En el presente artículo se muestra un resultado de existencia de solución para una ecuación no lineal de tipo elíptico bajo una condición de contorno en un dominio acotado usando como herramienta algunos métodos topológicos

Ceballos, Docier Marino

Cárdenas A., Pedro Pablo

Rodriguez Varela, Carlos Alberto

Spanish

Universidad Tecnológica de Pereira: Open Journal Systems

Scientia et Technica Año XIV, No 39,  Septiembre de 2008. Universidad Tecnológica de Pereira. ISSN 0122-1701                                                          388  Fecha de Recepción: 4 de Junio de 2008. Fecha de Aceptación: 28 de Julio de 2008. RESOLUCIÓN  DE UN PROBLEMA DE CONTORNO POR METODOS TOPOLOGICOS  Resolution of a boundary problem using topological methods    RESUMEN  En el presente artículo se muestra un resultado de existencia de solución para una ecuación no lineal de tipo elíptico bajo una condición de contorno en un dominio acotado usando como herramienta algunos métodos topológicos.  PALABRAS CLAVES: teorema de punto fijo,  inmersión, invariante.  ABSTRACT  In this paper we show a result of existence of solution for a non lineal of elliptic type under a boundary condition in an closed domain using as tool some topological methods      KEYWORDS: Fixed point theorem, immersion, invariant.   PEDRO PABLO CÁRDENAS A. Licenciado en Matemáticas y Computación.  Magíster en Enseñanza de la Matemática.  Estudiante de Doctorado en Matemáticas. Universidad de la Frontera. Temuco - Chile. Profesor de Planta (Auxiliar)  – Departamento de Matemáticas. Universidad Tecnológica de Pereira ppablo@utp.edu.co  CARLOS ALBERTO RODRIGUEZ VARELA Licenciado en Matemáticas y Física Estudiante de Maestría en Enseñanza de la Matemática Universidad Tecnológica de Pereira car@utp.edu.co   DOCIER MARINO CEBALLOS Licenciado en Matemáticas y Física Magíster en Matemáticas Profesor titular Universidad Tecnológica de Pereira dceballo@utp.edu.co    1. INTRODUCCIÓN  Se considera el siguiente problema de tipo elíptico  ⎩⎨⎧==∆Ω∂ )(|),(xguuxfu donde mR⊆Ω  es un dominio acotado con borde RgC →Ω: ,2  suave y RRf →×Ω:  continua y tal que existe 0>A  (suficientemente pequeño) tal que uAuxf ≤),(  para todo Ω∈x  y para todo u. Para ello se usarán resultados de los teoremas de punto fijo (Brouwer y Schauder) aplicados a espacios de Banach.  2. TEOREMAS DE PUNTO FIJO  Teorema 2.1. (Brouwer). Considérese H Hilbert de dimensión finita, HC ⊂  un conjunto compacto, convexo no vacío. Si CCf →: es una función continua, entonces tiene un punto fijo. [1]  Teorema 2.2. (Schauder).  Sea C un subconjunto convexo y compacto en E, espacio de Banach. Si CCT →: es continuo, entonces T tiene un punto fijo. [1]  Corolario 2.1. (Schauder).  Sea C convexo, cerrado en E espacio de Banach, CCT →:  continuo tal que T(C) es relativamente compacto, entonces T tiene un punto fijo. [1]  3.  RESULTADOS DE EXISTENCIA DE SOLUCION  Se quiere probar la existencia de solución de   ⎩⎨⎧==∆Ω∂ )(|),(xguuxfu  en  mR⊆Ω      (3.1)  Scientia et Technica Año XIV, No 39,  Septiembre de 2008. Universidad Tecnológica de Pereira.  389Donde f es continua y existe 0>A  con  uAuxf ≤),(  para todo u. A es suficientemente pequeño, tanto como se necesite. De hecho, se impondrán condiciones sobre A mas adelante.  Se conoce como resolver  problemas del tipo  ⎩⎨⎧==∆Ω∂ )(|)(~xguxfu  (es decir, donde la f~  solo depende de x y no de u).  Consideremos mp > .   Dada )(,2 Ω∈ pWv  (fija), tomamos Rvf v →Ω⋅ :),()(  dada por ))(,()()( xvxfxf v =  y sea )(,2 Ω∈ pWu solución de  ⎩⎨⎧==∆Ω∂ )(|)()(xguxfu v              (3.2)  Llámese T a la aplicación que a cada v le hace corresponder u (solución de (3.2))  )()(: ,2,2 Ω→Ω pp WWT        (3.3)      uv →  Nótese lo siguiente: Si se pensara a T como  )()(: 11 Ω→Ω CCT   entonces T resulta bien definida y además  )( Im ,2 Ω⊆ pWT . Esto ocurre ya que si  )(1 Ω∈Cv  entonces )(vf  es continua en Ω , con lo cual, como Ω  es acotado resulta )()( Ω∈ pv Lf . Luego existe un único  )(,2 Ω∈ pWu  solución de (3.2), entonces uvT =)( .  Puede verse además que si 0≡g , entonces guuuvT +==1)( , donde 1u  verifica  ⎩⎨⎧==∆Ω∂ )(|),(11xguvxfu  con lo cual )()( ,10,21 Ω∩Ω∈ pp WWu  y gu  es la única solución de ⎩⎨⎧==∆Ω∂ )(|0xguug  Es por esto que, dada )(1 Ω∈Cv , se tiene: )()() v(con      ) ( ,10,211 Ω∩Ω∈+= pp WWTugvTvT Lo que se busca es un punto fijo a la aplicación T , es decir, )(1 Ω∈Cu  tal que uuT = .  Para ello, se necesita ubicar en las condiciones del teorema de Schauder. Se tendría que probar que T es continua, compacta y que además existe )(1 Ω⊆ CG  conjunto cerrado convexo acotado invariante (es decir, GGT ⊆)(  ). Si se logra probar estas tres  condiciones, en virtud  del corolario 2.1, existirá un punto fijo de T en G.  Ahora, basta probar: (i). T  es continua (ii). T es compacta (iii). Encontrar G.  (i). T  es continua.   Sea )(1 Ω∈Cv . Se quiere probar que si { } Njjw ∈  es una sucesión que tiende a v (con la norma de )(1 ΩC ), entonces )()(1vTwTjCj ∞→⎯→⎯ . pp WjWjCjugTvugTwTvTwkvTwT ,2,21111 )()()()( −−+=−≤− pp LjLjvxfwxfkkTvTwkk ),(),()()( 211121 −=∆−∆≤ ppj dxvxfwxfkk/121 ),(),( ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−= ∫Ω, Empleando convergencia mayorada, se ve que esta última integral tiende a cero, luego )()(1vTwTjCj ∞→⎯→⎯ , por lo tanto T es continua.  (ii). T es compacta.  Se debe probar que si C es un conjunto acotado de )(1 ΩC , entonces T(C) es precompacto en )(1 ΩC .  Debido a que la inmersión )()( 1,2 Ω→Ω= CWi p es compacta, bastaría con demostrar que T(C) es acotado en Scientia et Technica Año XIV, No 39,  Septiembre de 2008. Universidad Tecnológica de Pereira.  390)(,2 ΩpW . Como C es acotada, existe N>0 tal que NvC≤1 , para todo Cv∈ .  ppppp WgLWgWWuTvuTvTv ,2,2,2,211 )()( +∆≤+≤  ppp WgCpWgLuvAkuvxfk ,21,2/122 ),( +Ω≤+= CteuNAk pWgp =+Ω≤ ,2/12  (constante que no depende de v) por lo que T(C) es acotado en pW ,2 (entonces precompacto en )(1 ΩC ).  (iii). Existe G acotado en )(1 ΩC , convexo, cerrado con GGT ⊆)( .  Se propone que G sea una bola de radio R en )(1 ΩC . Se busca en R conveniente. Es para esta cuenta que se necesita que A sea pequeño.  Sea { }RvCvBGCR≤Ω∈== 1/)()0( 1 , es claro que este es acotado, convexo y cerrado.   Se quiere que GGT ⊆)( , es decir, RTvC≤1 , para todo v con RvC≤1 . Tómese )0(0 RBv ∈  fijo, entonces para todo )0(RBv∈  vale lo siguiente 111 00 CCCTvTvTvTv −+≤  = 111010 )()( CgC uTvugTvTv −−++  pLCTvTvkkTv 101210 )()(1 ∆−∆+≤ = pp LCLCvxfkkTvvxfvxfkkTv ),(),(),( 02100210 11 +≤−+≤+ pLvxfkk ),(21  RvAkkvxfkkTvCpLC p≤Ω++ 11/1210210 ),(  todo  resulta R≤  a condición de que pkkA /1211Ω<  y que sea R suficientemente grande (basta que AkkvxfkkTvR pLC p/12102101),(1Ω−+≥ ). Por esto, GGT ⊆)( . Y en virtud de lo demostrado en 1, 2 y 3, T tiene un punto fijo, luego (2.1) tiene solución (aunque no necesariamente única).    4. CONCLUSIONES  Dentro de los métodos topológicos, los teoremas de punto fijo se han aplicado a la resolución de diversas ecuaciones no lineales [2], [3]. En este artículo se demostró utilizando métodos topológicos la existencia de solución (bajo ciertas condiciones) de una ecuación diferencial parcial de tipo elíptico.  Utilizando los teoremas (2.1), (2.2) y el corolario (2.1), se probó que el operador T definido para el problema (3.2) tenía un punto fijo, el cual resolvió el problema planteado.  AGRADECIMIENTOS  Los autores agradecen el apoyo y las sugerencias recibidas por el Doctor Pablo Amster de la Universidad de Buenos Aires (Argentina) para la realización de este artículo.  BIBLIOGRAFIA  [1] CÁRDENAS, P.P. Resolución de ecuaciones diferenciales no lineales por métodos topológicos. Tesis de Maestría en Matemáticas. Universidad Tecnológica de Pereira – Universidad de Buenos Aires (Argentina). 2004  [2] AMSTER, P.G.  Resolution of Semilinear Equations by Fixed Point Methods. Bulletin of the Belgian Mathematical Society. Simon Stevin.  [3] AMSTER, P, Pinnau, R., Large Convergent Iterative    Schemes for a Nonisentropic Hydrodynamic Model for Semiconductors. ZAMM (Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik) Vol 82-8 (2002) 559-566.  [4] CONWAY J. A course in Functional Analysis. Springer Verlag, New York, 1985.    

Resolución De Un Problema De Contorno Por Métodos Topológicos

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