy, Euler, Transformada de Mellin.   ABSTRACT In the present work a solution of a linear ordinary differential equation with  variable coefficients inhomogeneous, case Cauchy - Euler, using the technique of integral transforms, is given. The most appropriate technique for the solution of the equation in question is the Mellin transform. .  KEYWORDS:  Cauchy, Differential Equation, Euler, Mellin transform.  JOSE RODRIGO GONZALEZ G. Profesor Auxiliar, Ph.D.,  Facultad de Ciencias Básicas Universidad Tecnológica de Pereira jorodryy@utp.edu.co jorodryy@gmail.com  LUIS FERNANDO PLAZA GALVEZ Ingeniero Electricista, Especialista en Finanzas, Candidato a Magíster en Enseñanza de las Matemáticas con énfasis en la línea de Ecuaciones Diferenciales en la Universidad Tecnológica de Pereira. Docente Tiempo Completo en la Unidad Central del Valle del Cauca, UCEVA lplaza@uceva.edu.co lufepla@gmail.com    1. INTRODUCCIÓN  Este  trabajo corresponde a la aplicación de la técnica de las transformadas integrales a la solución de la ecu ción diferencial ordinaria con coeficientes variables.  )(....011111xgyadxdyxadxydxadxydxannnnnnnn=++++ −−−− (1 )   Esta última ecuación (1) representa la conocida ecución de Cauchy - Euler ó Ecuación Equidimensional. La cual es una ecuación diferencial ordinaria de orden n con coeficientes variables no homogénea, donde an, an-1, ….. a1, a0,  son constantes reales, o  de igual modo:  ∑==+nkkkkk xgyadxydxa10 )( ( 2) Finalmente se da una solución algorítmica por medio de la transformada de Mellin, el cual permite poner en práctica una alternativa con software especializado.   2. TRANSFORMADA DE MELLIN  2.1 Generalidades  La transformada de Mellin es la transformada más popular en el análisis de algoritmos. Además está estrechamente relacionado con la transformada   bilteral de Laplace y la de Fourier. La popularidad de esta transformada radica en dos propiedades importantes: permite la reducción de ciertas ecuaciones funcionales en unas algebraicas, y suministra un mapeo directo entre expansiones asintóticas de una función cercana a cero o infinito y el conjunto de singularidades de la transformada en el plano complejo. [1] La transformada de Mellin puede ser vista como la transformada de Fourier.   Scientia et Technica Año XV, No 42, Agosto de 2009. Universidad Tecnológica de Pereira 301 2.2 Definición  Dada una función f(x) definida para valores positivos de x y que satisfaga las condiciones [2]:          Para algunos números reales   σ1 y σ2, con σ1 < σ2, la transformada de Mellin de f(x), se define por    ∫∞−=01 ,)()(ˆ dxxxfsF s (3) con  τσ is += , con s compleja.  La fórmula (3) se puede escribir de la forma:  { })()(ˆ xfMsF = ,  ó  { }sxfMsF ),()(ˆ =  Con )(ˆ sF conocida, la función  f(x) se obtiene aplicando la transformada inversa de Mellin así:          ∫∞+∞−−=iisdsxsFixfσσπ)(ˆ21)(   (4 )   Donde el camino de integración se sitúa paralelo al eje imaginario del plano complejo s, su integral se entiende como su valor principal. La fórmula (4) se cumple para funciones  f(x) continuas.  Si en el punto 0xx = , 00 >x , la función  f(x) posee un punto singular finito de primer orden, entonces la parte derecha de (4) en ese punto toma el valor de    [ ])0()0(2100 ++− xfxf    De igual forma (4 ) se escribe de la forma    { })(ˆ)( 1 sFMxf −= ,  ó  { }xsFMxf ),(ˆ)( 1−=   2.3  Relaciones entre las transformadas de Mellin y las transformadas de Laplace (L) y de Fourier (F).  Se relacionan de la siguiente forma  { } { } { }sefLsefLsxfMsF xx −+== − ),(),(),()(ˆ   { } { }isefFsxfMsF x ),(),()(ˆ −== .  Lo que permite utilizar de manera valiosa las tablas y  existentes para las transformadas de  Laplace y de Fourier.  2.4 Propiedades de la Transformada de Mellin  Es de recalcar  que la transformada de Mellin cumple las siguientes propiedades así [3]:  FUNCIÓN TRANSFORMADA  )(xfy =   { } )(ˆ)( sYxfM =   )()( 21 xbfxaf +   )(ˆ)(ˆ 21 sFbsFa +   0),( >aaxf   )(ˆ sFa s−   )( xfx a   )(ˆ asF +  xf1  )(ˆ sF −   0),( >ββxf  ββsF̂1  )(' xf x   )1(ˆ)1( −−− sFs   )(' xxf x   )(ˆ sFs−   )(xf xn  )(ˆ)()()1( nsFnssn −−ΓΓ−   axe −    )( sa s Γ−   Tabla 1. Propiedades de la transformada de Mellin. ∞<∫∞ −112)( dxxxf σ∞<∫−1011)( dxxxf σScientia et Technica Año XV, No 42, Agosto de 2009. Universidad Tecnológica de Pereira   302  2.5 Solución a un problema  Basados en la tabla No. 1, obtener para    )(')( xxfxg x=   la transformada de Mellin correspondiente aplicando (3).  Sea   { })()(ˆ xfMsF =  y  { })()(ˆ xgMsG =  ,  y   al aplicar  (3), se tiene que:  ∫∞ −=01)(')(ˆ dxxxfxsG s                    ∫∞=0)(')(ˆ dxxxfsG s                    Donde esta última integral se puede resolver por partes, llegando a:  ∫∞ −∞ −=010)()()(ˆ dxxxfsxfxsG ss      (5 )  La expresión  ∞0)(xfxs , se anula en x=0, y en ∞=x ,  debido a que f(x) es una función acotada. Por lo tanto al analizar la integral definida encontramos de que en el integrando de (5) se encuentra definida la transformada de Mellín de f(x), la cual es de la forma    { } )(ˆ)( sFxfM =   , es decir  { } { } )(ˆ)(')()(ˆ sFsxxfMxgMsG −=== .   De igual manera para h(x)=x2 f ’’ x (x) es fácil obtener la transformada, veamos:  Sea { })()(ˆ xhMsH =  y al aplicar la definición expuesta en (3), se tiene    ∫∞ −=012 )('')(ˆ dxxxfxsH s ,                 ∫∞ +=01)('')(ˆ dxxxfsH s .   Donde esta última integral se puede resolver por partes en forma análoga a la anterior, llegando a:   ∫∞∞+ +−=001 )(')1()(')(ˆ dxxxfsxfxsH ss    (6)   Utilizando la acotación de g(x) de (6) se encuentra definida la Transformada de Mellin para g(x)= x f '(x), la cual es de la forma     { } )(ˆ)( sGxgM =         así:  { } { } ))(ˆ)(1()('')()(ˆ 2 sFssxfxMxhMsH −+−===  { } ))(ˆ)(1()(''2 sFssxfxM += .   Utilizando procedimientos análogos (recurrencia) es fácil demostrar que:  { } )(ˆ)2)(1()('''3 sFsssxfxM ++−=    Resumiendo en forma de tabla, se tiene.   FUNCIÓN TRANSFORMADA  y=f(x)   { } )(ˆ)( sYxfyM ==  dxdyx  )(ssY−  222dxydx  )(ˆ)1( sYss +  333dxydx  )(ˆ)2)(1( sYsss ++−  444dxydx  )(ˆ)3)(2)(1( sYssss +++   Tabla 2. Resumen al problema planteado.   Por inducción, se tiene el siguiente resultado:  ),(ˆ)1)...(2)(1()1( sYkssssdxydxM kkkk −+++−= con k [ ]n,..2,1∈ .  Utilizando esta última expresión, se obtiene:  )7(.)1()1)((ˆ1∏=−+−= kikkkk kssYdxydxM           Scientia et Technica Año XV, No 42, Agosto de 2009. Universidad Tecnológica de Pereira 303 3. SOLUCION DE LA ECUACIÓN DE CAUCHY- EULER     Al aplicar la transformada de Mellin  en (2), obtenemos [4]:  [ ] [ ].)(01xgMyaMdxydxaMnkkkkk =+∑=  Suponiendo que el término no homogéneo, g(x), es  transformable Mellin, denotada por { } )(ˆ)( sGxgM =  , y que la transformada de Mellin de una suma es la suma de las transformadas, obtenemos:  [ ] ),(ˆ01sGyaMdxydxaMnkkkkk =+∑=  [ ] ).(ˆ01sGyMadxydxMankkkkk =+∑=  Reemplazando la expresión obtenida en (7), se llega a:   ),(ˆ)(ˆ)1()1)((ˆ 011sGsYakssYakiknkk =+−+− ∏∑==  de aquí:   ∏∑==−+−+=kiknkk ksaasGsY110 )1()1()(ˆ)(ˆ   Tomando la transformada inversa de Mellin a la última expresión, se llega a la solución de la Ecuación de Cauchy-Euler de la siguiente forma.  −+−+=∏∑==−kiknkk ksaasGMxy1101)1()1()(ˆ)(   (8)    4. CONCLUSIÓN GENERAL  Como hemos visto la transformada de Mellin es útil en a representación de  los modelos de las transformadas integrales, para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias, donde no es aplicable otro tipo de transformadas. Utilizando un algoritmo similar al descrito en este trabajo es posible realizar algoritm s computacionales para la solución de (1) empleando software especializado como es el caso de Matlab,  Scilab, Maple entre otros.   5. BIBLIOGRAFÍA  [1] Sneddon I. A..  Fourier Transform. Ed. Mc Graw Hill Book Company, INC. New York; 1951. [2] Hochstad H.; Integral Equations; Wiley- Interscience Publication; New York; 1973. [3] Polyanin A. D. y Manzhirov A.V.; Hand book of Integral Equations; CRC Press LLC; Boca Raton, Florida (U.S.A.); 1998. [4] Madoz M.A. Resolución numérica de la Ecuación de Valoración; Trabajo de Investigación del programa de doctorado interuniversitario en Finanzas Cuantitativas No. 004; Universidad Complutense de Madrid, Universidad del País Vasco, Universitat de Valencia; Valencia (España); 2004.              

Solución de la ecuación de cauchy - euler por medio de la transformada de mellin

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