El control de la tensión de una máquina sincrónica se realiza modificando la corriente de su devanado de campo. Para tal fin se requiere de una excitatriz la cual en este trabajo está conformada por un circuito rectificador monofásico basado en tiristores. Para conseguir un buen diseño desde el punto de vista del control, se requiere de su caracterización, la cual es obtenida usando una función trigonométrica inversa, que es la usada en este trabajo

Bravo, Juán Eduardo

Gómez, Alfonso Alzate

Sánchez Fernández, José Norbey

Spanish

Universidad Tecnológica de Pereira: Open Journal Systems

Scientia et Technica Año XV, No 41, Mayo de 2009. Universidad Tecnológica de Pereira. ISSN 0122-1701                                                                       25  Fecha de Recepción: 26 de enero de 2009 Fecha de Aceptación: 20 de marzo de 2009  CARACTERIZACIÓN DEL SISTEMA DE EXCITACIÓN DE UNA MÁQUINA SÍNCRONA  Characterization of the excitation system of a synchronous machine   RESUMEN El control de la tensión de una máquina sincrónica se realiza modificando la corriente de su devanado de campo. Para tal  fin se requiere de una excitatriz la cual en este trabajo está conformada por un circuito rectificador monofásico basado en tiristores. Para conseguir  un buen diseño desde el punto de vista del control, se requiere de su caracterización, la cual es obtenida usando una función trigonométrica inversa, que es la usada en este trabajo.   PALABRAS CLAVES: caracterización, control, excitatriz, función trigonométrica inversa, máquina síncrona.   ABSTRACT Voltage control in a synchronous machine is made modifying the current of the field winding. One exciter circuit based in thyristor circuit rectifier is required to control the field current. To get a good design since the control viewpoint, is necessary a characterization with an inverse trigonometric function, as used in this paper.   KEYWORDS: Characterization, control, exciter, inverse trigonometric function, synchronous machine.  ALFONSO ALZATE GÓMEZ Ingeniero Electricista, M. Sc. Profesor Titular Universidad Tecnológica de Pereira alalzate@utp.edu.co  JOSÉ NORBEY SÁNCHEZ FERNÁNDEZ Tecnólogo en Electricidad Ingeniero Electricista Profesor Catedrático Auxiliar Universidad Tecnológica de Pereira jnsanchez@utp.edu.co josesan@ohm.utp.edu.co  JUÁN EDUARDO BRAVO Profesor Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Básicas Universidad Tecnológica de Pereira jubravo@utp.edu.co juan.e.bravo@gmail.com   1. INTRODUCCIÓN  La etapa de excitación es la encargada de controlar las variaciones o perturbaciones temporales que se presentan en la tensión una máquina síncrona, modificando la corriente que circula por su devanado de campo. Ver  figura 1.   Figura 1. Sistema de control de una máquina sincrónica.  El sistema de excitación proporciona la tensión continua al devanado de campo de la máquina síncrona y puede tener diferentes principios de operación [1]. En este trabajo se usa como sistema de excitación un puente rectificador monofásico alimentado desde la red de tensión alterna.  Este sistema se conoce como de excitación estático y es el más frecuentemente utilizado en los últimos años para los generadores sincrónicos por su elevada velocidad de respuesta con respecto a los electromecánicos aparte de otras  ventajas como requerir poco mantenimiento, ocupar poco espacio, y su facilidad de control. Tal vez su mayor desventaja es ser más propenso a los efectos de las sobretensiones y transitorios excesivos.    Para alcanzar los niveles de tensión requerido en el sistema eléctrico y cumplir con unas especificaciones de funcionamiento desde el  punto de vista de la regulación se establece  un sistema de control para la máquina sincrónica tal como el mostrado en la figura 1, en donde el sistema de excitación constituye la etapa de potencia o actuador del sistema de control.   Se hace por lo tanto imperativo establecer la caracterización de cada uno de los componentes del sistema de excitación para poder conseguir en forma analítica los valores de los parámetros de cada uno de los elementos que lo conforman. El objetivo del trabajo presentado es el de mostrar un método para caracterizar al sistema de excitación de una máquina sincrónica                                                                                                     Scientia et Technica Año XV, No 41, Mayo de 2009. Universidad Tecnológica de Pereira.    26 cuando está conformado por un puente rectificador, para lo cual es utilizada una función trigonométrica inversa. En la figura 2,  se  muestra  el  esquema  de los elementos que configuran  el sistema de excitación  para el devanado de campo de la máquina sincrónica analizada en este trabajo [2].    Figura 2 Componentes de un sistema de excitación  2. DATOS EXPERIMENTALES  Desde el punto de vista teórico se tiene que la relación entre la tensión entregada por el puente rectificador monofásico y el ángulo de encendido está dada por ( )2cos0 (1)V pV απ=  Sin embargo, en este caso, puesto que la operación del convertidor es sólo en el primer cuadrante, tanto la tensión como la corriente serán positivas, pudiéndose variar la primera entre cero y su valor máximo. Se pretende establecer, desde un punto de vista práctico, hasta donde se cumple la ecuación (1), estableciendo con base a las mediciones y una técnica de aproximación,  la relación existente entre la tensión aplicada al devanado de campo de la máquina sincrónica y el ángulo de encendido de los pulsos aplicados al puente de tiristores que configuran la excitatriz.  Para la toma de datos, se dispuso de un montaje como el se muestra en la figura 3, con equipos de laboratorios de máquinas como el Lab Volt, una tarjeta de adquisición de datos (Lab PC 6220), un transductor de voltaje, un software y un computador, el esquema es el siguiente[3]:   Figura 3. Esquema para la toma de datos experimentales.  El voltaje continuo que se le aplica al devanado de campo es medido, lo mismo que el ángulo de encendido de los pulsos aplicados en la puerta de los tiristores que conforman el puente rectificador del sistema de excitación.   Los  datos experimentales fueron  tomados para una variación del ángulo de encendido  entre 20º y 180º cada 5º. Para cada punto tomado, se tiene el valor de la tensión continua aplicada al devanado de campo, tal como se muestra en la tabla 1.   Ángulo (º) Voltaje DC  Ángulo  (º) Voltaje DC 20 105,8  105 52,1 25 104,9  110 47,8 30 102,9  115 43,5 35 101,9  120 39,9 40 99,9  125 34,7 45 97,2  130 30,2 50 94,8  135 26,2 55 91,8  140 22 60 88,7  145 18,5 65 85,3  150 14,9 70 81,9  155 11,58 75 77,2  160 8,8 80 73,2  165 6,3 85 69,2  170 4,4 90 64,1  175 1,55 95 61,3  180 0 100 56,3  - - Tabla 1. Datos experimentales  La figura 4, muestra la resultante del ángulo de encendido contra el voltaje continuo aplicado al devanado de campo, en donde se muestran los puntos extremos y un punto de inflexión correspondiente a los datos de la tabla 1.   Figura 4. Gráfica ángulo de encendido contra voltaje de campo    3. MODELO MATEMÁTICO APLICANDO UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA  La función f(x)=cos x, definida del intervalo cerrado   [0, π] en [-1,1], es continua y monótona decreciente, y su función inversa esta dada en  [4] por:  Scientia et Technica Año XV, No 41, Mayo de 2009. Universidad Tecnológica de Pereira.    27 1( ) cos (2)f x arc x− =  La representación gráfica de la ecuación (2) se muestra  en la     figura 5.   Figura 5. Función coseno inversa f -1(x)=arc cos x  La representación grafica en la figura 4 sugiere una función coseno inversa desplazada con respecto a los dos ejes coordenados [4], y para el modelamiento matemático se propone la expresión:  ( )[ ]cos (3)x A B y k h= − + Para el cálculo de las constantes se deben escoger tres puntos significativos, así [5]:  El punto de coordenada (52,1 105) como punto de inflexión y los dos puntos extremos de la figura 4. Con estos datos se calcula el valor de la amplitud  para  la ecuación (2). Ver figura 6.  A= 105,8-52,1=53,7                                                          Figura 6. función coseno inversa con los puntos a analizar  En la ecuación (2), con A=53,7 y el punto de coordenada (105,8 20) y despejando a y:  1 1cos ( ) (4)x hy kB A−−= + Con y-k=0 implica que y=k=20º. Ahora, k en radianes:  918020 ππ=×=k   Con x=105,8 y y=k se obtiene el valor de la constante h:  ( )1,527,538,1050cos=+=+=hhhAx  Para encontrar el valor la constante B se toma el punto de inflexión (105, 52.1), teniendo en cuenta que los ángulos se deben convertir a radianes, y se reemplaza en la      ecuación (2).  1,529180105cos7,531,521,529cos7,53+−=+−=πππByBx ( )1752,1 53, 7 cos 52,1 (5)36B π= +    De la ecuación (5) se iguala la función a cero y comparando con la figura 5, se observa que:  17cos 0 (6)361736 23634BBluego Bππ π===    Con las constantes halladas, ver tabla 2, y reemplazando en la expresión (3) se obtiene la relación trigonométrica (7).  Constantes valor A 53,7 k π/9 h 52,1 B 36/34 Tabla 2. Valores de las constantes                                                                                                      Scientia et Technica Año XV, No 41, Mayo de 2009. Universidad Tecnológica de Pereira.    28 ( )3653, 7 cos 52,1 (7)34 9x y π= − +    Cuya inversa es:  34 52,11cos (8)53,736 9xyπ−−= +    Ahora con y=θ en radianes que  es el ángulo de los pulsos de encendido aplicados al puente rectificador  y con  x=V  que es la tensión continua que se aplica al devanado de campo se obtiene, la función del ángulo de encendido contra voltaje de campo  de la Máquina sincrónica [6].  Para aplicar la ecuación (9) en el modelo real, se convierten  los radianes a grados. La ecuación matemática definitiva es:  ( )180 34 52,11cos (9)36 53,7 9V πθ π −−= +     4. COMPARACIÓN DE RESULTADOS  Una vez caracterizado el modelo matemático de la excitación, se procede a comparar los datos experimentales con los calculados, ver tabla 3. El error (e) se calcula de la siguiente expresión:  exp( ) 100 (10)valor teórico valor erimentalevalor teórico−= × Voltaje de campo DC θº  calculado  θº experimental e% 105,8 20,000 20 0 104,9 29,921 25 16,446 102,9 37,864 30 20,769 101,9 40,750 35 14,110 99,6 46,259 40 13,530 97,2 51,049 45 11,849 94,8 55,255 50 9,510 91,8 59,977 55 8,298 88,7 64,421 60 6,862 85,3 68,933 65 5,705 81,9 73,166 70 4,327 77,2 78,681 75 4,678 73,2 83,148 80 3,786 69,2 87,463 85 2,816 64,1 92,804 90 3,021 61,3 85,683 95 0,713 56,3 100,763 100 0,757 52,1 105 105 0 47,2 109,944 110 -0,050 43,5 113,703 115 -1,140 39,9 117,402 120 0,333 34,7 122,856 125 -1,745 30,2 127,730 130 -1,777 26,2 132,234 135 -2,091 22 137,197 140 -2,043 18,5 141,581 145 -2,414 14,9 146,411 150 -2,451 11,58 151,265 155 -2,469 8,8 155,753 160 -2,726 6,3 160,275 165 -2,948 4,4 164,175 170 -3,548 1,55 171,373 175 -2,116 0 176,757 180 -1,834 Tabla 3. Comparación de resultados  En la gráfica de la figura 7, se muestran los gráficos de voltaje de campo contra el ángulo de encendido  experimental y el calculado superpuestos.   Figura 7. Voltaje de campo contra ángulo de encendido experimental y el calculado superpuestos.  Se observa que la mejor aproximación entre los valores teóricos y los obtenidos experimentalmente se encuentran en la parte central de la curva en donde la relación es más lineal. Los mayores errores se encuentran en los extremos de la curva debido a la influenciada más marcada en esas zonas de diferentes factores tales como las caídas de tensión en los tiristores, los efectos en la conmutación debidos a la elevada inductancia del devanado de campo y errores en el procese de medición digital realizado.  5.   CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES  La caracterización de dispositivos no lineales a través de modelos matemáticos que aproximen a su comportamiento real es lo que garantiza el éxito del diseño del sistema de control de la excitación de una máquina sincrónica para que su respuesta sea consistente con las especificaciones de comportamiento establecidas.   El uso de métodos de aproximación, tales como mínimos cuadrados, mínimos cuadrados recursivo o métodos de regresión, que permitan obtener valores adecuados de diseño es muy importante,  ya que garantizan un adecuado desempeño de dispositivos que se deseen caracterizar.  Scientia et Technica Año XV, No 41, Mayo de 2009. Universidad Tecnológica de Pereira.    29 En la comparación de resultados entre el valor calculado y el experimental se observa que los valores calculados siguen muy de cerca los valores experimentales. Los errores de la tabla 3 muestran que la mayoría de los puntos analizados tienen un error menor al 10%. En la figura 7 se observan las dos gráficas superpuestas.   6.           BIBLIOGRAFÍA  [1] A. Alzate Gómez, "Dinámica de Sistemas Eléctricos: Estabilidad y Control," M. Sc. en Igeniería ELéctrica: Universidad Tecnológica de Pereira, 2008. [2] Ángelo J. J. Rezek, Carlos A. D. Coelho, José Manuel E. Vicente, Paulo Ricardo Laurentino, "The Modulus Optimum (MO) Method Applied to Voltage Regulation Systems: Modeling, Tuning and implementation," I-EFEI-Escola Federal de Engenharia de Itajubá, Av. BPS, 1303, Itajubá-MG-Brazil 37500-903, pp 1-5, año 1994. [3] M. Karrari and O. P. Malik, Life Fellow "Identification of Physical Parameters of a Synchronous Generator From Online Measurements" IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol 19, pp. 407-415, No. 2. June 2004. [4]Arthur Goodman, Lewis Hirsch, "Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica," 2nd ed.,  México: Compañía Editorial Continental, 1996, pp. 180,186, pp. 232-240  y pp. 466-477. [5] Steven C. Chapra, Raymond P. 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Caracterización del sistema de excitación de una máquina síncrona

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